§ 10. Раваовесне системы материальных точек

Соотношения равновесия системы сил, действующих на материальные точки

До сих пор изучалось равновесие сил, приложенных к материальным точкам, образующим абсолютно твердое тело. В связи с этим рассматривались только внешние силы, приложенные к телу. Если

рассматривать произвольную систему материальных точек, взаимодействующих друг с другом, или произвольную механическую систему, то наряду с внешними силами необходимо учитывать также и внутренние силы. Рассмотрим точку системы. Внешнюю силу, действующую на нее, обозначим через а равнодействующую всех внутренних сил обозначим через Для равновесия сил, действующих на эту точку, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие:

Если система состоит из материальных точек, то для равновесия сил, действующих на систему, необходимо и достаточно, чтобы силы, действующие на каждую точку, были уравновешены или выполнялись равенства:

Необходимые соотношения равновесия сил, действующих на произвольные механические системы

Роль внутренних сил, действующих в абсолютно твердом теле, определяется тем, что они обеспечивают неизменность формы его. Поэтому, не интересуясь природой этих сил, воздействие их на тело полностью учитывается фактом неизменяемости тела, который приводит к тому, что активные силы следует рассматривать как скользящие векторы.

Если рассматривать произвольные механические системы, то характер внутренних сил зависит от физического состояния системы. Например, внутренние силы зависят от различных кинематических характеристик системы для деформируемых тел и жидкостей. Характер внутренних сил для различных систем определяется законами, базирующимися на обобщении опыта. Благодаря этому учет внутренних сил выходит за пределы ньютонианской механики, базой для которой служат только сформулированные основные аксиомы. Отсюда, ограничиваясь рамками ньютонианской механики, возникает задача исключить из условий равновесия произвольных механических систем внутренние силы. Это может быть осуществлено формальным приемом. Действительно, сложив условия равновесия и умножив каждое из этих условий на соответствующий радиус-вектор, также сложим получившиеся соотношения, тогда придем к следующим равенствам:

Докажем, что сумма всех внутренних сил системы и сумма моментов всех внутренних сил относительно любой точки равна нулю. Так как внутренние силы являются силами взаимодействия, то в силу третьего закона Ньютона они попарно равны и противоположно направлены, так как каждой силе с которой точка действует на соответствует сила с которой точка действует на (рис. 104). Поэтому сумма всех внутренних сил, действующих на систему, равна нулю независимо от характера движения системы:

Рис. 104

По аналогии с твердым телом сумму внутренних сил можно формально назвать главным вектором внутренних сил системы и обозначить

Вычислим теперь сумму моментов всех внутренних сил относительно произвольной точки пространства О. Рассмотрим силы взаимодействия точек (рис. 104). Момент силы относительно точки О равен а момент силы относительно той же точки равен

Но так как

и вектор коллинеарен вектору то сумма моментов рассматриваемых сил равна нулю. Поскольку все внутренние силы попарно равны, противоположно направлены и имеют общую линию действия, то сумма моментов всех внутренних сил системы относительно произвольной точки равна нулю независимо от характера движения системы:

Сумму моментов внутренних сил можно формально назвать главным моментом внутренних сил и обозначить через

Итак, из условий равновесия в силу равенств имеем:

Последние соотношения формально представляют собой равенство нулю главного вектора и главного момента всех внешних сил, действующих на систему, и их можно переписать в виде:

Равенства (10.2) есть следствия условий (10.1), но из него не следует условия (10.1). Следовательно, выражения (10.2) можно рассматривать как условия, необходимые, но недостаточные для уравновешенности сил, действующих на механическую систему.

Если все точки механической системы в начальный момент неподвижны относительно какой-либо инерциальной системы координат, то будем говорить, что механическая система находится в покое в начальный момент. Если при этом силы, действующие на механическую систему уравновешены (выполняются условия 10.1), то система и в последующие моменты будет в покое или будем говорить, что система находится в равновесии. Покой механической системы в начальный момент и выполнение условий (10.2) необходимы, но недостаточны для равновесия системы. Например, если ножницы находятся в покое в начальный момент и к концам их приложены две равные и противоположно направленные силы, лежащие на одной прямой (рис. 105), то, хотя ножницы не будут находиться в равновесии.

Рис. 105

Принцип затвердевания

Условия равновесия сил, действующих на механическую систему, являются необходимыми и достаточными соотношениями равновесия сил, действующих на абсолютно твердое тело. Последнее положение носит название принципа затвердевания, согласно которому равновесие деформируемой системы не нарушается, если мысленно заменить ее абсолютно твердым телом в данный момент той же формы (иначе говоря, если система «отвердеет»). Равенства нулю главного вектора и главного момента всех внешних сил, действующих на систему, являются основными уравнениями при изучении равновесия произвольных механических систем.