§ 5. Двойной математический маятник

Кинетическая и потенциальная энергия

В качестве примера колебательных движений механической системы с двумя степенями свободы познакомимся с теорией двойного математического маятника. Двойным математическим маятником называются два скрепленных математических маятника, двигающихся в одной плоскости, причем точка привеса первого маятника длины и веса неподвижна, а точка привеса второго маятника длины и веса совпадает с тяжелой материальной точкой первого маятника (рис. 141).

В качестве обобщенных координат этой системы выберем углы которые составляют соответственно с вертикалью (рис. 141). Подсчитаем кинетическую энергию системы Т, которая состоит из суммы кинетических энергий первого маятника и второго маятника

Кинетическая энергия первого маятника:

второго маятника:

где — скорость точки Вектор скорости можно рассматривать как сумму вектора вращательной скорости точки вокруг точки и вектора скорости точки (рис. 142):

Вектор перпендикулярен к и вектор перпендикулярен к

Рис. 141

Рис. 142

Следовательно, из треугольника, образованного векторами и видно, что угол между и будет откуда

Но и Для малых колебаний следует принять тогда

Отсюда

Кинетическую энергию системы теперь запишем в виде:

Так как рассматриваемая система находится под действием сил тяжести, то потенциальная энергия системы будет:

где — высота точек под некоторым произвольно выбранным уровнем, который расположен на расстоянии от точки тогда

Разлагая в ряд и ограничиваясь в этих разложениях вторыми степенями малых углов отклонения, получим:

Уравнения движения и их интегрирование

Зная кинетическую и потенциальную энергию системы, запишем уравнения движения системы (уравнения Лагранжа второго рода) в виде:

Коэффициенты этих уравнений, как указывалось, обозначаются в виде:

Откуда уравнение частот можно записать так:

Введем следующие обозначения:

Тогда уравнение частот примет вид:

или

Корни этого уравнения будут:

Выражения, определяющие и будут положительны. Значения определяют собственные частоты системы.

Уравнения главных колебаний системы в рассматриваемом случае будут:

где произвольные постоянные, подлежащие определению из начальных условий. Отношение амплитуд главных колебаний будет:

Но так как

Из предыдущих равенств следует, что

Поэтому:

Отсюда имеем, что при главном колебании низшей частоты знаки одинаковы, а при колебаниях высшей частоты знаки различны. Это означает, что в первом главном колебании прямые отклоняются в одну сторону от вертикали и отношение углов отклонения при этом остается постоянным

Рис. 143

Во втором главном колебании отклонение указанных прямых происходит по разные стороны от вертикали и отношение углов также остается неизменным (рис. 143).

Общее решение исходной системы дифференциальных уравнений будет вида:

Главные координаты

Введем новые переменные:

Тогда

Из последних формул следует, что новые переменные полностью описывают движение рассматриваемой механической системы, следовательно, их можно выбрать в качестве обобщенных координат системы.

Приведенные ранее выражения для указывают, что являются главными координатами системы.