§ 2. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси

Силы, действующие на тело

Положим, что тело вращается вокруг неподвижной оси. Неподвижность оси обеспечивается тем, что тело закреплено в двух точках О и расположенных на оси. В точке О расположен шарнир и в точке — подшипник. Тело находится под действием активных

Рис. 118

сил, главный вектор которых равен и главный момент относительно точки О равен М. Силу реакции шарнира обозначим через и силу реакции подшипника обозначим через (рис. 118). Момент силы относительно точки О равен нулю, так как эта сила проходит через точку О, а момент силы относительно этой точки равен:

Векторные уравнения движения тела

Движения твердого тела, как ранее было доказано, описываются системой дифференциальных уравнений, выражающих теоремы о количестве движения и о кинетическом моменте.

В рассматриваемом случае их можно записать в виде:

Преобразуем левые части этих уравнений. Так как рассматриваемое тело вращается вокруг неподвижной оси, то скорость его центра масс равна

где о — вектор угловой скорости тела, — радиус-вектор центра масс, проведенный из точки О. Далее, имеем

и, следовательно,

Поэтому

Теорему о количестве движения можно окончательно записать в виде:

Преобразуем подобным же образом уравнение кинетического момента. Именно:

где — ускорение элемента которое можно представить в виде:

Следовательно:

Но так как

то

Поэтому теорема о кинетическом моменте запишется в виде:

Скалярные уравнения движения

Выберем декартову систему координат с началом в точке О и осью z, направленной по оси вращения тела (рис. 118).

Тогда будем иметь:

Далее:

и

Так как ось подшипника О совпадает с осью z, то реакция этого подшипника будет перпендикулярна оси z и, следовательно,

Таким образом, уравнение (16.1) запишется в виде:

где и т. д. - проекции векторов на координатные оси.

Перейдем теперь к уравнению кинетического момента (уравнение 16.2). Имеем:

Поэтому уравнение (16.2) можно записать в виде:

или

Проектируем векторы, входящие в (16.3) и (16.4) на оси координат, получаем:

Эти шесть уравнений полностью определяют вращение тела вокруг неподвижной оси под действием заданных активных сил (при определенных начальных условиях) и реакции в точках закрепления.

Уравнение вращения тела вокруг оси

Последнее из этих уравнений можно переписать в виде:

Уравнение (16.6) представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка, которое при заданных начальных условиях определяет зависимость от или закон движения тела:

Из уравнения (16.6) следует, что закон движения вращающегося тела определяется только моментом активных сил относительно оси вращения.

Динамические реакции

Пять первых уравнений (16.5) определяют реакции опор твердого тела. Из этих уравнений следует, что они существенно зависят от закона движения этого тела, а именно от его угловой скорости со и углового ускорения которые определяются из уравнения (16.6). Пять неизвестных составляющих и определяются из пяти первых алгебраических уравнений (16.5). При этом одна из этих составляющих реакция не зависит от характера движения тела и равна

Цинамические перегрузки и их ликвидация

В случае равновесия тела, закрепленного в точках О и при помощи подпятника и шарнира уравнения равновесия получаются как следствие уравнений (16.5) в виде:

Последнее из этих соотношений является условием равновесия тела. Остальные пять уравнений определяют статические реакции опор. В случае вращения тела возникают дополнительные силы, действующие на связи. Они носят название динамических перегрузок и в случае быстрого вращения тела (что имеет место в деталях современных машин) во много раз больше действующих на тело сил.

Однако уравнения (16.5) указывают, что, расположив ось вращения тела специальным образом, динамические перегрузки могут быть ликвидированы. Действительно, выбирая ось вращения тела, совпадающей с главной центральной осью тела, будем иметь, что в этом случае члены, определяющие динамические перегрузки в уравнении (16.5), исчезают и реакции опор не будут зависеть от вращения тела, т. е. будут равны статическим.