§ 2. Элементарные сведения об ортогональных преобразованиях

О четырехмерном пространстве

В ряде вопросов теоретической механики (например, в движениях, описываемых при помощи обобщенных координат) весьма плодотворным является введение понятия многомерного пространства. В специальной теории относительности понятие четырехмерного пространства играет фундаментальную роль. Поэтому настоящий параграф посвящен обобщению основных понятий трехмерного пространства, существенных при изучении механических движений, на пространство четырех измерений.

Четырехмерный радиус-вектор

В качестве одного из существеннейших понятий математического аппарата ньютонианской механики является понятие радиуса-вектора который в декартовой системе координат определяется через координаты конца этого вектора и единичные орты координатных осей в виде:

Квадрат модуля вектора определяется при этом по известной формуле:

которая является следствием ортогональности координатных осей.

Предположим, что имеет место физическая величина определяемая четырьмя величинами причем квадрат ее имеет вид:

По аналогии с предыдущей формулой назовем радиусом-вектором в четырехмерном пространстве, а — проекциями этого вектора на ортогональную координатную систему четырехмерного пространства. Обозначая единичные орты этой координатной системы соответственно через четырехмерный радиус-вектор запишем в виде:

и определим скалярное произведение единичных орт по аналогии с трехмерным пространством, именно:

Последнее определение обеспечивает выполнение условия, что квадрат четырехмерного радиуса-вектора равен сумме квадратов его проекций.

Из свойств четырехмерных векторов, являющихся следствием введенных единичных орт отметим только понятие скалярного произведения. Под последним понимается

где — проекции вектора — проекции вектора

Преобразование поворота ортогональных координатных систем трехмерного пространства

Ортогональные проекции радиуса-вектора были заданы в некоторой системе Рассмотрим другую координатную систему начало которой совпадает с S, а вся система повернута относительно Обозначим единичные орты системы через к и проекции радиуса-вектора в этой системе через Тогда можно записать в виде:

Так как модуль вектора в системах и остается неизменным (инвариантен относительно указанной системы координат), то справедливо равенство:

Положение системы относительно полностью определяется, если заданы углы, которые составляют оси системы с осями Введем косинусы этих углов (или направляющие косинусы), которые обозначим следующим образом:

Так как можно записать в виде:

то, умножая это равенство последовательно на , найдем:

Полученные равенства определяют преобразование координат при повороте координатной системы. Заметим, что соответствующие единичные векторы преобразуются так же, как пространственные координаты. Поэтому проекции любого вектора А в системе будут выражены через его проекции в системе по формулам, аналогичным (27.2) вида:

Девять коэффициентов преобразования связаны шестью соотношениями (представляющими условие ортогональности координатных систем Эти условия найдем, подставляя соотношения (27.2) в (27.1):

Откуда:

Для компактности записи условий (27.3) введем символ Кронекера вида:

Тогда условия (27.3) запишутся в виде:

Итак, при преобразовании поворота ортогональных координатных систем в трехмерном пространстве три независимые переменные полностью определят этот поворот. В качестве этих переменных можно выбрать, как указывалось ранее (см. главу 3, § 1), три угла Эйлера.

Преобразование поворота ортогональных координатных систем четырех мерного пространства

Рассмотрим две ортогональные системы и обладающие общим началом и повернутые одна относительно другой в четырехмерном пространстве. Радиус-вектор можно записать через проекции в системе и единичные орты этой системы и проекции в системе и единичные орты этой системы в виде:

или, короче,

Инвариантность модуля вектора относительно указанных систем запишем в виде:

Введем подобно тому, как это делалось для трехмерного пространства, коэффициенты определяемые как скалярные произведения единичных векторов вида:

Эти коэффициенты можно, так же как в трехмерном пространстве называть косинусами углов между осями, которые определяются единичными векторами

Число коэффициентов будет . Они определяют положение системы относительно в четырехмерном пространстве. Единичные векторы могут быть выражены через (подобно тому, как это делалось в трехмерном пространстве) в виде:

Отсюда, используя равенство (27.4), так же как в трехмерном пространстве, найдем выражение через в виде:

Полученные равенства определяют преобразование координат при повороте координатных осей в четырехмерном пространстве.

Шестнадцать коэффициентов преобразования связаны десятью условиями ортогональности систем и которые получим из условия (27,5) и преобразования так же как и для трехмерного пространства.

Вводя символ Кронекера вида:

условия, связывающие коэффициенты запишутся в виде:

Итак, при преобразовании поворота ортогональных координатных систем в четырехмерном пространстве шесть независимых переменных полностью определяют этот поворот. В конкретных задачах эти переменные выбираются из тех или иных физических условий задачи.

Частный случай преобразования поворота координатных систем трехмерного пространства

Рис. 144

Рассмотрим частный случай преобразования поворота координатной системы трехмерного пространства, при котором оси у, z поворачиваются в плоскости или переход от системы к системе осуществляется поворотом относительно оси х (рис. 144). Обозначая угол этого поворота через девять направляющих косинусов запишем в виде:

Преобразование координат в этом случае будет иметь вид:

Частный случай преобразования поворота координатных систем четырехмерного пространства

Рассмотрим частный случай преобразования поворота координатной системы четырехмерного пространства, аналогичный рассмотренному выше. Именно, пусть оси остаются неизменными и поворот осуществляется только в плоскости тогда:

Следовательно, в этом случае преобразование координат (27.6) будет иметь вид:

и условие ортогональности (26.5) будет:

На четыре коэффициента преобразования (27.6) условие ортогональности (27.5) накладывает три ограничения, следовательно, только один из них может быть выбран произвольно, или все эти координаты можно выразить через один параметр. Последний по аналогии с частным видом преобразований поворота координатных систем в трехмерном пространстве (который рассмотрен выше) можно выбрать в виде.

При этом условие (27 5) выполняется автоматически и параметр Ф можно интерпретировать как угол поворота осей относительно в плоскости

Матрица преобразований и тензор первого ранга

Коэффициенты осуществляющие преобразование одной координатной системы в другую рассмотренные ранее, можно записать в таблицу вида:

Эта таблица называется матрицей преобразования и обозначается коротко Коэффициенты называются элементами матрицы преобразования.

Матрицу можно рассматривать как оператор, который, действуя на составляющие вектора в системе переводит их в составляющие векторы в системе

Символически это можно записать в виде:

Естественно, что в приведенных рассуждениях вместо четырехмерного вектора можно рассматривать трехмерный вектор и записать для него равенство

Смысл указанных преобразований заключается в том, что векторы или неизменны и записываются лишь их составляющие в. двух различных системах координат. Скобки последних равенств и подчеркивают указанное обстоятельство. Однако, не меняя математической стороны всех рассуждений, можно выполненное преобразование рассматривать как преобразование векторов или в новые векторы причем и старые и новые векторы рассматриваются в одной и той же системе координат.

При такой интерпретации последние равенства следует записать в виде:

подчеркивая этой записью, что рассматриваются различные векторы Последняя интерпретация представляет собой поворот векторов в неизменной системе координат. Та или другая интерпретация операторов применяется в зависимости от характера физической задачи.

Введенные понятия не являются только формальным способом коротко записать преобразование координат вектора в какой-либо пространстве. Эти понятия весьма плодотворны при рассмотрении тензоров, с точки зрения которых являются частным случаем этих понятий: именно тензорами первого ранга соответственно в 4- и 3- мерных пространствах. В общем виде тензором Т первого ранга -мерного пространства называется величина, обладающая -составляющими которые при ортогональном

преобразовании координат, осуществляемых матрицей преобразуются согласно равенству:

понятие -мерного вектора и тензора первого ранга -мерного пространства идентичны. Однако понятие -мерного вектора отличается большей наглядностью. Поэтому оно и используется в дальнейшем изложении.