ГЛАВА 26. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ

§ 1. Уравнения движения

Вводные замечания

Все характерные особенности малых колебаний системы с конечным числом степеней свободы можно изучить, рассматривая систему. с двумя степенями свободы. Дальнейшее увеличение числа степеней свободы всегда приведет только к непринципиальному усложнению уравнений и не внесет каких-либо новых особенностей в исследование малых колебаний системы. Поэтому изучение малых колебаний системы с конечным числом степеней свободы ограничим только изучением колебаний системы с двумя степенями свободы. Это ограничение представляет и чисто практический интерес, так как огромное число задач практики относится к системам с двумя степенями свободы.

Выражение кинетической, потенциальной энергии и функции рассеяния

Итак, рассмотрим малые движения голономной системы с идеальными стационарными связями, обладающей двумя степенями свободы. Обозначим обобщенные координаты системы соответственно через . Пусть на систему действуют консервативные силы и силы сопротивления среды, пропорциональные первой степени скорости. На основании результатов предыдущей главы кинетическую энергию системы Т, потенциальную энергию П и функцию рассеяния Ф запишем в виде:

Заметим, что в последних соотношениях принято, что

Как уже указывалось, по своему физическому смыслу кинетическая энергия Т и функция рассеяния Ф должны быть существенно положительными величинами. Далее, малые движения системы

рассматриваются вблизи положения устойчивого равновесия, от которого отсчитываются координаты и принято, что в этом положении Следовательно, во всех положениях системы, близких к равновесному, потенциальная энергия будет также существенно положительна. Условия положительности Т, П и Ф накладывают дополнительные ограничения на коэффициенты, определяющие их. Найдем эти условия для коэффициентов, определяющих Т. Для этого запишем Т в виде:

Обозначим:

Тогда

Из последнего равенства следует, что Т будет положительным при у положительном

Выражение

представляет собой уравнение параболы. Чтобы у было положительно при всех х, нужно, чтобы эта парабола располагалась выше оси абсцисс. Для этого необходимо и достаточно существования мнимых корней уравнения

и условия, чтобы при каком-либо х, например при было положительно или

Решая последнее квадратное уравнение относительно х, найдем

Отсюда условие мнимости корней квадратного уравнения имеет вид:

Итак, условие того, что кинетическая энергия Т существенно положительна, накладывает на коэффициенты ограничения вида:

Проведя аналогичные рассуждения относительно потенциальной энергии П и функции рассеяния Ф, найдем условия, ограничивающие коэффициенты, определяющие эти функции вида:

и

Уравнения движения

Предполагая, что на систему, обладающую двумя степенями свободы, действуют помимо сил потенциального поля и сил сопротивления среды возмущающие гармонические силы, на основании результатов предыдущей главы уравнения, движения системы запишем в виде:

Эти уравнения надлежит интегрировать при заданных начальных условиях.