Цель этой книги – доступно рассказать о новых качественных методах исследования интегрируемых гамильтоновых систем.

Хорошо известно, что многие системы дифференциальных уравнений, возникающие в физике, геометрии и механике и описывающие совершенно различные явления, тем не менее тесно связаны между собой (в некотором смысле похожи).

Изучению таких связей (другими словами, изоморфизмов разного характера) между динамическими системами было посвящено очень много работ, начиная с Мопертюи, Эйлера, Якоби, Минковского. В последние годы этот вопрос (в связи с проблемами интегрируемости) обсуждался в работах С. Смейла, Дж. Марсдена, Ю.Мозера, М. Адлера, І. ван Мербеке, Х. Кноррера, Л. Гаврилова, В.В. Козлова, С. П. Новикова, А. П. Веселова, А. И. Бобенко и других.

О каких типах изоморфизмов идет здесь речь? В зависимости от постановки задачи они могут быть весьма разнообразны. В настоящей книге речь будет идти главным образом о следующих трех хорошо известных отношениях эквивалентности среди динамических систем: сопряженность, траекторная эквивалентность (непрерывная и гладкая) и лиувиллева эквивалентность (в случае интегрируемых систем). Напомним, что две гладкие динамические системы $\sigma^{t}$ и $\sigma^{\prime t}$ называются топологически (гладко) сопряженными, если существует гомеоморфизм (диффеоморфизм) $\xi$ между многообразиями, на которых заданы эти системы, переводящий динамические системы друг в друга, т.е. $\sigma^{\prime t}=\xi \sigma^{t} \xi^{-1}$. Другими словами, сопряженность означает, что на самом деле рассматриваемые системы совершенно идентичны. Используя несколько иную терминологию, мы можем попросту говорить, что они переходят друг в друга в результате некоторой замены переменных (без замены времени).

Второе отношение эквивалентности – траекторная эквивалентность – несколько слабее. Предполагается, что гомеоморфизм (диффеоморфизм) $\xi$ переводит траектории первой системы в траектории второй, не обязательно сохраняя при этом параметр $t$ (время) на этих траекториях. Ясно, что сопряженные системы являются траекторно эквивалентными, но не наоборот. Тем не менее, отношение траекторной эквивалентности является весьма сильным. В частности, все качественные свойства динамических систем (устойчивость, строение предельных множеств, типы замкнутых траекторий и др.) сохраняются при траекторных изоморфизмах.

Третье отношение эквивалентности – лиувиллева эквивалентность – возникает в случае гамильтоновых динамических систем, интегрируемых по Лиувиллю. Две такие системы считаются лиувиллево эквивалентными, если их фазовые пространства одинаковым образом расслоены на торы Лиувилля.

Вопрос о классификации динамических систем в смысле этих отношений эквивалентности является классическим. Среди известных результатов в этом направлении (в теории классификации динамических систем):

a) Локальная теория в окрестности положения равновесия и периодической траектории (А. Пуанкаре, А. Дюлак, Дж. Д. Биркгоф, К. Т. Чень и др., см. обзоры Д. В. Аносова, С. Х. Арансона, И. У. Бронштейна, В. З. Гринеса [4], В. И. Арнольда и Ю. С. Ильяшенко [11]).
б) Из глобальных результатов – классификация потоков Морса-Смейла (Е.А.Леонтович, А.Г.Майер [103], [104], М.М.Пейксото [354], Я. Л. Уманский [205]) и потоков специального типа на двумерных поверхностях (С. Х. Арансон, В. 3. Гринес [10]).
в) Исследование топологии интегральных многообразий и слоений Лиувилля интегрируемых систем (С. Смейл [178], А. А. Ошемков [350], [157], М. П. Харламов $[219],[220]$, Т.И.Погосян [163], [164], [165], Я.В.Татаринов [192], [192], Нгуен Тьен Зунг [343], [344], Р. Кушман и Л. Бейтс [264], Р. Кушман и Х. Кноррер [265], М. Оден [237], [238]), Л. Гаврилов [301], [302], [303]).

Разумеется, решение задачи классификации для гладких динамических систем произвольного вида в разумных терминах вряд ли возможно. Поэтому естественно ограничиться рассмотрением систем некоторого специального класса, обладающих в чем-то похожими свойствами.

В настоящей книге излагается решение задачи лиувиллевой и траекторной классификации для одного из важнейших классов динамических систем, а именно, для невырожденных интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы.

В этой классификации лежит новый подход в качественной теории интегрируемых гамильтоновых систем, предложенный А. Т. Фоменко [206], [208], [286], и построенная затем совместно с Х. Цишангом, С. В. Матвеевым, А. В. Болсиновым и А.В.Браиловым теория топологической классификации таких систем [215], [216], [30], [33], [48], [24], [25], [28].
А.Т.Фоменко предложил сопоставлять каждой интегрируемой гамильтоновой системе в качестве топологического инварианта некоторый граф $W$, названный им молекулой системы. С помощью этого инварианта удалось полностью описать структуру расслоения изоэнергетической поверхности системы на инвариантные торы Лиувилля и тем самым классифицировать системы в смысле луивиллевой эквивалентности. Оказалось, что для этого необходимо снабдить граф некоторым набором числовых меток. В качестве окончательного инварианта была предложена так называемая меченая молекула системы $W^{*}$ (инвариант Фоменко-Цишанга).

Эту молекулу $W^{*}$ естественным образом можно рассматривать как некоторый портрет интегрируемой гамильтоновой системы, содержащий в себе очень много полезной информации о ней. В случае траекторной классификации приходится решать более деликатную проблему. А именно, нужно научиться полностью описывать слоение изоэнергетической поверхности системы на траектории (а не только на лиувиллевские торы) и классифицировать интегрируемые системы с точностью до траекторной эквивалентности. Ясно, что для этого мы должны сделать портрет системы более подробным, дополнив его (т.е. меченую молекулу) новыми деталями (т.е. траекторными инвариантами). Другими словами, задача состоит в том, чтобы найти и описать полный набор дополнительных

траекторных инвариантов (в непрерывном и гладком случаях). Эта задача была решена авторами, и этому посвящена одна из частей настоящей книги.

В настоящее время исследования по топологии интегрируемых систем активно развиваются как в России, так и за рубежом. В частности, были описаны топологические портреты и дана лиувиллева и траекторная классификация многих конкретных физических и механических интегрируемых систем с двумя степенями свободы. Укажем здесь на работы Е. В. Аношкиной, В. В. Калашникова (мл.), Б. С. Кругликова, В. С. Матвеева, Т.З.Нгуена, О.Е.Орел, А. А. Ошемкова, Л.С.Поляковой, Е.Н.Селивановой, П. Топалова, В.В.Трофимова, П.Рихтера, Х. Дуллина, А. Виттека, Л. Гаврилова, М. Оден.

Настоящая книга является введением в проблему классификации интегрируемых систем. Ее отличительной особенностью является систематичность изложения большого материала, доступного ранее лишь в виде журнальных статей. Мы стремились рассказать обо всех этих исследованиях максимально просто и доступно, рассчитывая в том числе и на студентов математиков, физиков и механиков. В первом томе мы излагаем основы теории и связанные с ней общие вопросы топологии интегрируемых систем.

Второй том знакомит читателя с многочисленными приложениями построенной теории в физике, механике и геометрии. Мы обсуждаем здесь общие топологические и геометрические методы анализа конкретных динамических систем, не касаясь, в частности, алгебро-геометрического подхода, служащего мощным средством исследования качественных свойств алгебраически интегрируемых систем, их лиувиллевых слоений и т.п. Это отдельная разветвленная тематика, с которой читатель может познакомиться по недавно вышедшей книге М.Оден [237]. Мы же сконцентрировали внимание на методах более общего характера, эффективно работающих как в алгебро-геометрических случаях интегрируемости, так и в случаях, когда никакой алгебраичности нет. Во втором томе нашей книге мы особо подробно рассмотрели два класса интегрируемых систем. Это – интегрируемые случаи в динамике твердого тела и интегрируемые геодезические потоки римановых метрик на двумерных поверхностях.

Безусловно, в книге отражены далеко не все приложения теории топологических инвариантов интегрируемых систем. Более того, это направление продолжает активно развиваться. Например, в самое последнее время интересные результаты получены Ю.А.Браиловым, Н. В. Коровиной, Е. А. Кудрявцевой, В. В. Корнеевым, В.О. Мантуровым, Е.Я.Татариновой.

В заключение мы выражаем глубокую благодарность за многочисленные научные обсуждения В. В. Козлову, С. В. Матвееву, Х. Цишангу, В. В.Шарко, И. К. Бабенко, Я.В.Татаринову, И. А. Тайманову, А. М. Степину, Ю.Н.Федорову, Н. Н. Нехорошеву, Дж. Марсдену, Л. Гаврилову, П. Рихтеру, Х. Дуллину, А. Виттеку. А также – нашим ученикам, постоянный контакт с которыми был для нас очень важен.

Работа была частично поддержана РФФИ, (номер 98-01-00240), а также грантом поддержки ведущих научных школ (номер 96-15-96142) и грантом президента России (номер 96-16-96868).