§ 3. Сложение ускорений

Относительное, переносное и абсолютное ускорения точки

Установим связь между абсолютным, относительным и переносным ускорением. Пусть точка М движется по кривой жестко связанной с подвижной системой координат, и за время перемещается из положения А в положение В. В положении А точка М имеет относительную скорость и в положении Эти скорости будут направлены по касательной к относительной траектории точки АВ (рис. 41). Тогда относительное ускорение точки М определяется равенством:

За то же время кривая АВ вместе с подвижной системой координат переместится в пространстве и займет положение (рис. 41). В положении А пусть точка М имеет переносную скорость Точка А подвижной системы координат, в результате движения последней, сместится в положение С. Переносную скорость точки С обозначим через пер. Тогда переносное ускорение точки М определится равенством:

Рис. 41

За время по отношению к неподвижной системе координат точка М переместится из положения А в положение Абсолютная скорость точки М в положении А:

В положении D абсолютная скорость точки М:

Причем по модулю равно так как Уотн будет вектор но перенесенный в точку D пространства и повернутый относительно в силу поворота подвижной системы координат относительно неподвижной.

Вектор отличается от так как точка D не совпадает с точкой С, или D и С есть различные точки подвижного пространства и, следовательно, их скорости по отношению к неподвижному пространству в общем случае будут различны.

Абсолютное ускорение точки запишем в виде:

Или

Отсюда, пользуясь определением относительного и переносного ускорения, имеем:

Вычисление дополнительных членов

Из предыдущего видно, что абсолютное ускорение равно сумме относительного, переносного ускорения и двух дополнительных членов. Вычислим эти члены.

Так как векторы имеют одинаковые модули, то будет производной от вектора постоянной длины, которая, как указывалось (см. стр. 15), может быть записана в виде:

Вектор характеризует скорость поворота вектора относительно . Этот поворот происходит в результате вращения подвижной системы относительно неподвижной. Следовательно, представляет собой вектор угловой скорости движения подвижной системы относительно неподвижной. Так как это движение есть по определению переносное движение, то есть вектор угловой скорости переносного движения и, учитывая это, назовем его Итак:

Рассмотрим далее, как будут связаны скорости Так как это будут скорости двух точек подвижного пространства или неизменяемой среды, то для них справедлива формула, связывающая скорости точек твердого тела (см. стр. 59)

которая в данном случае приобретает вид:

Отсюда

Но так как есть вектор, стягивающий дугу относительной траектории точки, которую точка проходит за время

Вектор характеризует скорость поворота подвижной системы относительно неподвижной. Следовательно, это будет угловая скорость переносного движения, и окончательно имеем:

Теорема сложения ускорений

Используя результаты настоящего параграфа, получаем связь между абсолютным, относительным и переносным ускорением в виде:

Эта формула выражает закон сложения ускорении в сложном движении. Ее часто называют формулой Кориолиса, а выражаемый ею факт — теоремой Кориолиса. Согласно этой теореме, абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме трех векторов, вектора относительного ускорения» вектора переносного ускорения и вектора, называемого кориолисовым ускорением.

Ускорение Кориолиса

Ускорение Кориолиса обозначается и определяется формулой:

Как следует из доказательства, кориолисово ускорение появляется вследствие двух причин.

Относительное ускорение не учитывает изменения направления относительной скорости в неподвижном пространстве вследствие вращения подвижной системы координат в переносном движении. Переносное движение не учитывает изменения переносной скорости, получающегося при переходе движущейся точки от одной

точки подвижного пространства к другой. Так как модуль кориолисова ускорения будет:

то кориолисово ускорение равно нулю в трех случаях:

а) , т. е. если в данный момент времени отсутствует относительное движение точки;

б) , т. е. если подвижная система перемещается поступательно относительно неподвижной системы (заметим, что если в данный момент подвижная система движется мгновенно поступательно, то в этот момент и кориолисово ускорение равно нулю);

в) вектор коллинеарен вектору т. е. переносное движение представляет собой вращение вокруг оси параллельной вектору относительной скорости.

Кроме указанных случаев, ускорение Кориолиса будет отлично от нуля.

Пример

В качестве примера, имеющего принципиальное значение, определим ускорение Кориолиса при движении точек вблизи поверхности Земли.

Пусть точка, под которой можно понимать частицу воды, атмосферы или автомобиль, поезд и т. д., движется по меридиану в направлении с северного полюса к южному со скоростью (рис. 42). Так как Земля вращается вокруг оси против часовой стрелки, если смотреть с северного полюса на южный, то вектор угловой скорости и будет расположен вдоль оси в направлении от южного полюса к северному. Ускорение Кориолиса точки определится по формуле:

Рис. 42

В северном полушарии ускорение Кориолиса точки будет направлено по соответствующей параллели в направлении с запада на восток, а в южном — по параллели в направлении с востока на запад (рис. 42). Существование ускорения Кориолиса при движении вблизи поверхности Земли указывает, что точка отклоняется от своего меридианного движения, причем в разные стороны в северном и южном полушариях. Когда точка находится на экваторе, ускорение Кориолиса ее равно нулю. Окончательное разрешение указанного вопроса относится к вопросам кинетики, рассматриваемым ниже.