§ 4. Кривошипно-шатупный механизм
Пример на применение теории кинематики точки
В двигателях внутреннего сгорания и паровых машинах для преобразования прямолинейного возвратно поступательного движения поршня во вращательное движение вала применяется так называемый кривошипно-шатунный механизм. Простейшая схема этого механизма следующая: кривошип
О А, который может вращаться вокруг неподвижной точки О, скреплен шарнирно с шатуном АВ, который передает движение ползуну В, движущемуся в направляющих, расположенных вдоль горизонтальной оси (рис. 54). Длины кривошипа и шатуна равны: 
.
Рис. 54
Кинематические характеристики отдельных точек этого механизма определяются путем применения формул кинематики точки. Движение отдельных частей механизма определяется на основании формул раздела кинематики абсолютно твердого тела. Таким образом, движение кривошипно-шатунного механизма можно рассматривать как пример практического применения теоретических положений кинематики. Предположим; что кривошип 
вращается равномерно вокруг точки О с угловой скоростью 
Тогда угол отклонения кривошипа 
от горизонтальной прямой, которую примем за ось х (рис. 54), будет пропорционален
времени t. Предполагая, что в начальный момент кривошип совпадает с осью х, тогда имеем:
Найдем уравнения движения точек А, В и точки С, которая расположена на шатуне на расстоянии b от точки В (рис. 54). Для этого выразим координаты точек А, В и С через угол 
Обозначая эти координаты соответственно 
имеем (рис. 54):
где 
Полученные выражения (определяя координаты точек А, В и С в функции времени) представляют собой уравнения движений этих точек. Исключая время t из уравнений движения каждой точки, получим соответственно уравнения траекторий этих точек. Для точки А траектория будет окружность:
Для точки С траектория будет эллипс:
полуоси которого зависят от расстояния точки С до точки В.
Следовательно, все точки шатуна описывают эллипсы и криво-шипно шатунный механизм можно рассматривать как прибор для вычерчивания различных эллипсов, если в нем проделать ряд отверстий для карандаша. Траекторией точки В является отрезок оси 
заключенный в интервале:
Так как кривошип вращается равномерно, то скорость и ускорение точки А определяются по формулам:
Скорость и ускорение точки В найдем, дифференцируя уравнения движения в виде:
Из полученных формул следует, что когда ползун находится в точках наибольшего удаления от центра вращения кривошипа,
то скорость точки равна нулю 
Эти положения соответствуют моментам времени, определяемым уравнением:
где 
произвольное целое число. Такие положения точки называются «мертвыми точками» механизма.
Проекции по осям координат скорости и ускорения точки С, пользуясь уравнениями движения ее, найдем в виде:
Откуда модуль скорости и ускорения точки будут: 
Пример определения центроид части механизма
Кривошипно-шатунный механизм совершает плоскопараллельное движение. В частности, часть этого механизма шатун также совершает плоскопараллельное движение. Поэтому движение шатуна можно осуществить как качение без скольжения подвижной центроиды по неподвижной. Найдем эти центроиды. Усложним предварительно кривошипно-шатунный механизм, изображенный на рис. 54. Именно, пусть шатун имеет длину 2а, соединен в центре шарнирно с кривошипом и на концах своих оканчивается ползунами, двигающимися в направляющих вдоль осей х и у (рис. 55). Таким образом, стержень BD совершает такое движение, при котором две его точки остаются все время на заданных прямых. Этот случай движения тела носит название «карданова движения».
Рис. 55
Так как скорости точек В и D направлены по сторонам прямого угла, то мгновенный центр скоростей 
лежит на пересечении перпендикуляров, восставленных к сторонам прямого угла в точках В и D (рис. 55). Расстояние К от начала координат будет равняться 
причем это расстояние остается неизменным при движении отрезка. Следовательно, неподвижный центроидой будет окружность радиуса 2а, центр которой расположен в точке О.
Чтобы найти подвижную центроиду, воспользуемся так называемым принципом обратимости. Именно, будем считать, что стержень BD неподвижен, и рассмотрим как относительно этого стержня располагается мгновенный центр скоростей. Из чертежа видно (рис. 56), что по отношению к BD мгновенный центр скоростей всегда находится в вершине прямого угла, опирающегося на BD. Следовательно, подвижной центроидой будет окружность, диаметр которой равен 2а, а центр расположен в точке А.
Рис. 56
Рис. 57
На основании полученных результатов рассматриваемое движение шатуна можно осуществить как качение зубчатого колеса, жестко связанного с шатуном, диаметр которого совпадает с шатуном, по неподвижному зубчатому колесу, диаметр которого равен удвоенной длине шатуна (рис. 57).
