Особый слой $L$ удобно представить в виде объединения $n$ «элементарных блоков» $L_{i}$, гомеоморфных окрестности вершины конуса. Другими словами, элементарный блок $L_{i}$ – это окрестность особой точки $x_{i}$ внутри особого слоя. Эта окрестность гомеоморфна паре трансверсально пересекающихся дисков.

Теперь распространим это разбиение особого слоя $L$ на 4 -мерную окрестность $U(L)$, чтобы представить $U(L)$ в виде объединения $n$ элементарных 4 -блоков $U_{i}$. Для этого разрежем $U(L)$ по трехмерным многообразиям, гомеоморфным $S^{1} \times D^{2}$, где окружности $S^{1}$ являются срединными окружностями колец, соединяющих особые точки типа фокус-фокус. РазреРис. 9.51 зая слой $L$ по этим окружностям, мы разбиваем его в объединение элементарных 2-блоков $L_{i}$. Чтобы разрезать $U(L)$, нужно распространить разрез с особого слоя $L$ на соседние с ним слои-торы. На каждом близком торе нужно взять окруж-

ность, близкую к выделенной нами окружности на $L$. Следовательно, граница каждого 4 -блока $U_{i}$ состоит из двух полноторий $S^{1} \times D^{2}$. См. условный рис. 9.51. С топологической точки зрения элементарный 4 -блок $U_{i}$ можно рассматривать как регулярную $\varepsilon$-окрестность точки типа фокус-фокус в $U(L)$. Другими словами, 4 -блок $U_{i}$ – это пересечение $U(L)$ с четырехмерным шаром $D^{4}$ радиуса $\varepsilon$ с центром в точке типа фокус-фокус.

Пересечение 4-блока $U_{i}$ с граничной сферой $S^{3}$ состоит из двух «тонких» полноторий, расположенных в сфере следующим образом. Нужно рассмотреть сферу $S^{3}$, вложенную стандартным образом в $\mathbb{C}^{2}(z, w)$ и задаваемую уравнением $|z|^{2}+|w|^{2}=1$. Элементарный 4 -блок $U_{i}$ можно представить тогда в виде: $\{|z w|<\varepsilon\} \cap D$, то есть это – часть $\varepsilon$-окрестности двумерной поверхности $\{z w=0\}$, попавшая в 4 -шар. Напомним, что уравнение $z w=0$ задает особый слой $L$ в шаре $D^{4}$. Легко видеть, что множество $\{|z w|<\varepsilon\}$ высекает на границе 4 -диска $D^{4}$ два «тонких» полнотория. Два тора, являющихся границами этих полноторий, задаются в сфере $S^{3}$ следующими уравнениями:
\[
|z|=\alpha, \quad|w|=\beta \text { (первый тор), } \quad|z|=\beta, \quad|w|=\alpha \text { (второй тор). }
\]

Здесь $\alpha$ и $\beta$ удовлетворяют соотношениям: $\alpha^{2}+\beta^{2}=1, \alpha \beta=\varepsilon, \alpha>\beta>0$. Отметим, что эти два полнотория зацеплены внутри 3-сферы с коэффициентом зацепления, равным 1.

Таким образом, все элементарные 4 -блоки $U_{i}$ устроены одинаково. То есть, $U(L)$ склеено из $n$ «одинаковых кусков» $U_{i}$, каждый из которых является в то же время окрестностью «своей» особой точки типа фокус-фокус. При этом соседние 4-блоки $U_{i}$ и $U_{i+1}$ склеиваются друг с другом по некоторому диффеоморфизму граничных полноторий.

Теорема 9.10. Число п особых точек типа фокус-фокус на особом слое $L$ является единственным, а потому полным топологическим инвариантом особенности слоения Лиувилля типа фокус-фокус. Другими словами, дее особенности типа фокус-фокус лиувиллево эквивалентны при помощи послойного гомеоморфизма тогда и только тогда, когда на их особых слоях имеется одинаковое число особых точек.

Доказательство.
Достаточно доказать, что 4-мерная окрестность $U(L)$ особого слоя $L$ определяется однозначно, с точностью до послойного гомеоморфизма, если заранее задано число $n$ особых точек на слое $L$. Другими словами, достаточно проверить, что $U(L)$ однозначно, с точностью до послойного гомеоморфизма, склеивается из $n$ элементарных 4 -блоков. Для этого изучим подробнее склейку двух соседних граничных полноторий. Каждое из них тривиальным образом расслоено на окружности, параллельные оси полнотория. Они являются пересечениями торов Лиувилля с границей 4 -блока, т. е. со 3 -сферой $S^{3}$. Следовательно, в каждом блоке они задаются уравнениями $f=$ const, $H=$ const и $|z|^{2}+|w|^{2}=1$.

Полнотория склеиваются так, что эти два расслоения на окружности послойно отождествляются. Каков произвол при такой склейке? Чтобы ответить на этот вопрос, удобно представить каждое из склеиваемых полноторий как прямое произведение $D^{2} \times S^{1}$. Напомним, что на каждом элементарном блоке $U_{i}$ мы имеем

стандартные канонические координаты $p_{1}, p_{2}, q_{1}, q_{2}$ такие, что
\[
\begin{aligned}
H & =H\left(f_{1}, f_{2}\right), \\
f & =f\left(f_{1}, f_{2}\right),
\end{aligned}
\]

где $f_{1}=p_{1} q_{1}+p_{2} q_{2}, f_{2}=p_{2} q_{1}-p_{1} q_{2}$. Напомним, что замена
\[
(H, f) \rightarrow\left(f_{1}, f_{2}\right)
\]

является регулярной, и поэтому функции $f_{1}, f_{2}$ локально можно представить как гладкие функции от $H$ и $f$. Легко видеть, что здесь без ограничения общности якобиан замены $(H, f) \rightarrow\left(f_{1}, f_{2}\right)$ можно считать положительным.

На граничном полнотории $D^{2} \times S^{1}$ для $i$-го 4 -блока $U_{i}$ функции $f_{1}, f_{2}$ можно рассматривать как локальные координаты на диске $D^{2}$. При отождествлении двух граничных полноторий, функции $H$ и $f$ должны сохраняться. С другой стороны, на соседних 4-блоках $U_{i}$ и $U_{i+1}$ зависимость функций $H$ и $f$ от функций $f_{1}$ и $f_{2}$, вообще говоря, разная. Поэтому в терминах функций $f_{1}$ и $f_{2}$ отображение, склеивающее два соседних полнотория, становится, вообе говоря, нетривиальным диффеоморфизмом с положительным якобианом.

Следующее техническое утверждение показывает, что такой диффеоморфизм можно без ограничения общности считать попросту тождественным.

Лемма 9.9. Рассмотрим окрестность $U(x)$ особой точки $x \in M^{4}$ типа фокус-фокус (стандартный 4-блок) и соответствующее отображение момента $\mathcal{F}: U(x) \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \mathcal{F}(x)=(0,0)$. Пусть $\xi$ – произвольный локальный диффеоморфизм в образе, т.е. $\xi: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$, оставляющий точку $(0,0)$ неподвижной и не меняющий ориентации плоскости. Тогда его всегда можно «накрыты» некоторым послойным гомеоморфизмом окрестности $U(x)$ на себя, то есть таким гомеоморфизмом $\widehat{\xi}$, что $\mathcal{F} \widehat{\xi}=\xi \mathcal{F}$. Более того, можно считать, что гомеоморфизм $\widehat{\xi}$ послойно изотопен тождественному.

Замечание. Эта лемма на самом деле означает, что окрестность $U(x)$ точки типа фокусфокус имеет весьма большую группу послойных гомеоморфизмов $U(x)$ на себя. Другими словами, с помощью этих гомеоморфизмов в $U(x)$ можно произвольным образом «перемешивать» слои слоения Лиувилля.

Доказательство.
Нам удобно будет доказывать наше утверждение в комплексной форме, т. е. отождествить окрестность точки фокус-фокус с двумерным комплексным пространством $\mathbb{C}^{2}(z, w)$, а образ отображения момента $\mathcal{F}$ с $\mathbb{C}$. При этом в силу локальной теоремы 1.5 из главы 1 мы считаем, что $\mathcal{F}(z, w)=z w$.

Рассмотрим сначала вещественный аналог доказываемого утверждения. Пусть $\xi: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ – произвольный диффеоморфизм, сохраняющий точку 0 и не меняющий ориентации. Построим гомеоморфизм (на самом деле легко строится диффеоморфизм) $\widehat{\xi}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$ такой, что $F \widehat{\xi}=\xi F$, где $F: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}$ – отображение вида $F(x, y)=x y$. Другими словами, мы строим послойный гомеоморфизм для слоения, задаваемого линиями уровня функции $F$. Этот гомеоморфизм должен перемешивать слои в соответствии с диффеоморфизмом (заданным на базе).

Рассмотрим векторное поле $\operatorname{grad} F=(y, x)$ и определим отображение $\varphi(x, y, \alpha)$, которое сдвигает точку $(x, y)$ вдоль интегральной траектории этого векторного поля до точки $\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)$ такой, что $F\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)=x^{\prime} y^{\prime}=\alpha$. Здесь мы предполагаем, что знак $\alpha$ совпадает со знаком $F(x, y)=x y$.
Теперь гомеоморфизм $\widehat{\xi}$ можно задать по следующей формуле:
\[
\widehat{\xi}(x, y)=\varphi(x, y, \xi(x y)) .
\]

Легко проверяется, что $\widehat{\xi}$ обладает требуемыми свойствами. Отметим, кстати, что $\widehat{\xi}$ является тождественным на особом слое $F=0$.

Теперь аналогичным образом построим гомеоморфизм $\widehat{\xi}$ в комплексном случае. Нам будет удобно задавать комплексные числа с помощью модуля и аргумента. Тогда отображение $\mathcal{F}$ можно представить в виде
\[
((|z|,|w|),(\arg (z), \arg (w))) \rightarrow(|z w|, \arg (z)+\arg (w)) .
\]

Расмотрим теперь отображение $\widehat{\xi}: \mathbb{C}^{2} \rightarrow \mathbb{C}^{2}$, задаваемое следующим образом:
\[
(|z|,|w|, \arg (z), \arg (w)) \rightarrow\left(\left|z^{\prime}\right|,\left|w^{\prime}\right|, \arg \left(z^{\prime}\right), \arg \left(w^{\prime}\right)\right),
\]

где
\[
\begin{aligned}
(|z|,|w|) & =\varphi(|z|,|w|,|\xi(z w)|) ; \\
\arg \left(z^{\prime}\right) & =\arg (z)+\lambda(\arg (\xi(z w))-\arg (z w)), \\
\arg \left(w^{\prime}\right) & =\arg (w)+(1-\lambda)(\arg (\xi(z w))-\arg (z w)) .
\end{aligned}
\]

Здесь отображение $\varphi$ уже было определено выше, а $\lambda=\frac{2}{\pi} \operatorname{arctg}\left(\frac{|w|}{|z|}\right)$.
Легко проверяетсн, что это отображение удовлетворяет требуемому свойству $\mathcal{F} \widehat{\xi}=\xi \mathcal{F}$ и является гомеоморфизмом. Кроме того, отображение $\widehat{\xi}$ является тождественным на особом слое $\{\mathcal{F}=0\}$.

Чтобы построить изотопию, достаточно рассмотреть изотопию $\xi_{t}$ в образе такую, что $\xi_{0}=\mathrm{id}, \xi_{1}=\xi$, и применить указанные выше формулы. Лемма доказана.

С помощью этой леммы все диффеоморфизмы склейки можно сделать тождественными относительно стандартных переменных $f_{1}, f_{2}$ (см. выше) на базах $D^{2}$ граничных полноторий. Осталось посмотреть, как устроена склейка на слоях-окружностях $S^{1}$ тривиально расслоенного полнотория $D^{2} \times S^{1}$.

Ясно, что с точностью до послойной изотопии имеется лишь два способа отождествить слои полноторий, а именно, с сохранением ориентации окружностей и с обращением ориентации. На самом деле никакого произвола здесь нет. Чтобы это увидеть, достаточно воспользоваться существованием глобального гамильтонова действия окружности $S^{1}$ на $U(L)$, построенного в лемме 9.8. С помощью этого действия на склеиваемых расслоенных полноториях мы можем одновременно и согласованно ориентировать все слои-окружности. После этого склейка элементарных 4-блоков происходит однозначно, с точностью до послойной изотопии. Тем самым, слоение Лиувилля на получающемся 4 -многообразии

тоже определено однозначно в указанном смысле. Следовательно, если число $n$ особых точек на слое $L$ заранее задано, то топология $U(L)$ со слоением Лиувилля на нем восстанавливается однозначно, с точностью до послойной топологической эквивалентности. Теорема доказана.

Важный комментарий. В теореме 9.10 не случайно говорится о классификации особенностей фокус-фокус с точностью до послойных гомеоморфизмов. Дело в том, что если на особом слое $L$ имеется несколько особых точек, то гладкая классификация таких особенностей устроена сложнее. Оказывается, топологически эквивалентные особенности типа фокус-фокус могут оказаться с гладкой точки зрения различными, т.е. могут не переводиться друг в друга послойным диффеоморфизмом. Другими словами, существуют нетривиальные гладкие инварианты, различающие особенности типа фокус-фокус с точностью до послойных диффеоморфизмов. Причина этого заключается в том, что в гладком случае лемма 9.9 становится неверной. В частности, для существования послойного диффеоморфизма $\widehat{\xi}$ (накрывающего диффеоморфизм $\xi$, действующий на базе) необходимо, чтобы дифференциал $d \xi$ диффеоморфизма $\xi$ в неподвижной точке был комплексным.