ГЛАВА 31. РЕЛЯТИВИСТСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ. РЕЛЯТИВИСТСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СВЯЗНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
§ 1. Релятивистские уравнения движения точки в криволинейных координатах
Уравнения движения точки под действием сил Лоренца
Рассмотрим движение материальной точки иод действием сил Лоренца (о которых говорилось ранее). При этом уравнения движения точки в проекции на декартовы координаты будут иметь вид:
где 
есть функция координат точки 
и скорости ее
Функция Лагранжа
Введем функцию 
зависящую от 
имеющую вид:
Тогда, используя функцию 
уравнения движения могут быть записаны в виде:
В справедливости последних уравнений можно убедиться, если подставить в них функцию 
Введение функции 
в уравнения движения приводит их к виду уравнений Лагранжа второго рода. Следовательно, 
резонно назвать функцией Лагранжа или лагранжианом (как принято называть подобные функцни у физиков).
Уравнения движения точки под действием сил Лоренца и произвольных сил
Пусть на точку действует сила Лоренца и произвольная сила 
Тогда, используя постулат о параллелограмме сил, релятивистские уравнения движения точки могут быть записаны в виде:
Последние уравнения представляют собой уравнения Лагранжа свободной материальной точки, находящейся под действием силы Лоренца и произвольной силы. В качестве обобщенных координат в уравнении (31.4) выбраны ее декартовы координаты.
Выражение функции Лагранжа через криволинейные координаты и их производные
Перейдем от декартовых координат точки 
к криволинейным координатам 
которые связаны с декартовыми координатами соотношениями:
Отсюда проекции скорости на координатные оси могут быть записаны в в 
где 
представляют собой обобщенные скорости. Подставляя в функцию Лагранжа вместо 
их выражения
через 
найдем 
выраженное через криволинейные координаты и их производные.
Уравнения движения точки в криволинейных координатах
Запишем уравнения движения точки в криволинейных координатах. Для этого, используя уравнения (31.4), умножим каждое 
из них соответственно на и сложим эти уравнения. В результате получим:
Используя леммы об обобщенных скоростях (см. главу 1, § 8), последнее равенство может быть записано в виде:
Так как 
является функцией 
входят только в выражения х, у, z, то последнее равенство запишем коротко в виде:
Аналогично могут быть получены равенства относительно 
которые запишем так:
Уравнения (31.7) представляют собой уравнения движения точки в криволинейных координатах. Отличие этих уравнений от соответствующих уравнений ньютонианской механики заключается в том, что функция Лагранжа 
имеет вид, отличный от функции Лагранжа ньютонианской механики.
В заключение следует отметить, что полученные в настоящем параграфе уравнения будут использованы при выводе релятивистских уравнений движения связных механических систем.
