§ 2. Уравнения Лагранжа второго рода

Обобщенные силы

Выражения вида:

где — проекции силы на оси декартовой системы координат, носят название обобщенной силы системы и обозначаются Заметим, что введенное определение есть обобщение введенного ранее (см. главу 7, § 3) понятия обобщенной силы точки.

Если подсчитать сумму элементарных работ всех активных сил, действующих на систему на виртуальных перемещениях системы, выраженных через обобщенные координаты, то придем к равенству вида:

Из полученного равенства имеем следующее определение обобщенной силы: обобщенные силы представляют собой коэффициенты при вариациях обобщенных координат в выражении суммы элементарных работ активных сил на виртуальных перемещениях.

Как следует из полученного равенства, размерность обобщенной силы, умноженная на размерность обобщений координаты, равна размерности работы силы. Таким образом, размерность обобщенной координаты определяет размерность обобщенной силы.

Введение в уравнения движения кинетической энергии

Преобразуем левую часть уравнений (21.7), которые имеют вид:

Так как

или, используя равенства, указанные в кинематике (см. главу 1, § 8), вида:

запишем:

Но есть квадрат скорости точки системы, следовательно:

или

или, так как суммы, входящие в последнее выражение, представляют собой кинетическую энергию системы Т, то

Кинетическая энергия системы как функция обобщенных скоростей

Как указывалось в кинематике, обобщенной скоростью называется полная производная по времени от обобщенной координаты, или

Представим кинетическую энергию системы как функцию обобщенных координат и скоростей. Так как из равенства (21.1) следует, что

то

Отсюда следует, что кинетическую энергию системы можно представить как совокупность членов второго, первого и нулевого измерения относительно обобщенных скоростей

где

и

Если связи, наложенные на систему, стационарны, то время не входит явно в уравнения связей и, следовательно, не входит явно в выражения, определяющие как функции обобщенных координат. В этом случае и кинетическая энергия будет однородной квадратичной формой от обобщенных скоростей.

Уравнения Лагранжа второго рода

Собирая последние результаты, уравнения (21.7) запишем в виде:

Эти уравнения, число которых равно числу степеней свободы системы, носят название уравнений Лагранжа второго рода.

Как следует из вывода этих уравнений, они представляют собой уравнения движения механических систем в строгом смысле этого слова. Число уравнений Лагранжа второго рода, равное числу степеней свободы системы, является минимальным числом уравнений, описывающих движение несвободной системы.

Эти уравнения применимы для голономных систем с идеальными связями.

Уравнения Лагранжа второго рода с математической точки зрения

Чтобы уяснить, что собой представляют уравнения Лагранжа второго рода с математической точки зрения, укажем порядок составления этих уравнений.

1) Используя геометрические связи системы, выбираются обобщенные координаты ее

2) Используя зависимость декартовых координат или радиусов-векторов точек системы от обобщенных координат, находятся обобщенные силы системы по формулам (21.8).

3) Подсчитывается кинетическая энергия системы Т как функция обобщенных координат и скоростей (по формуле (21.11)).

4) Зная Т и составляются уравнения Лагранжа второго рода (21.12).

Так как Т в уравнениях (21.12) стоит под знаком полной производной по времени, а в выражение Т входят обобщенные скорости, то уравнения Лагранжа второго рода будут дифференциальными уравнениями второго порядка относительно обобщенных координат.

Число уравнений (21.12) равно числу обобщенных координат» которые из этих уравнений после интегрирования и определяются как функции времени и произвольных постоянных.

Определение сил реакций связей

Когда уравнения Лагранжа второго рода проинтегрированы, задача о нахождении сил реакций связей не представляет труда. Действительно, в этом случае обобщенные координаты являются известными функциями времени, поэтому соотношения (21.1)

будут теперь являться уравнениями движения системы в конечном виде.

Чтобы определить силы реакций связей, возвратимся к уравнениям движения точек системы:

Так как в них известны и заданы, то из этих уравнений определяются просто.