§ 4. Уравнения движения в расчетной системе координат

Понятие расчетной системы координат

Решая конкретные практические задачи, необходимо заботиться о том, чтобы уравнения движения изучаемых материальных объектов имели простейший вид, так как это позволяет максимально

продвинуться в решении поставленной проблемы и в ряде случаев наглядно исследовать полученные результаты. Одним из методов упрощения уравнений движения является использование вспомогательных систем координат, которые двигаются тем или иным образом относительно наблюдателя. Такая система координат называется расчетной. Подчеркнем, что введение расчетной системы не означает изменение положения наблюдателя, который неизменно связан с некоторой опорной (инерциальной или неинерциальной) системой координат. Благодаря этому в расчетной системе динамические члены (активные силы и силы инерции переносные и кориолиса) остаются неизменными по сравнению с опорной системой координат, но ускорение приобретает другой вид.

Уравнениям движения материальных объектов в расчетных системах координат и посвящен настоящий параграф.

Теорема о кинетическом моменте в расчетной системе координат

Пусть наблюдатель находится в общем случае в некоторой неинерциальной системе координат, например, жестко связан с Землей, которая называется опорной. Предположим, что изучается движение твердого тела (или механической системы), уравнение которого удобно записать по отношению к расчетной системе координат, двигающейся заданным образом относительно опорной.

Член входящий в уравнение (12.4), можно рассматривать как скорость изменения вектора в опорной системе. Обозначим опорную систему через и расчетную — Движение системы по отношению к в каждый данный момент, есть сумма мгновенно поступательного движения со скоростью начала координат и мгновенно вращательного движения системы относительно Угловую скорость этого вращения обозначим через

При переходе от к системе будет изменяться только в результате поворота системы, так как поступательное перемещение приведет к параллельному смещению вектора , следовательно, скорость изменения его с течением времени при этом не изменится. Вращение системы относительно вызовет изменение скорости вектора в системе которое будет равно Следовательно, вместо которое имело место в системе в системе следует записать: Ротн. и уравнение движения (12.4) в системе приобретает вид:

Используя равенство (12.6), так же как и теорему о количестве движения, запишем теорему о моменте количества движения для расчетной системы координат в виде

Проекции векторов двух последних равенств на оси системы будут искомыми скалярными уравнениями движения тела в подвижной относительно наблюдателя (находящегося в системе координат

Частный случай уравнений движения в расчетной системе координат

Предположим, что в качестве опорной системы координат выбрана инерциальная система. Тогда Положим далее, что расчетная система жестко скреплена с движущимся телом (или системой). При этом уравнения (12.8) и (12.9) приобретут следующий вид:

и

где будет угловая скорость вращения твердого тела.

Заметим, что расчетные системы, жестко скрепленные с телом, удобны в практических задачах. Последнее будет показано при изучении динамики твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки.