Рассмотрим теперь критические точки отображения момента $\mathcal{F}$ не на $Q$, а с точки зрения объемлющего 4 -многообразия $M$. Замкнутое множество $K$ всех критических точек можно стратифицировать рангом отображения момента, т.е. представить его в виде объединения
\[
K=K_{1}+K_{0},
\]

где $K_{1}=\{x \mid$ ранг $d \mathcal{F}(x)=1\}, \quad K_{0}=\{x \mid$ ранг $d \mathcal{F}(x)=0\}$.

Предложение 1.17. Множество $K_{1}$ является объединением всех одномерных орбит пуассонова действия группы $\mathbb{R}^{2}$ на $M^{4}$. Множество $K_{0}$ состоит из всех неподвижных точек этого действия.

Доказательство.
Это утверждение справедливо для произвольного числа степеней свободы. Действительно, размерность любой орбиты группы $\mathbb{R}^{n}$ равна рангу системы векторов $\left\{\operatorname{sgrad} f_{i}\right\}$. Этот ранг, в свою очередь, равен рангу системы $\left\{d f_{i}\right\}$. Предложение доказано.

Зададимся вопросом: какие точки из $K_{1}$ и $K_{0}$ естественно считать невырожденными. Начнем с обсуждения $K_{1}$.

Рассмотрим точку $x$ из $M^{4}$ такую, что ранг $d \mathcal{F}(x)=1$. Орбита этой точки одномерна и диффеоморфна либо прямой, либо окружности.

Предположим, для определенности, что $d H(x)
eq 0$. Тогда в силу теоремы Дарбу в окрестности точки $x$ существует каноническая система координат ( $p_{1}, q_{1}, p_{2}, q_{2}$ ) такая, что $H=p_{1}$. Поскольку функции $f$ и $H$ коммутируют, то функция $f$ не зависит от $q_{1}$, т. е. $f=f\left(p_{1}, p_{2}, q_{2}\right)$.
Поскольку $x \in K_{1}$ – критическая точка $\mathcal{F}$, то
\[
\frac{\partial f}{\partial p_{2}(x)}=\frac{\partial f}{\partial q_{2}(x)}=\mathbf{0} .
\]

Определение 1.21. Точка $x$ из $K_{1}$ будет называться невырожденной для отображения момента $\mathcal{F}$, если матрица
\[
\left(\begin{array}{cc}
\frac{\partial^{2} f}{\partial p_{2}^{2}} & \frac{\partial^{2} f}{\partial p_{2} \partial q_{2}} \\
\frac{\partial^{2} f}{\partial p_{2} \partial q_{2}} & \frac{\partial^{2} f}{\partial q_{2}^{2}}
\end{array}\right)
\]

невырождена в точке $x$.
Обозначим множество всех таких точек через $K_{1}^{*}$.
Определение корректно, то есть не зависит от выбора локальной канонической системы координат. Это вытекает из того, что указанная матрица в точности совпадает с гессианом функции $f$, ограниченной на двумерную трансверсаль к одномерной орбите в $Q=\left\{p_{1}=\right.$ const $\}$, целиком состоящей из критических точек функции $f$.

Другими словами, функция $f$ является функцией Ботта на трехмерном уровне $H=$ const (локально в окрестности рассматриваемой точки $x$ ). В частности, сформулированное выше условие невырожденности запрещает существование критических торов и бутылок Клейна на уровне $H$ = const.

Предыдущее определение невырожденности было сформулировано в терминах локальных координат. Можно дать и эквивалентное ему инвариантное определение, т.е. не использующее координат. Оно будет полезно для конкретной проверки условия невырожденности, поскольку поиск канонической системы координат, использованной выше, обычно затруднен.

Пусть в точке $x$ ранг $d \mathcal{F}(x)$ равен единице. Тогда в этой точке дифференциалы $d f$ и $d H$ зависимы, т.е. существуют числа $\lambda$ и $\mu$ такие, что
\[
\lambda d f(x)+\mu d H(x)=0 .
\]

Здесь $\lambda$ и $\mu$ определены однозначно с точностью до пропорциональности. Пусть $L-$ касательная прямая к одномерной орбите действия $\mathbb{R}^{2}$. Она является одномерным подпространством (в касательном пространстве к $M^{4}$ ), порожденным линейно зависимыми векторами $\operatorname{sgrad} f, \operatorname{sgrad} H$. Пусть $L^{\prime}$ – трехмерное подпространство, ортогональное к $L$ в смысле симплектической формы.
Определение 1.22. Точка $x$ будет называться невырожденной точкой отображения момента $\mathcal{F}$, если ранг симметричной 2 -формы
\[
\lambda d^{2} f(x)+\mu d^{2} H(x)
\]

на подпространстве $L^{\prime}$ равен 2.
Эта 2-форма корректно определена, поскольку $\lambda d f(x)+\mu d H(x)=0$.
Отметим, что ранг $\lambda d^{2} f(x)+\mu d^{2} H(x)$ не может равняться 3 на $L^{\prime}$, так как одномерное подпространство $L \subset L^{\prime}$ лежит в ядре этой 2 -формы. Докажем это. Пусть, для определенности, оно натянуто на $v=\operatorname{sgrad} f$ (напомним, что $\operatorname{sgrad} f(x)$ и $\operatorname{sgrad} H(x)$ зависимы). Подсчитаем значение 2-формы на паре векторов $v$ и $\xi$, где вектор $\xi$ произволен. Получим:
\[
\left(\lambda d^{2} f+\mu d^{2} H\right)(v, \xi)=\xi(\operatorname{sgrad} f(\lambda f+\mu H))=\xi(\{f, \lambda f+\mu H\})=0,
\]

так как $f$ и $H$ коммутируют.
Определения 1.21 и 1.22 эквивалентны. Перепишем определение 1.22 в специальной системе координат Дарбу ( $p_{1}, q_{1}, p_{2}, q_{2}$ ) из определения 1.21. Тогда одномерное подпространство $L$ порождается вектором $\frac{\partial}{\partial q_{1}}$, а 3 -подпространство $L^{\prime}$ порождается векторами $\frac{\partial}{\partial q_{1}}, \frac{\partial}{\partial p_{2}}, \frac{\partial}{\partial q_{2}}$. Поскольку функция $f$ от переменной $q_{1}$ не зависит, а $H=p_{1}$, то матрица 2-формы $\lambda d^{2} f(x)+\mu d^{2} H(x)$ имеет вид
\[
\lambda\left(\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 0 \\
0 & \frac{\partial^{2} f}{\partial p_{2}^{2}} & \frac{\partial^{2} f}{\partial p_{2} \partial q_{2}} \\
0 & \frac{\partial^{2} f}{\partial p_{2} \partial q_{2}} & \frac{\partial^{2} f}{\partial q_{2}^{2}}
\end{array}\right) .
\]

Таким образом, в локальных координатах условия из определений 1.21 и 1.22 совпадают.

Как устроено с топологической точки зрения подмножество $K_{1}^{*}$ невырожденных точек отображения момента в критическом множестве $K_{1}$ ?

Предложение 1.18.

a) Множество K $_{1}^{*}$ является двумерным гладким симплектическим подмногообразием в $M^{4}$.
б) У каждой точки $x$ из $K_{1}^{*}$ существует открытая окрестность $U$ в $K_{1}^{*}$, диффеоморфная 2-диску, такая, что ее образ $\mathcal{F}(U)$ в $\mathbb{R}^{2}$ является гладкой регулярной дугой $\delta$ без самопересечений.
в) Пусть $\dot{\delta}=(a, b)$ – касательный вектор к кривой $\delta$ в точке $\mathcal{F}(x)$. Тогда выполнено соотношение:
\[
b \operatorname{sgrad} H(x)-a \text { sgrad } f(x)=0 .
\]

Доказательство.
Воспользуемся определением 1.21 невырожденности критических точек. Выберем каноническую систему координат $\left(p_{1}, q_{1}, p_{2}, q_{2}\right)$, в которой $H=p_{1}$, $f=f\left(p_{1}, p_{2}, q_{2}\right)$. Тогда в окрестности точки $x$ множество критических точек отображения момента $\mathcal{F}$ задается двумя уравнениями: $\frac{\partial f}{\partial p_{2}}=0, \frac{\partial f}{\partial q_{2}}=0$. В силу невырожденности матрицы
\[
\left(\begin{array}{cc}
\frac{\partial^{2} f}{\partial p_{2}^{2}} & \frac{\partial^{2} f}{\partial p_{2} \partial q_{2}} \\
\frac{\partial^{2} f}{\partial p_{2} \partial q_{2}} & \frac{\partial^{2} f}{\partial q_{2}^{2}}
\end{array}\right)
\]

эти два уравнения определяют (локально) гладкое двумерное подмногообразие в $M$. Поскольку матрица остается невырожденной и в некоторой окрестности точки $x$, то все критические точки, попавшие в эту окрестность, тоже оказываются невырожденными. Так как указанная выше матрица является частью матрицы Якоби для двух уравнений $\frac{\partial f}{\partial p_{2}}=0, \frac{\partial f}{\partial q_{2}}=0$, то по теореме о неявных функциях получаем, что переменные $p_{2}, q_{2}$ локально выражаются как гладкие однозначные функции от $p_{1}, q_{1}$, т.е. множество $K_{1}^{*}$ локально представляется в виде гладкого графика.

Покажем, что $K_{1}^{*}$ – симплектическое 2 -многообразие. Для этого нужно доказать, что ограничение на него формы $\omega$ невырождено.

В самом деле, подставляя в 2 -форму $\omega=d p_{1} \wedge d q_{1}+d p_{2} \wedge d q_{2}$ функции $p_{2}=$ $=p_{2}\left(p_{1}, q_{1}\right)$ и $q_{2}=q_{2}\left(p_{1}, q_{1}\right)$ и вспоминая, что на самом деле от $q_{1}$ они не зависят, т.е. $p_{2}=p_{2}\left(p_{1}\right)$ и $q_{2}=q_{2}\left(p_{1}\right)$, мы видим, что ограничение формы $\omega$ на $K_{1}^{*}$ совпадает с $d p_{1} \wedge d q_{1}$, а потому невырождено.
Докажем второе утверждение предложения 1.18.
Запишем отображение момента в координатах $\left(p_{1}, q_{1}, p_{2}, q_{2}\right.$ ) и ограничим его на $K_{1}^{*}$. Так как в качестве локальных координат на $K_{1}^{*}$ можно взнть $p_{1}$ и $q_{1}$, и так как $p_{2}=p_{2}\left(p_{1}\right)$ и $q_{2}=q_{2}\left(p_{1}\right)$, то отображение момента будет иметь вид:
\[
H=p_{1}, \quad f=f\left(p_{1}, p_{2}\left(p_{1}\right), q_{2}\left(p_{1}\right)\right)=\tilde{f}\left(p_{1}\right) .
\]

Таким образом, образ малой окрестности точки $x$ в $K_{1}^{*}$ при отображении момента является гладкой дугой, заданной в виде графика $f=\widetilde{f}\left(p_{1}\right)=\widetilde{f}(H)$.
Осталось доказать утверждение (в) предложения 1.18.
В выбранной нами системе координат мы имеем:
\[
\operatorname{sgrad} f(x)=\frac{\partial \tilde{f}}{\partial p_{1}} \operatorname{sgrad} H(x) .
\]

С другой стороны, выбирая $p_{1}$ в качестве локального параметра на дуге $\delta$, получаем
\[
\dot{\delta}=\left(1, \frac{\partial \tilde{f}}{\partial p_{1}}\right) .
\]

Предложение 1.18 доказано.

Следствие. Пусть $x \in K_{1}^{*}$ и прямая $H=H(x)$ трансверсально пересекает бифуркационную диаграмму $\Sigma$ в точке $\mathcal{F}(x)$. Тогда $x$ является регулярной точкой для функции $H$, ограниченной на $K_{1}^{*}$.
Доказательство.
При сделанных предположениях, как мы видели выше, всегда можно считать, что функци $H$ имеет вид $p_{1}$, в то время как $p_{1}$ и $q_{1}$ – регулярные локальные координаты на подмногообразии $K_{1}^{*}$ в окрестности точки $x$. Следовательно, функция $H$ особенности здесь не имеет. Следствие доказано.

Множество $K_{1}^{*}$ состоит из одномерных орбит пуассонова действия группы $\mathbb{R}^{2}$. Выбросим из $K_{1}^{*}$ все некомпактные, т. е. гомеоморфные прямым, орбиты этой группы. Оставшаяся часть $K_{1}^{* *}$ расслоена на окружности.
Разобьем теперь $K_{1}^{* *}$ на компоненты линейной связности.

Следствие. Образ (при отображении $\mathcal{F}$ ) каждой компоненты связности $K_{1}^{* *}$ в $\mathbb{R}^{2}$ является либо гладким погруением прямой, либо гладким погружением окружности.
Рис. 1.10
Рассмотрим множество $K-K_{1}^{* *}$. Оно состоит из одномерных некомпактных орбит действия группы $\mathbb{R}^{2}$, одномерных вырожденных орбит и нульмерных орбит (неподвижных точек действия). Рассмотрим теперь его образ $\mathcal{F}\left(K-K_{1}^{* *}\right)$ как подмножество в бифуркационной диаграмме и назовем его множеством ее сингулярных точек. Таким образом, $\Sigma$ состоит из гладких регулярных кривых (быть может пересекающихся) и сингулярных точек, среди которых могут быть отдельные изолированные точки $\Sigma$, точки возврата, касания и т. п. См. рис. 1.10 .
Теперь мы можем наглядно описать, как формулируется условие, что интеграл $f$ является функцией Ботта на изоэнергетической поверхности $Q=\{H=$ $=$ const $\}$. Нужно взять прямую $H=$ const на двумерной плоскости $\mathbb{R}^{2}(H, f)$. Допустим, что эта прямая не проходит через сингулярные точки $\Sigma$ и пересекает гладкие дуги $\Sigma$ трансверсально. Тогда $f$ будет функцией Ботта на 3 -многообразии $Q$, являющемся прообразом этой прямой в $M^{4}$. Причем все ее критические подмногообразия будут окружностями, т. е. среди них не будет ни торов, ни бутылок Клейна.

Пусть теперь $x \in K_{0}$, т.е. $d H(x)=d f(x)=0$, т.е. $x$ – неподвижная точка пуассонова действия группы $\mathbb{R}^{2}$. Тогда эта группа естественно действует на каса-

тельной плоскости $T_{x} M$ к многообразию $M$ в точке $x$. Так как группа сохраняет 2 -форму $\omega$, то она индуцирует симплектические преобразования в $T_{x} M$. Получаем некоторую абелеву подгруппу $G(H, f)$ в группе $S p(4, \mathbb{R})$ симплектических преобразований $T_{x} M$. Через $K(H, f)$ обозначим ее алгебру Ли. Она является некоторой коммутативной подалгеброй в алгебре Ли $s p(4, \mathbb{R})$ группы $S p(4, \mathbb{R})$. Легко видеть, что подалгебра $K(H, f)$ порождается линейными частями векторных полей sgrad $H$ и sgrad $f$.
Определение 1.23. Скажем, что точка $x \in K_{0}$ является невырожденной особой точкой отображения момента $\mathcal{F}$, если подалгебра $K(H, f)$ является картановской подалгеброй в $s p(4, \mathbb{R})$.

В частности, из этого требования вытекает, что коммутативная подалгебра $K(H, f)$ должна быть двумерной.

Как проверить условие картановости подалгебры $K(H, f)$ ? Прежде всего опишем эту подалгебру в терминах функций $H$ и $f$. Для этого рассмотрим их квадратичные части, т. е. гессианы $d^{2} H$ и $d^{2} f$. Они порождают симплектические линейные операторы $A_{H}=\Omega^{-1} d^{2} H$ и $A_{f}=\Omega^{-1} d^{2} f$, совпадающие с линеаризациями векторных полей $\operatorname{sgrad} H$ и $\operatorname{sgrad} f$ в особой точке $x \in K_{0}$. Действительно, линеаризация, например, векторного поля $w=\operatorname{sgrad} f$ имеет вид
\[
\frac{\partial w^{i}}{\partial x^{j}}=\frac{\partial}{\partial x^{j}}\left(\omega^{i k} \frac{\partial f}{\partial x^{k}}\right)=\omega^{i k} \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{j} \partial x^{k}}=\left(\Omega^{-1} d^{2} f\right)_{j}^{i} .
\]

Итак, подалгебра $K(H, f)$ порождается линейными операторами $A_{H}=$ $=\Omega^{-1} d^{2} H$ и $A_{f}=\Omega^{-1} d^{2} f$.

Коммутативная подалгебра в $s p(4, \mathbb{R})$ является картановской тогда и только тогда, когда она двумерна и среди ее элементов найдется линейный оператор с различными собственными значениями.

Итак, сначала нужно убедиться, что формы $d^{2} f$ и $d^{2} H$ независимы. Затем следует проверить, что некоторая линейная комбинация $\lambda A_{f}+\mu A_{H}$ имеет различные собственные значения. Описанный алгоритм вполне эффективен и сводит задачу к несложным вычислениям.

Всего в вещественной алгебре Ли $s p(4, \mathbb{R})$ имеется лишь 4 типа различных, т. е. попарно несопряженных, подалгебр Картана. Перечислим их. Пусть симплектическая структура $\omega$ задается (в точке $x$ ) канонической матрицей
\[
\Omega=\left(\begin{array}{cc}
0 & -E \\
E & 0
\end{array}\right) .
\]

Тогда алгебра Ли $s p(4, \mathbb{R})$ запишется в стандартном матричном представлении в виде следующих $4 \times 4$-матриц (см. предложение 1.3 ):
\[
\left(\begin{array}{cc}
P & Q \\
R & -P^{T}
\end{array}\right)
\]

где $P, Q, R$ – матрицы размера $2 \times 2$, причем $Q$ и $R$ – симметричны, а $P-$ произвольная.

Теорема 1.3. Пусть $K$ – подалгебра Картана в алгебре Ли $s p(4, \mathbb{R})$. Тогда она сопряжена одной из четырех подалгебр Картана, перечисленных ниже:
\[
\begin{array}{r}
\text { Tun } 1\left(\begin{array}{cccc}
0 & 0 & -A & 0 \\
0 & 0 & 0 & -B \\
A & 0 & 0 & 0 \\
0 & B & 0 & 0
\end{array}\right) \text { Tun } 2\left(\begin{array}{cccc}
-A & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -B \\
0 & 0 & A & 0 \\
0 & B & 0 & 0
\end{array}\right) \\
\operatorname{Tun} 3\left(\begin{array}{cccc}
-A & 0 & 0 & 0 \\
0 & -B & 0 & 0 \\
0 & 0 & A & 0 \\
0 & 0 & 0 & B
\end{array}\right) \quad \text { Tun } 4\left(\begin{array}{cccc}
-A & -B & 0 & 0 \\
B & -A & 0 & 0 \\
0 & 0 & A & -B \\
0 & 0 & B & A
\end{array}\right)
\end{array}
\]

Здесь $A, B$ – произвольные вещественные числа.
Перечисленные подалгебры попарно несопряжены.

Комментарий. Несопряженность описанных выше четырех типов подалгебр Картана следует из того, что их элементы имеют различные типы собственных значений:
1 тип – чисто мнимые корни $i A,-i A, i B,-i B$;
2 тип – два вещественных и два мнимых корня $-A, A, i B,-i B$;
3 тип – вещественные корни $-A, A,-B, B$;
4 тип – четыре комплексных корня $A-i B, A+i B,-A+i B,-A-i B$.
Рассмотрим произвольную подалгебру Картана в $s p(4, \mathbb{R})$ и выберем в ней элемент, у которого все собственные значения различны (такой элемент называется регулярным). Из предложения 1.2 легко вывести, что собственные значения оператора из $s p(4, \mathbb{R})$ разбиваются на пары вида $\lambda,-\lambda$. Отсюда следует, что спектр регулярного элемента имеет один из перечисленных выше четырех типов, и, следовательно, сам элемент сопряжен одной из матриц, указанных в теореме. При этом сопряжение можно осуществить симплектическим преобразованием (это эквивалентно тому, что оператор с простым спектром из алгебры Ли $s p(4, \mathbb{R})$ можно привести к каноническому виду в симплектическом базисе). Поскольку два регулярных элемента алгебры Ли оказались сопряженными, то и содержащие их подалгебры Картана также сопряжены (при помощи того же симплектического преобразования). Это легко следует из того, что подалгебры Картана являются централизаторами своих регулярных элементов.

Отметим, что над полем комплексных чисел (то есть в комплексной алгебре Ли $s p(4, \mathbb{C})$ ) любые две картановские подалгебры сопряжены.

Теорему 1.3 можно переформулировать в виде ответа на вопрос – к какому каноническому виду приводятся квадратичные части коммутирующих функций $H$ и $f$ в невырожденной особой точке отображения момента $\mathcal{F}$.

Теорема 1.4. В окрестности невырожденной особой точки $x \in K_{0}$ всегда существуют канонические координаты $\left(p_{1}, q_{1}, p_{2}, q_{2}\right)$, в которых гессианы функций $H$ и $f$ одновременно приводятся к одному из следующих видов:

1) случай центр-центр:
\[
\begin{aligned}
d^{2} H & =A_{1}\left(d p_{1}^{2}+d q_{1}^{2}\right)+B_{1}\left(d p_{2}^{2}+d q_{2}^{2}\right), \\
d^{2} f & =A_{2}\left(d p_{1}^{2}+d q_{1}^{2}\right)+B_{2}\left(d p_{2}^{2}+d q_{2}^{2}\right),
\end{aligned}
\]
2) случай центр-седло:
\[
\begin{array}{c}
d^{2} H=A_{1} d p_{1} d q_{1}+B_{1}\left(d p_{2}^{2}+d q_{2}^{2}\right), \\
d^{2} f=A_{2} d p_{1} q_{1}+B_{2}\left(d p_{2}^{2}+d q_{2}^{2}\right),
\end{array}
\]
3) случай седло-седло:
\[
\begin{aligned}
d^{2} H & =A_{1} d p_{1} d q_{1}+B_{1} d p_{2} d q_{2}, \\
d^{2} f & =A_{2} d p_{1} d q_{1}+B_{2} d p_{2} d q_{2},
\end{aligned}
\]
4) случай фокус-фокус:
\[
\begin{aligned}
d^{2} H & =A_{1}\left(d p_{1} d q_{1}+d p_{2} d q_{2}\right)+B_{1}\left(d p_{1} d q_{2}-d p_{2} d q_{1}\right), \\
d^{2} f & =A_{2}\left(d p_{1} d q_{1}+d p_{2} d q_{2}\right)+B_{2}\left(d p_{1} d q_{2}-d p_{2} d q_{1}\right) .
\end{aligned}
\]

Доказательство.
Сразу вытекает из приведенной выше алгебраической классификации картановских подалгебр в $\operatorname{sp}(4, \mathbb{R})$.

В действительности, в окрестности невырожденной особой точки справедливо более сильное утверждение: не только квадратичные части, но и сами функции $H$ и $f$ можно одновременно привести к некоторому каноническому виду путем выбора подходящих канонических координат. Более точно, имеет место следующее важное утверждение.

Теорема 1.5. Пусть многообразие $M^{4}$, симплектическая структура $\omega$ и функции $H$ и являются вещественно-аналитическими. Тогда в окрестности невырожденной особой точки $x \in K_{0}$ всегда существуют канонические координаты $\left(p_{1}, q_{1}, p_{2}, q_{2}\right)$, в которых функции $H$ и $f$ одновременно приводятся к одному из следующих видов:
1) случай центр-центр:
\[
\begin{array}{c}
H=H\left(p_{1}^{2}+q_{1}^{2}, p_{2}^{2}+q_{2}^{2}\right), \\
f=f\left(p_{1}^{2}+q_{1}^{2}, p_{2}^{2}+q_{2}^{2}\right),
\end{array}
\]
2) случай центр-седло:
\[
\begin{aligned}
H & =H\left(p_{1} q_{1}, p_{2}^{2}+q_{2}^{2}\right), \\
f & =f\left(p_{1} q_{1}, p_{2}^{2}+q_{2}^{2}\right),
\end{aligned}
\]
3) случай седло-седло:
\[
\begin{aligned}
H & =H\left(p_{1} q_{1}, p_{2} q_{2}\right), \\
f & =f\left(p_{1} q_{1}, p_{2} q_{2}\right),
\end{aligned}
\]

4) случай фокус-фокус:
\[
f=f\left(p_{1} q_{1}+p_{2} q_{2}, p_{1} q_{2}-p_{2} q_{1}\right) .
\]

Замечание. Теоремы $1.3,1.4,1.5$ имеют естественные многомерные обобщения, обсуждению и доказательству которых посвящено приложение 3 , написанное В. В. Калашниковым (мл.) (см. также теоремы 1.6 и 1.7 ниже). Теорема 1.3 (и ее многомерный вариант – теорема 1.6) принадлежит Вильямсону [391], [392], теорема 1.5 была доказана Рюссманом [364], а затем обобщена на многомерный случай в работах Вея [384] и Ито [315].