§ 7. Свойства пары сил

Векторный момент пары сил

Как указывалось, пара сил не имеет равнодействующей. Однако можно указать величину, которая полностью характеризует действие пары и позволяет сравнивать пары, а также судить об эффекте их совместного действия.

Пусть на твердое тело действует сила приложенная в точке А, и сила — приложенная в точке В (рис. 92). Вычислим сумму моментов этих сил относительно произвольной точки О

Но

Следовательно,

Рис. 93

Таким образом, сумма моментов силы, составляющих пару, является вектором, не зависящим от положения точки, относительно которой вычисляется момент силы. Этот вектор называется векторным моментом пары, обозначается символом и является свободным вектором.

Векторный момент пары направлен перпендикулярно плоскости ее действия так, что если смотреть с его конца, то пара будет

стремиться повернуть тело против часовой стрелки (рис. 93). Модуль векторного момента пары равен произведению плеча пары на модуль силы:

Три основных свойства пары сил

Три следующие теоремы, указывающие основные свойства пар сил, доказывают, что векторный момент пары полностью характеризует его.

Теорема 1. Пару сил можно, не изменяя ее действия на тело, перенести в любое место на плоскости ее действия.

Пусть дана некоторая пара сил с плечом Переместим силы по линии их действия, сделав это так, чтобы отрезок АВ, соединяющий точки приложения этих сил, стал плечом пары (рис. 94).

Рис. 94

Рис. 95

Выберем в плоскости действия пары отрезок длиной и приложим к его концам силы перпендикулярные отрезку и равные по модулю. Эта система четырех сил взаимно уравновешена и, следовательно, не изменяет действия пары. Продолжим теперь линии действия всех сил так, чтобы образовался ромб Перенесем силы вдоль их линии действия в точку и найдем их равнодействующую она будет направлена по диагонали ромба от точки к точке Е. Затем точно так же перенесем силы в точку Е и найдем их равнодействующую она также будет направлена по диагонали ромба, но от точки Е к точке Так как модули равнодействующих R и равны, линии их действия совпадают, а направлейия противоположны, то они образуют уравновешенную систему сил, которую можно отбросить. Сделав это, мы вместо первоначальной пары получим пару эквивалентную первоначальной, но расположенной в плоскости наперед заданным образом.

В приведенном доказательстве предполагалось пересечение линий действия сил первоначальной и конечной пары. Однако, рассматривая пару как переходное звено от пары к конечной паре, можно доказать, что пару можно переносить в плоскости так, чтобы линии действия сил конечной пары были параллельны линиям действия сил первоначальной пары.

Теорема 2. Пару сил, не изменяя ее действия на тело, можно перенести в любую плоскость, параллельную плоскости ее действия

Рассмотрим пару сил в плоскости П (рис. 95). Спроектируем отрезок АВ на плоскость П, параллельную П. Приложим в точках С и D взаимно уравновешенные силы равные по модулю силам и имеющие параллельные им линии действия. Тогда получим шесть сил, приложенных в вершинах прямоугольника Но собственно параллельные и равные по модулю силы можно заменить равнодействующей линия действия которой проходит через середину диагонали Аналогично силы дадут равнодействующую такую же по величине и с той же линией действия, но направленную противоположно первой. Две силы R и взаимно уравновешиваются и их можно отбросить. Таким образом, остается пара сил в плоскости , эквивалентная первоначальной: ее силы параллельны силам первоначальной пары, но, согласно теореме 1, мы можем перенести теперь ее в любое место плоскости П. Таким образом, теорема доказана.

Теорема 3. Пары, имеющие равные векторные моменты, эквивалентны.

Пусть дана пара с плечом а и пара с плечом Векторные моменты этих пар одинаковы. В таком случае плоскости этих пар параллельны, и поэтому на основании теоремы 2 их можно считать лежащими в одной плоскости.

Рис. 96

Рис. 97

На основании теоремы 1 пары можно расположить так, что. их плечи будут находиться на одной прямой (рис. 96). Докажем, что пару можно заменить парой . Заменим силу приложенную в точке В (рис. 97), двумя собственно параллельными силами: силой приложенной в точке А, и силой Р, приложенной в точке С. Тогда, так как в точке А приложена сила то, складывая силы с силой

получим силу . Итак, вместо пары мы теперь имеем пару Так как является равнодействующей и Р, то справедливо равенство

откуда

Но следовательно, пары эквивалентны и теорема доказана.

Из трех доказанных теорем следует, что пара полностью характеризуется своим векторным моментом. Этот вектор следует считать свободным, так как пару можно как угодно переносить в плоскости ее действия, а также выносить в любую плоскость, параллельную ее плоскости действия.

Сложение пар

Перейдем теперь к вопросу о сложении пар. Рассмотрим пары расположенные в пересекающихся плоскостях (рис. 98). Выберем произвольный отрезок АВ на линии пересечения плоскостей и преобразуем эти пары в плоскостях их действия так, чтобы отрезок А В служил плечом каждой из них. Силы, составляющие пары, при этом изменятся и станут равными и

Силы и приложенные в точке А, сложим и получим равнодействующую

Рис. 98

Соответственно силы дадут равнодействующую:

Но , следовательно, Таким образом, силы образуют пару. Эта пара эквивалентна двум первоначальным парам и поэтому называется равнодействующей или результирующей парой. Момент ее равен

Заменив вектор суммой можем написать:

Но так как

и

то

Отсюда имеем следующую теорему. Векторный момент разнодействующей пары равен геометрической сумме векторных моментов составляющих пар.

Этот вывод можно распространить на любое количество пар, действующих в различных плоскостях. Поэтому в общем случае будем иметь:

Если пары лежат в одной плоскости, то их векторные моменты будут коллинеарны и вместо векторной суммы нужно будет брать алгебраическую сумму этих моментов (с учетом знаков). В частном случае пары могут быть уравновешены. Это будет иметь место тогда, когда момент результирующей пары равен нулю.