§ 5. Движение электрона в поле ионизированного атома (центральная отталкивающая сила)

Приведенная масса

Рассматривая две точки, взаимодействие которых определяется центральными силами, уравнение движения одной точки относительно другой для притягивающей силы, как указано выше, имеет вид:

Этому уравнению можно придать другую форму, именно:

В последней записи это уравнение можно рассматривать как движение материальной точки массы

под действием силы

Коэффициент получил название приведенной массы. Смысл его введения заключается в том, что, применяя для центральных сил формулу Бинэ, в случае учета взаимодействия двух точек можно не изменять силу, входящую в формулу Бинэ, как это делалось выше, а заменить массу точки приведенной массой Последнее проиллюстрируем в настоящем параграфе.

Семейство траекторий точек, движущихся под действием центральной отталкивающей силы

Все принципиальные вопросы, рассмотренные выше в применении к притягивающей центральной силе, могут быть применены и к центральной отталкивающей силе.

В качестве конкретного примера центральной отталкивающей силы, действующей на точку, рассмотрим движение электрона массы и заряда . Заряд летит из бесконечности с начальной скоростью направленной вдоль положительного направления оси х

и находится под действием ионизированного и, следовательно, отрицательно заряженного атома, расположенного в начале координат (рис. 70). Будем полагать, что заряд атома и масса его М. Сила взаимодействия между электроном и отрицательно заряженным атомом будет центральной отталкивающей и, следовательно, направленной вдоль радиуса-вектора электрона. Модуль ее равен

где — модуль радиуса-вектора электрона, — постоянный коэффициент, зависящий от выбора системы единиц. Будем считать его равным единице. В рассматриваемом случае уравнению движения электрона можно придать вид:

или, вводя приведенную массу,

Рис. 70

Применяя к рассматриваемому случаю формулу Бинэ, справедливую для центральных сил, имеем:

или

Интегрируя, получаем

где с — постоянная интеграла площадей, имеющего место для центральных сил, — постоянные интегрирования.

Полученное уравнение определяет семейство траекторий, по которым возможно движение электрона.

Начальные условия и определение произвольных постоянных

Для определения сформулируем начальные условия. В момент времени электрон находится в бесконечности на

расстоянии от оси х (рис. 70). Следовательно, при

Далее, при скорость электрона определяется равенством:

Подставляя начальные данные в уравнение семейства траекторий имеем:

Отсюда

и уравнение траекторий теперь запишется в виде:

Найдем радиальную составляющую скорости для этого продифференцируем последнее равенство во времени, получим:

Но по закону площадей

Следовательно,

Так как при то имеем

и, следовательно,

или

Полученное уравнение определяет семейство траекторий электронов, зависящих от одного параметра с (постоянной площадей). Чтобы выбрать ту из них, которая соответствует электрону, находящемуся при на расстоянии от оси х, положим в этом равенстве Тогда будем иметь:

Но

Таким образом, получаем

Отсюда

и уравнение траектории электрона запишется в виде:

Полагая

и вводя угол определяемый равенствами:

перепишем уравнение траектории в форме

Так как величина больше единицы, то электрон описывает ветвь гиперболы. Конкретно эта ветвь определяется начальным расстоянием электрона от оси х.

Угол рассеивания и его связь с прицельным расстоянием

Асимптоты гипербол, которым могут двигаться различные электроны, определяются уравнением:

или

Так как

находим два решения этого уравнения

и

Первое из этих решений соответствует отрицательному направлению оси х.

Для второго решения этого уравнения можно написать:

Так как начальное направление скорости электрона соответствует углу то угол определяемый последним равенством, есть угол между начальным и конечным направлениями скорости электрона. Этот угол носит название угла рассеивания, — носит название прицельного расстояния электрона.

Связь между углом рассеивания и прицельным расстоянием, как следует из последнего равенства, выражается формулой:

или, подставляя значение приведенной массы, имеем:

Из последних формул следует, что чем больше тем меньше угол рассеивания определяющий асимптоту.

Мертвая зона

Рассмотрим пучок электронов, пущенных из бесконечности, обладающих различным придельным расстоянием и двигающихся в поле ионизированного атома. Как следует из последней формулы траектории электронов, пущенных из бесконечности при разных будут пересекаться (рис. 71). Огибающая семейства этих траекторий ограничивает область, в которую не проникает ни один электрон. Эта область называется мертвой зоной. Уравнение этой огибающей можно найти в результате исключения параметра из уравнения семейства траекторий и соотношения, полученного из уравнения траекторий путем дифференцирования его по

Рис. 71

Дифференцируя уравнение траектории по имеем:

или

Отсюда

Подставив это значение в уравнение траектории и произведя преобразования, получим

или

Последнее уравнение представляет собой уравнение параболы, фокус которой совпадает с началом координат. Вершина этой параболы лежит на полярной оси х слева от начала координат на расстоянии

Эта парабола ограничивает мертвую зону, окружающую атом, расположенный в фокусе этой параболы.

Эффективный поперечник рассеяния. Формула Резерфорда

Обобщим задачу, рассмотренную выше. Именно будем полагать, что на отталкивающий центр, расположенный в начале координат, налетает поток одинаковых частиц, ось симметрии которого совпадает с осью х. Положим, что силовое воздействие частиц друг на друга отсутствует. Физически это значит, что оно мало по сравнению с воздействием отталкивающего центра. Полагаем, что в бесконечности все частицы имеют скорость направленную параллельно положительному направлению оси х. Пусть поток частиц изотропный; число частиц, пересекающих за единицу времени единичную площадку. Эта площадка перпендикулярна направлению движения частиц. Число частиц называется плотностью потока, размерность которого

Рис. 72

Рассмотрим число частиц, отклоненных отталкивающим центром за единицу времени и лежащих в интервале, ограниченном углами (рис. 72). В бесконечности эти частицы пересекут кольцо площади Число их за единицу времени будет

Отношение

где называется эффективным поперечником рассеяния частиц или дифференциальным сечением рассеяния, равным численно площади выделенного кольца. Дифференциальное сечение

предполагается существенно положительной величиной, поэтому в формулах взят модуль так как может быть и отрицательным.

Эффективный поперечник рассеяния относят к представляющему телесный угол, заключенный между двумя конусами с углами полураствора, равными соответственно . Так как

и имеют разные знаки (рис. 72), то

Используя формулу:

и тождество найдем

где — заряд одной частицы, — заряд отталкивающего центра, приведенная масса одной частицы.

Вводя коэффициент а, определяемый формулой:

получим формулу Резерфорда:

Эта формула описывает массовые явления, характерные для статистической физики. Так как экспериментальному измерению поддаются величины то формула Резерфорда применяется для оценки результатов опытов по рассеянию частиц отталкивающими центрами.

В заключение параграфа отметим, что если отталкивающий центр неподвижен, то во всех формулах надо заменить приведенную массу массой частицы — электрона .