§ 3. Вынужденные колебания точки

Возмущающие силы

Силы, являющиеся периодическими функциями времени, весьма часто встречаются в практике. Они называются возмущающими силами.

Рассмотрим простейший вид возмущающей силы меняющейся по закону:

где постоянные, характеризующие соответственно амплитуду, частоту и начальную фазу возмущающей силы. Так как любую периодическую функцию можно разложить в тригонометрический ряд (Фурье), то рассматриваемую силу можно считать приблизительным выражением для любой периодической силы, когда из ряда удержан один член.

Уравнение движения

Предположим, что кроме возмущающей силы на точку действует упругая сила и сила сопротивления среды, пропорциональная первой степени скорости. Тогда уравнение движения точки по прямой запишется в виде:

или, вводя обозначения

и перенося члены в правую часть, имеем:

Найденное уравнение движения точки представляет собой линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Частное решение уравнения движения

Общее решение указанного дифференциального уравнения представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного уравнения, которое обозначим через (оно найдено в предыдущем параграфе), и частного решения данного уравнения, которое обозначим через х и будем искать в виде:

где — постоянные величины, подлежащие определению. Найдем

Подставив x в уравнение движения, найдем

Приравнивая коэффициенты при синусах и косинусах, имеем:

Решая эти уравнения, навдем:

и, следовательно, частное решение х уравнения движения будет:

Последнему выражению можно предать более компактный вид, если принять:

Тогда будем иметь:

Общее решение уравнения движения

Как указано, общее решение уравнения движения складывается из . Используя результаты предыдущего параграфа, запишем общее решение рассматриваемого уравнения движения в виде:

где — произвольные постоянные.

Определение произвольных постоянных

Определим из начальных условий, которые зададим в обычном виде: при

Дифференцируя х по времени и используя начальные условия, получаем окончательное выражение для х в виде:

Установившийся режим движения материальной точки

Первое слагаемое полученного уравнения движения описывает свободные колебания точки, возникающие вследствие начального отклонения и начальной скорости точки.

Второе слагаемое описывает затухающие колебания, амплитуда которых пропорциональна амплитуде С возмущающей силы. Эти колебания возникают в результате действия возмущающей силы.

Последнее слагаемое описывает вынужденные колебания с частотой возмущающей силы.

Благодаря множителю амплитуда двух первых колебаний стремится к нулю, тогда как амплитуда последнего колебания остается постоянной. Но, как указывалось ранее, затухание колебаний происходит очень быстро даже при незначительных силах сопротивления. Поэтому по истечении некоторого промежутка времени первыми двумя слагаемыми в последней формуле можно пренебречь и исследовать установившийся режим движения точки, описываемый формулой:

Из этой формулы следует, что установившиеся колебания являются гармоническими и имеют частоту, равную частоте возмущающей силы. Начальная фаза этих колебаний равна т. е. несколько сдвинута относительно начальной фазы возмущающей силы.

Амплитуда С установившихся колебаний зависит от часто ты возмущающей силы.

Изменение механической энергии точки

Подобно тому, как это было сделано в предыдущем параграфе, можно найти изменение механической энергии точки, которое в рассматриваемом случае будет иметь вид:

Член представляет собой работу в единицу времени (или мощность) внешнего источника энергии. Эта работа расходуется на диссипацию энергии и на изменение полной механической энергии тела.