Д. КОНСЕРВАТИВНЫЕ СИЛЫ

ГЛАВА 13. РАБОТА СИЛЫ. ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ ПОЛЕ

§ 1. Работа и мощность

Предмет главы

Уравнения движения, рассмотренные в предыдущей главе, не содержат внутренних сил и благодаря этому, как неоднократно указывалось, полностью не описывают движение механической системы. В случае абсолютно твердого тела, когда указанные уравнения полностью описывают движение системы, они не всегда дают первые интегралы уравнения движения.

В настоящей главе вводится метод исследования движения системы, который можно назвать энергетическим. Он позволяет включить внутренние силы системы, что дает возможность более полно изучить движение системы и в ряде случаев получить первый интеграл движения. Новые понятия настоящего раздела неразрывно связаны с понятием силовых полей. Характерной особенностью раздела является то, что все величины и уравнения будут скалярными в отличие от предыдущих разделов, где все величины и уравнения были векторными.

Элементарная работа силы

Основным понятием настоящего раздела является элементарная работа силы. Пусть материальная точка движется произвольным образом в пространстве под действием силы и за время совершает элементарное перемещение Элементарной работой силы на перемещении называется скалярное произведение силы на элемент перемещения.

Физически элементарная работа характеризует суммарное действие силы на точку при ее перемещении на пути Обозначая элементарную работу силы через имеем:

Произведение представляет проекцию вектора силы на касательную к траектории (рис. 107).

Рис. 107

Таким образом, можно сказать, что работу производит лишь касательная составляющая силы. Если сила направлена по нормали к траектории, то и работа равна нулю.

Если сила образует тупой угол с направлением движения точки, то работа будет отрицательной. Итак, работа является скалярной алгебраической величиной.

Различные формы записи элементарной работы силы

Элементарное перемещение через вектор скорости можно представить в виде:

Тогда элементарная работа силы записывается так:

Если дугу траектории отсчитывать в сторону движения, то

и элементарная работа может быть представлена в виде:

где — длина элемента траектории точки, — элементарный вектор, направленный вдоль траектории. Запишем элементарную работу силы через проекции силы на оси координат и проекции элементарного перемещения на оси координат . В силу свойства скалярного произведения будем иметь:

Переходя в последнем выражении к проекциям вектора скорости запишем:

Элементарная работа суммы сил, действующих на точку

Пусть сила будет равнодействующей сил, действующих на точку. Тогда

и, подсчитывая элементарную работу, имеем:

Из полученного равенства заключаем, что элементарная работа равнодействующей силы равна алгебраической сумме элементарных работ составляющих сил на том же перемещении.

Работа силы на конечном пути

Пусть точка М, находящаяся под действием силы перемещается по своей траектории из положения А в положение В (рис. 108). Впишем в дугу АВ ломаную, состоящую из отрезков и вычислим работу силы на каждом таком отрезке. Предполагая, что на каждом таком отрезке сила постоянна, ее работа будет Сложив затем полученные работы и перейдя к пределу в предположении, что длины стремятся к нулю, получим:

где определяет работу силы на конечном пути или полную работу силы. Из последнего равенства следует, что работа силы на пути представляет собой криволинейный интеграл от касательной составляющей силы по дуге траектории. Физически полная работа силы характеризует суммарное действие силы на точку при ее движении вдоль отрезка траектории от А до В.

Рис. 108

Полную работу силы можно представить в виде:

где — моменты времени, соответствующие началу и концу рассматриваемого перемещения. Переходя к проекциям силы и перемещения полную работу можно представить в виде:

Размерность работы

Согласно определению работы ее размерность равна произведению размерности силы и пути

В СИ работа измеряется в джоулях . В абсолютной системе, где сила измеряется в динах, а длина в сантиметрах, работа имеет размерность дина-сантиметр (дин•см). Эта единица называется эргом (эрг). Один джоуль равен

Мощность

С понятием работы связано весьма важное понятие, играющее значительную роль в технике. Именно, в ряде случаев важно знать не только работу, но и время, за которое эта работа совершается. Для этого вводится понятие мощности, под которой понимается работа, совершаемая в единицу времени.

Обозначая мощность через будем иметь:

Мощность имеет размерность

В СИ мощность измеряется в джоулях в секунду Эта единица называется ваттом Тысяча ваттов равняется одному киловатту