ГЛАВА 3. КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА ИЛИ НЕИЗМЕНЯЕМОЙ СРЕДЫ

§ 1. Уравнения движения абсолютно твердого тела

Степени свободы абсолютно твердого тела

Как следует из предыдущей главы, абсолютно твердое тело представляет собой голономную механическую систему, состоящую из бесконечного числа материальных точек. Однако для описания его движения нет необходимости задавать движение каждой его точки.

Выделим в теле три произвольные точки не лежащие на одной прямой (рис. 29, а). Тогда положение любой четвертой точки А этого тела будет вполне определено положением первых трех. Действительно, если в любой момент времени знать координаты первых трех точек, то можно будет определить и координаты четвертой точки. Пусть, например, точки будут в момент t занимать положения (рис. 29, б).

Рис. 29

Тогда для определения положения точки Л в этот момент времени нужно, перемещая в пространстве неизменяемую систему , расположить ее так, чтобы точка совпадала с точкой точка точкой и точка точкой Положение, которое займет при этом точка А, тогда однозначно определится (точка М). На основании сказанного следует, что положение твердого тела полностью определяется положением трех его точек, не лежащих на одной прямой. Положение трех точек описывается девятью координатами. Но так как эти точки принадлежат твердому телу, то расстояние между ними должно оставаться неизменным. Следовательно, девять величин определяющие координаты трех точек тела, зависимы и должны удовлетворять следующим трем уравнениям:

где — расстояния между соответствующими точками.

Таким образом, если на твердое тело не наложено еще каких-либо дополнительных связей (тело свободно), то его положение определяется шестью независимыми координатами или оно имеет шесть степеней свободы.

Неизменяемая среда

С кинематической точки зрения форма тела (а также и количество вещества, заключенного в нем) не играет роли. Задание движения абсолютно твердого тела не изменяется, если к нему добавить (или убрать) любое число точек, жестко скрепив их с телом. А отсюда следует, что рассмотрение движения абсолютно твердого тела можно заменить рассмотрением движения в некотором условно неподвижном пространстве подвижного пространства или неизменяемой среды. Математически это означает, что изучается движение подвижной системы координат в некоторой основной условно неподвижной системе координат. Причем из предыдущих результатов следует, что это движение описывается шестью уравнениями.

Уравнения движения абсолютно твердого тела

Выше было указано, что положение твердого тела полностью определяется положением системы координат, жестко связанной с твердым телом. Пусть оси неподвижной системы координат будут х, у, z, а подвижной — (рис. 30).

Рис. 30

Тогда положение последней можно определить положением начала подвижной системы которое определим тремя координатами и поворотом подвижной системы координат относительно неподвижной. Этот поворот принято определять так называемыми тремя углами Эйлера. Чтобы указать их, проведем из точки систему координат оси которой параллельны осям х, Пусть плоскости пересекаются по прямой которая называется линией узлов. Тогда угол между линией узлов и осью обозначается и называется углом собственного вращения. Угол между линией узлов и осью обозначается и называется углом прецессии. Угол между осью? и обозначается и называется утлом нутации. Углы полностью определяют поворот подвижной системы координат относительно неподвижной и шесть величин определяют положение подвижной системы относительно неподвижной. Эти шесть величин представляют собой обобщенные координаты

абсолютно твердого тела или неизменяемой среды. Следовательно, шесть уравнений вида:

представляют собой уравнения движения свободного абсолютно твердого тела в конечной форме.

Заметим, что точка начало подвижной системы координат, может быть выбрана в любой точке абсолютно твердого тела. Часто эта точка называется полюсом. Подвижные оси, жестко скрепленные с телом, также можно направить произвольным образом в тело.

Производные по времени от обобщенных координат твердого тела обозначаются и являются обобщенными скоростями твердого тела.