§ 3. Абсолютно упругий удар точки о сферу
Уравнения удара
Рассмотрение задачи абсолютно упругого удара точки о поверхность сферы представляет интерес с точки зрения приложения этой задачи к чисто физическому вопросу взаимодействия частицы с силовым центром. Причем указанная задача моделирует так называемые силы ближнего действия.
Рис. 134
Итак, пусть точка, имеющая скорость 
параллельную оси х, ударяется о поверхность сферы радиуса а. Выберем плоскость ху так, чтобы в ней располагался вектор 
(рис. 134). Обозначим через 
удаление частицы от оси х и через 
угол, определяющий ее положение на сфере при ударе (рис. 134). Ударной силой в рассматриваемой задаче будет сила реакции сферы. Предполагая, что поверхность сферы абсолютно гладкая, эту реакцию следует направить вдоль радиуса сферы. Векторы, входящие в основное уравнение удара точки,
спроектируем на касательную 
к сечению поверхности сферы. Так как ударная сила будет перпендикулярна к этому направлению, то проекции до ударной и после ударной скорости на 
будут равны:
где 
послеударная скорость точки, а — угол, который эта скорость составляет с нормалью к поверхности сферы. Нормальные составляющие до ударной и после ударной скорости точки, следуя гипотезе Ньютона, будут связаны соотношением:
При абсолютно упругом ударе 
и последнее соотношение имеет вид:
Разделив равенство (19.3) на (19.4), имеем:
или
Следовательно, при абсолютно упругом ударе угол падения точки на поверхность сферы равен углу отражения точки от поверхности.
Формулы (19.3) и (19.4) указывают, что модуль скорости точки до и после удара остается неизменным:
Связь прицельного расстояния с углом рассеяния
Интерпретируя задачу, рассматриваемую выше, как рассеяние частиц, вызванное центральными силами ближнего действия, найдем связь прицельного расстояния 
с углом рассеяния 
или углом скорости 
с осью х (рис. 134). Так как
и
то
Вводя эффективный поперечник рассеяния 
(смотри главу 9, § 6) и пользуясь формулой
найдем, что в рассматриваемом случае
или
Интегрируя по телесному углу 
получим полное сечение рассеяния в виде:
