В этом параграфе мы построим полный набор инвариантов, дающих классификацию гамильтоновых систем с одной степенью свободы в окрестности особого уровня гамильтониана с точностью до топологической сопряженности. Говоря о топологической сопряженности таких систем, мы будем подразумевать существование гомеоморфизма, который не только сопрягает потоки, но и сохраняет ориентацию.

Рассмотрим гамильтонову систему $w=\operatorname{sgrad} F$ с одной степенью свободы на двумерном симплектическом многообразии $(X, \omega)$. Через $\sigma^{t}: X \rightarrow X$ обозначим соответствующий гамильтонов поток (т. е. однопараметрическую группу диффеоморфизмов, порождаемую гамильтоновым векторным полем $\operatorname{sgrad} F$ ). Мы предполагаем здесь, что гамильтониан $F: X \rightarrow R$ является функцией Морса, т. е. все его особые точки невырождены. Пусть $c$ – критическое значение гамильтониана $F$ и $K=F^{-1}(c)$ – соответствующий особый уровень гамильтониана, который без ограничения общности мы будем предполагать связным. Рассмотрим достаточно малую регулярную окрестность $P$ особого слоя $K$. Как и в главе 2 , в качестве такой окрестности удобно рассмотреть множество $P=F^{-1}[c-\varepsilon, c+\varepsilon]$, где $\varepsilon$ достаточно мало для того, чтобы в эту окрестность не попало никаких особых точек гамильтониана кроме тех, что лежат на особом слое $K$. Наша задача описать полный набор инвариантов гамильтоновой системы в окрестности особого слоя $K$, или – в терминологии главы 2 – на атоме $(P, K)$. Для нас наиболее интересным является случай, когда атом является седловым. Именно это мы будем ниже предполагать. В этом случае $K$ является графом, все вершины которого имеют степень 4 и совпадают с особыми точками гамильтониана. Кроме того, без ограничения общности мы будем считать, что критическое значение $c$ равно нулю, т.е. $F(K)=0$.