ГЛАВА 29. ВТОРОЙ ЗАКОН НЬЮТОНА В СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

§ 1. Пространство Минковского

Мировой вектор, 4-вектор

Использование первого закона Ньютона в сочетании с основным законом специальной теории относительности позволило в предыдущей главе рассмотреть свойства пространства и времени, указать некоторые геометрические свойства движений точек (теорема сложения скоростей Эйнштейна) и дать критерий, которому должны удовлетворять основные динамические уравнения движения точки (удовлетворение преобразований Лоренца). Теперь перед нами стоит задача отыскания динамического уравнения движения, которое будем строить, опираясь на основной закон релятивисткой механики и основное равенство ньютонианской механики.

Это построение начнем с отыскания инвариантных относительно преобразований Лоренца величин, с тем, чтобы использовать их в дальнейшем для построения искомого закона движения точки. Обратимся снова к основному закону специальной теории относительности:

Это равенство вводит нас в мир четырех измерений, так как его можно рассматривать как условие неизменности модуля четырехкомпонентного вектора при ортогональных Лоренцевых преобразованиях его координат. Этот вектор можно записать в виде:

и интерпретировать как радиус-вектор в четырехмерном мире, первые три координаты которого являются координатами трехмерного пространства и четвертая мнимая координата определяется временем. Этот четырехмерный мир называется пространством Минковского. Точка пространства Минковского описывает некоторое событие, происходящее в момент t в точке трехмерного пространства, определяемой координатами

Вектор носит название мирового вектора. Благодаря тому, что мировой вектор имеет четыре компоненты, он часто коротко называется 4-вектор. Мировой вектор в специальной теории относительности играет такую же роль, как радиус-вектор движущейся точки трехмерного пространства в механике Ньютона. Как будет следовать из дальнейшего, он определяет основные величины, служащие для построения искомого основного динамического уравнения движения точки.

Геометрическое место кондов вектора (или годограф его) представляет собой траекторию точки в пространстве Минковского. Эта траектория носит название мировой линии.

Расстояние между двумя точками в мире Минковского

Исследуя свойства мира Минковского, найдем расстояние между двумя точками его, которые соответственно определяются координатами: Квадрат этого расстояния будет иметь вид:

где — называется интервалом между двумя событиями.

Следует отметить, что подобно тому, как в трехмерном пространстве расстояние между двумя точками

инвариантно относительно преобразования Галилея, в мире Минковского расстояние между двумя его точками инвариантно относительно преобразования Лоренца. В последнем можно убедиться, если использовать формулы преобразования Лоренца.

Следует заметить, что все линейные преобразования, относительно которых введенная величина остается инвариантной, называются преобразованиями Лоренца.

Временно подобные и пространственно подобные интервалы

Чтобы уяснить физический смысл формально введенной величины перейдем от нее к величине связанной с соотношением:

Из определения следует, что оно, так же как и будет инвариантно относительно преобразований Лоренца, представляет собой разность времени между двумя событиями, происходящими в точках (1) и (2), минус время, необходимое свету для прохождения расстояния между этими точками.

Если время между двумя событиями больше времени, необходимого для прохождения светом расстояния между точками, в которых произошли события, то вещественно. В этом случае интервал называется временно подобным

Если время между двумя событиями меньше времени, необходимого для прохождения счетом расстояния между точками, в которых произошли события, то мнимо. В этом случае интервал называется пространственно подобным.

Границей между временно подобным и пространственно подобным интервалом служит интервал равный нулю, для которого время между двумя событиями равно времени, необходимому свету для прохождения между точками, в которых произошли события.

Так как инвариантно относительно Лоренцевых преобразований, то в любых инерциальных системах координат интервал остается либо пространственно подобным, либо временно подобным.

Перемещение вдоль мировой линии. Собственное время

Физический смысл интервала становится очевидным, если в качестве двух точек мира Минковского выбрать два бесконечно близких положения движущейся точки мира Минковского. Именно, бесконечно малое перемещение вдоль мировой линии будет характеризоваться вектором который имеет вид:

Квадрат модуля зтого вектора будет:

Вводя интервал последнее равенство запишем в виде;

можно придать другой вид именно:

так как

где — скорость точки, то

Последнее равенство ранее (см. главу 27, § 3) определяло (при ) дифференциал собственного времени инерциально движущейся системы. Следовательно, в рассматриваемом случае произвольного движения точки со скоростью его резонно рассматривать как определение собственного времени точки.

Мировой скаляр

Скаляр или дифференциал собственного времени называется дифференциалом мирового скаляра. Он, как уже указывалось, инвариантен относительно преобразований Лоренца.

В преобразовании Галилея интервал времени представлял инвариантный относительно этого преобразования скаляр; инвариантный относительно преобразования Лоренца скаляр представляет обобщение понятия на мир Минковского.

Собственное время можно рассматривать как параметр, определяющий положение точки на мировой линии; связано с длиной дуги мировой линии, так как

Если задано значение мирового вектора как функция собственного времени

то положение точки в мире Минковского полностью определено.

Благодаря этому последнее уравнение можно назвать конечным векторным уравнением движения точки в мире Минковского.