Определение 1.9. Пусть $(M, \omega)$ и $\left(M^{\prime}, \omega^{\prime}\right)$ – два симплектических многообразия. Отображение $f: M \rightarrow M^{\prime}$ называется симплектическим, если $f^{*} \omega^{\prime}=\omega$. Другими словами, дифференциал отображения $f$ в каждой точке должен быть симплектическим отображением касательных пространств, т.е. $\omega(\xi, \eta)=$ $=\omega^{\prime}(d f(\xi), d f(\eta))$ для любых касательных векторов $\xi, \eta$ к $M$. Симплектический диффеоморфизм называется симплектоморфизмом.
Напомним, что гладкое отображение $f$ гладких многообразий называется погружением, если его дифференциал $d f$ невырожден (т. е. имеет нулевое ядро).
Лемма 1.3. Любое симплектическое отображение $f: M \rightarrow M^{\prime}$ симллектических многообразий $M$ и $M^{\prime}$ является погружением.
Доказательство.
Допустим противное. Если для некоторого ненулевого касательного вектора $a$ имеем $d f(a)=0$, то
\[
\omega(a, b)=f^{*} \omega^{\prime}(a, b)=\omega^{\prime}(d f(a), d f(b))=0
\]
для любого касательного вектора $b$, что противоречит невырожденности формы $\omega$. Лемма доказана.
В каком случае между двумя многообразиями $(M, \omega)$ и $\left(M^{\prime}, \omega^{\prime}\right)$ существует симплектическое отображение? Когда, например, симплектическое многообразие допускает симплектическое вложение или погружение в $\left(\mathbb{R}^{2 n}, d p \wedge d q\right.$ )?
Рассмотрим сначала эту проблему локально и в том случае, когда размерности многообразий $M$ и $M^{\prime}$ равны. Здесь ответ дает теорема Дарбу, согласно которой для любой точки $x$ из $M$ и для любой точки $y$ из $M^{\prime}$ всегда существует симплектоморфизм некоторой окрестности $U(x)$ точки $x$ на некоторую окрестность $V(y)$ точки $y$. Другими словами, локально любые симплектические многообразия одинаковой размерности симплектоморфны.
С другой стороны, следующее утверждение показывает существование глобальных препятствий для симплектических вложений.
Предложение 1.9. Компактное замкнутое симплектическое многообразие $M^{2 n}$ нельзя симплектически отобразить ни в какое стандартное симплектическое пространство $\mathbb{R}^{2 N}$.
Доказательство.
Допустим противное. Пусть существует гладкое симплектическое отображение $f: M \rightarrow \mathbb{R}^{2 N}$. Тогда $\omega=f^{*} \Omega$. Форма $\Omega$ на $\mathbb{R}^{2 N}$ является точной, т. е. имеет вид $\Omega=d \tau$ для 1-формы $\tau=\sum p_{i} d q_{i}$. Следовательно, форма $\omega$ на $M$ также точна, так как $\omega=f^{*} d \tau=d\left(f^{*} \tau\right)$. Полученное противоречие с предложением 1.6 доказывает предложение 1.9 .
Определение 1.10. Пусть $\left(M^{2 n}, \omega\right)$ – симплектическое многообразие. Гладкое подмногообразие $N \subset M$ называется
1) симплектическим, если ограничение формы $\omega$ на $N$ невырождено;
2) лагражжевым, если $\operatorname{dim} N=n$ и ограничение формы $\omega$ на $N$ тождественно равно нулю.
Пример 1. Рассмотрим каноническую систему координат $p_{1}, \ldots, p_{n}, q_{1}, \ldots, q_{n}$ и произвольную гладкую функцию $S=S\left(q_{1}, \ldots, q_{n}\right)$. Тогда подмногообразие $N$, заданное как график
\[
\begin{array}{c}
p_{1}=\frac{\partial S}{\partial q_{1}}, \\
\cdots \\
p_{n}=\frac{\partial S}{\partial q_{n}},
\end{array}
\]
является лагранжевым. Верно и обратное: если лагранжево подмногообразие $N$ можно в канонических координатах представить как график $p_{i}=P_{i}\left(q_{1}, \ldots, q_{n}\right)$, то (по крайней мере локально) найдется функция $S=S\left(q_{1}, \ldots, q_{n}\right.$ ) такая, что $P_{i}=\frac{\partial S}{\partial q_{i}}$.
Еще одним примером лагранжевых подмногообразий являются торы Лиувилля интегрируемых гамильтоновых систем, о которых речь идет в следующем параграфе.
