ГЛАВА 9. ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ

§ 1. Характерные особенности движения точки иод действием центральной силы

Определение и роль центральных сил

Как уже указывалось, гравитационные и элекромагнитные силы являются одним из основных сил природы. Если рассматривать две точки например Солнце и планету, ионизированный атом и электрон, то линия действия таких сил, действующих на одну из точек, всегда будет проходить через другую точку.

Рис. 65

Сила, приложенная к материальной точке, линия действия которой все время проходит через одну и ту же точку пространства, называется центральной (рис. 65).

Так как эти силы определяют движения, играющие в ряде случаев, принципиальную роль в познании природы, то рассмотрение таких задач является классическим в теоретической механике.

С точки зрения механики в целом рассмотрение движения точки под действием центральншх сил является примером применения общих методов исследований динамики материальной точки.

Первый интеграл векторного уравнения движения

Уравнение движения материальной точки в векторной форме можно записать в виде:

Предполагая, что действующая на материальную точку сила центральная, можно исключить ее из последнего уравнения, умножив его векторно на радиус-вектор проведенный из точки О, в которой сходятся линии действия сил (рис. 65). Действительно,

Но в силу коллинеарности векторов векторное произведение их равно нулю, и, следовательно,

Далее,

но

и поэтому получаем

Отсюда находим первый интеграл уравнений движения вида:

где с — векторная постоянная, определяемая начальными условиями.

Полученный интеграл уравнений движения точки, находящейся под действием центральной силы, отражает специфику рассматриваемого движения. Именно из него следует, что траектория точки есть плоская кривая. Действительно, плоскость, определяемая векторами всегда перпендикулярна вектору с. Поскольку последний в процессе движения не меняет своего направления, векторы и остаются все время в одной и той же плоскости.

Итак, под воздействием центральной силы точка совершает плоское движение.

Физический смысл первого интеграла уравнения движения. Секториальная скорость

Первый интеграл уравнения движения точки, находящейся под действием центральной силы, тесно связан с понятием секториальной скорости.

Рис. 66

Пусть точка за время перемещается из положения (рис. 66), которые соответственно определяются радиусами-векторами За время радиус-вектор описывает секториальную площадь величину которой обозначим . С точностью до бесконечно малого второго порядка она равна площади треугольника построенного на векторах . Поэтому можно написать:

Введем вектор

называемый векторной площадью. Он равен половине векторного произведения и направлен перпендикулярно плоскости, ограниченной векторами в сторону, смотря с которой переход от совершается против часовой стрелки.

Предел отношения векторной площади Да к соответствующему промежутку времени при называется секториальной скоростью точки М. Или

или

Следовательно, секториальная скорость точки М равна половине векторного произведения радиуса-вектора точки на вектор ее скорости.

При движении точки под действием центральной силы имеем:

или

Откуда интегрируя, имеем

где — постоянная интегрирования.

Из полученного равенства следует, что площади, описываемые радиусом-вектором точки, движущейся под действием центральной силы, возрастают со временем линейно. Этот результат называется законом площадей, а постоянная с — постоянной площадью.

Итак, под действием центральной силы движение точки происходит по закону площадей.