ГЛАВА 8. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ

§ 1. Уравнение движелия материальной точки в неинерциальной системе координат

Основное уравнение

Как уже говорилось, вторая аксиома механики дает уравнение движения материальной точки в инерциальной системе координат. Однако системы осей координат, с которыми приходится встречаться в практике, например, система координат, жестко связанная с землей, применяемая в подавляющем большинстве технических задач, не является строго инерциальной. Отсюда, естественно, возникает задача записать уравнения движения точки в неинерциальной системе координат.

Уравнение движения материальной точки в инерциальной системе координат запишем в виде:

где — вектор абсолютного ускорения точки.

Рассмотрим систему кординат, которая произвольным образом движется относительно заданной инерциальной системы. Относительно наблюдателя, находящегося в этой новой неинерциальной системе, масса той же точки и сила, на нее действующая остаются неизменными. Но ускорение точки изменяется. Относительное ускорение связано с абсолютным ускорением соотношением:

Следовательно, можно записать

или

Вводя обозначения:

имеем

Полученное соотношение представляет собой уравнение движения материальной точки в неинерциальной системе координат. Векторы представляют собой поправки на неинерциальность

системы координат. Они имеют размерность силы и подобно реальной силе пропорциональны ускорениям. Поэтому их называют силами инерции: Фпср называется переносной силой инерции и Фкор поворотной силой или силой инерции Кориолиса. Пользуясь этой терминологией, можно сформулировать основной закон механики в относительном движении следующим образом: относительное движение материальной точки описывается тем же (по форме) дифференциальным уравнением, что и абсолютное, но к реально действующим на точку силам прибавляются две силы инерции — переносная и поворотная.

Таким образом, все следствия, получаемые из основных законов механики, справедливы и для относительного движения, если помимо реальных сил, действующих на точку, учитывать еще и силы инерции.

Силы инерции — переносная и Кориолиса

Подчеркнем, что на точку, находящуюся в неинерциальной системе координат, силы инерции оказывают реальное действие, так как они входят в уравнение ее движения.

Например, представим себе человека, сидящего в вагоне поезда лицом в сторону движения. Пока поезд движется равномерно и прямолинейно, человек не замечает движения.

Пусть теперь поезд начинает замедлять свой ход. Тогда человек почувствует, что на него действует толкающая сила. Это и будет сила инерции, в данном случае переносного ускорения.

Разберем этот пример подробнее. Поезд замедлил свой ход под действием реальной силы трения о рельсы. Сидящий в вагоне человек связан со скамейкой силами трения, которые удерживают его на скамейке. Стремясь сохранить равномерное прямолинейное движение, верхняя часть его тела будет обгонять замедленно движущуюся скамейку, и человек наклонится вперед. Таким образом, относительное движение человека практически вызвано не приложенной к нему силой, а стремлением его сохранить движение по инерции в то время, как поезд изменил свое движение под действием реальной силы. Вообще, во всех без исключения случаях изменение относительного движения вследствие неинерциальности системы можно объяснить без сил инерции. Однако введение сил инерции приводит к удобной формулировке основных законов механики в относительном движении и сообщает им известную наглядность, благодаря чему уравнение движения точки в неинерциальной системе координат имеет широкое распространение.

Следует заметить, что для наблюдателя, находящегося в неинерциальной системе, силы инерции проявляют себя как массовые силы, которые не вызываются материальным источником.

Частный случай движения и относительное равновесие точки

Рассмотрим два частных случая: 1. Пусть точка совершает равномерное прямолинейное движение относительно движущейся системы координат. Тогда относительное ускорение ее будет равно нулю и, следовательно:

или реальные силы и силы инерции в этом случае взаимно уравновешиваются.

2. Если точка находится в покое по отношению к движущейся системе координат, то и относительные ускорение и скорость ее равны нулю. Следовательно, в этом случае нет поворотной (корио-лисовой) силы инерции, и поэтому уравнение равновесия приобретает следующий вид: