Определим теперь отображение Пуанкаре на трансверсальном сечении $P_{t r}$. Пусть $x$ – произвольная точка на $P_{t r}$. Выпустим из нее интегральную траекторию поля $v$. Через некоторое время она впервые вернется на сечение $P_{t r}$ и проткнет ее в некоторой точке $y$. Обозначим отображение $x \rightarrow y$ через $\bar{\sigma}$. Определим отображение $\sigma$ следующим образом:
$\sigma=\bar{\sigma}$ в случае атома $A$ или в случае седлового атома без звездочек (т.е. если $P_{t r} \simeq P$ ),
$\sigma=(\bar{\sigma})^{2}$ в случае седлового атома со звездочками (т. е. если $P_{t r} \simeq \widehat{P}$ ).

Определение 5.5. Отображение $\sigma: P_{t r} \rightarrow P_{t r}$ назовем отображением Пуанкаре данного атома $U(L)$.

Отметим, что точки пересечения $P_{t r}$ с критическими окружностями интеграла $f$ (которые, напомним, представляют собой периодические траектрии системы $v$ ) являются неподвижными точками отображения Пуанкаре. Обозначим эти точки через $S_{1}, \ldots, S_{k}$.

Поскольку сечение $P_{t r}$ реализовано нами в $Q$, то на него можно ограничить симплектическую структуру $\omega$. Мы получим невырожденную замкнутую 2-форму, которую можно рассматривать как симплектическую структуру на поверхности $P_{t r}$. Обозначим эту 2-форму по-прежнему через $\omega$. Невырожденность на $P_{t r}$ следует из трансверсальности сечения $P_{t r}$ ко всем интегральным траекториям поля $v$, поскольку ядро формы $\left.\omega\right|_{Q^{3}}$ в каждой точке порождается вектором $v$. Хорошо известно следующее утверждение.
Лемма 5.2. Отображение Пуанкаре $\sigma$ сохраняет форму, ограниченную на трансверсальное сечение $P_{t r}$.

Оказывается, с помощью отображения Пуанкаре можно определить естественную гамильтонову систему с одной степенью свободы на сечении $P_{t r}$.
Предложение 5.5. На трансверсальном сечении $P_{t r}$ существует гамильтоново векторное поле $w=\operatorname{sgrad} F$ с гладким гамильтонианом $F: P_{t r} \rightarrow \mathbb{R}$, обладающее следующими свойствами:
a) Отображение Пуанкаре $\sigma: P_{t r} \rightarrow P_{t r}$ является сдвигом вдоль интегральных траекторий поля $w=\operatorname{sgrad} F$ на время $t=1$.
б) Исходный боттовский интеграл $f$ системы $v$ является также интегралом гамильтонова поля $w$.

в-1) В случае седлового атома $U(L)$ поле $w$ со свойствами (а) и (б) определено однозначно, а гамильтониан $F$ определен, следовательно, с точностью до аддитивной постоянной. Если дифференциал отображения Пуанкаре не является тождественным отображением в точках $S_{1}, \ldots, S_{k}$ (то есть если соответствующие замкнутые критические траектории являются гиперболическими), то гамильтониан Пуанкаре $F$ является функцией Морса.

в-2) $B$ случае атома $A$ поле $w$ определено с точностью до добавления $к$ нему поля вида $2 \pi k \frac{\partial}{\partial \varphi}$, где $\varphi$ – переменная «угол» на двумерном сечении $P_{t r}$, а $k$ – произвольно целое число. Гамильтониан Пуанкаре $F$ определен здесь с точностью до $2 \pi k s$, где $s$ – переменная «действие» на $P_{t r}$.

КоммЕНтАРиЙ. В случае атома $A$ сечение $P_{t r}$ является диском, расслоениым на окружности – линии уровня интеграла $f$. Для такого расслоения естественным образом определена система координат действие-угол. Именно эти функции и фигурируют в формулировке пункта (в-2).

Доказательство этого утверждения получается, по-существу, из следующего общего факта (см. предложение 1.6 в книге Ю. Мозера [134], [337]). Сохраняющий симплектическую форму диффеоморфизм $\sigma$ на двумерном многообразии может быть представлен в виде $\sigma^{1}$, где $\sigma^{t}$ – гамильтонов поток, тогда и только тогда, когда $\sigma$ обладает первым интегралом.

Оказывается, как заметил П. Топалов [195], [202], для гамильтониана $F$ векторного поля $w$ можно выписать простую явную формулу.
Предложение 5.6 (Формула Топалова). Гамильтониан $F$ является ограничением на сечение $P_{t r}$ функции вида – $2 \pi s$, где $s$ – переменная действия, отвечающая циклу $
u$, который является ориентированным слоем расслоения Зейферта $\pi: U(L) \rightarrow P$. Другими словами,
\[
F=-\oint_{
u} \varkappa
\]

где ж-дифференциальная 1-форма в окрестности особого слоя, удовлетворяюшая условию $d \varkappa=\omega$.

Замечание. Эта функция $F$ уже возникала выше в главе 3 и была названа там периодическим интегралом системы на 3 -атоме $U(L)$.
Доказательство.
Рассмотрим произвольную точку $x$ на двумерном трансверсальном сечении и покажем, что для нее $\sigma(x)$ совпадает со сдвигом этой точки на единицу вдоль векторного поля $\operatorname{sgrad} F$. Оператор sgrad рассматривается здесь в смысле симплектической структуры на сечении. Ясно, что нам достаточно проверить это условие только для точек, лежащих на торах Лиувилля. Кроме того, если мы рассматриваем два изотопных трансверсальных сечения, то проверку можно производить для любого из них, поскольку при отображении одного на другое под действием потока $w$ симплектическая структура и гамильтониан сохраняются. Поэтому мы можем выбрать сечение удобным для нас способом.

Итак, пусть $
u$ – слой расслоения Зейферта, а $\mu$ – цикл на торе, высекаемый сечением $P_{t r}$. Рассмотрим переменные действие-угол $\left(s_{1}, s_{2}, \varphi_{1}, \varphi_{2}\right)$, отвечающие этим циклам. В частности, $s_{1}=F$.

Выберем теперь в качестве трансверсального сечения двумерную поверхность, задаваемую в окрестности данного тора двумя уравнениями $H=$ const

и $\varphi_{1}=0$. Напомним, что гамильтониан является функцией от переменных действия, причем в нашем случае $\frac{\partial H}{\partial s_{1}}
eq 0$. В противном случае траектории поля $v$ были бы замкнуты и гомологичны циклу $\mu$, что противоречило бы трансверсальности. Отсюда следует, что в качестве локальных координат на выбранном нами сечении можно выбрать $s_{2}$ и $\varphi_{2}$. Поскольку значение $H$ фиксировано, то на сечении переменная действия $s_{1}$ является некоторой функцией $S\left(s_{2}\right)$ от $s_{2}$.

Итак, симплектическая структура на сечении имеет вид $d s_{2} \wedge d \varphi_{2}$, и $F=$ $=-2 \pi s_{1}=-2 \pi S\left(s_{2}\right)$. Легко видеть, что векторное поле $\operatorname{sgrad} F$ имеет в этом случае простой вид
\[
\operatorname{sgrad} F=-2 \pi\left(\frac{\partial S}{\partial s_{2}}\right) \frac{\partial}{\partial \varphi},
\]

и сдвиг вдоль этого поля на единицу в координатах записывается так
\[
\left(s_{2}, \varphi_{2}\right) \rightarrow\left(s_{2}, \varphi_{2}-2 \pi \frac{\partial S}{\partial s_{2}}\right) .
\]

Посмотрим теперь, что происходит с точкой при отображении Пуанкаре. Векторное поле $v$ в переменных действие-угол имеет вид
\[
v=\frac{\partial H}{\partial s_{1}} \frac{\partial}{\partial \varphi_{1}}+\frac{\partial H}{\partial s_{2}} \frac{\partial}{\partial \varphi_{2}} .
\]

Отображение Пуанкаре заключается в том, что точке $x$ с координатами $\left(0, \varphi_{2}\right)$ на торе ставится в соответствие точка вида $x+\alpha v$, где коэффициент $\alpha$ выбирается так, чтобы первая координата точки получила приращение $2 \pi$ и точка попала бы на то же самое сечение. Ясно, что вторая координата точки изменится при этом на величину
\[
2 \pi \frac{\partial H / \partial s_{2}}{\partial H / \partial s_{1}} .
\]

Другими словами, отображение Пуанкаре записывается в виде
\[
\left(s_{2}, \varphi_{2}\right) \rightarrow\left(s_{2}, \varphi_{2}+2 \pi \frac{\partial H / \partial s_{2}}{\partial H / \partial s_{1}}\right) .
\]

Учитывая, что на рассматриваемом сечении $H\left(s_{1}, s_{2}\right)=H\left(S\left(s_{2}\right), s_{2}\right)=$ const, мы видим, что величины сдвигов $-2 \pi \frac{\partial S}{\partial s_{2}}$ и $2 \pi \frac{\partial H / \partial s_{2}}{\partial H / \partial s_{1}}$ совпадают, что и приводит нас к требуемому результату. Предложение доказано.

Как мы видим, векторное поле Пуанкаре $w$ определено на седловых атомах однозначно, а на атомах $A$ – с точностью до добавления произвольного поля вида $2 \pi \frac{\partial}{\partial \varphi}$. С другой стороны, в седловом случае, в отличие от атомов $A$, неоднозначно определено само сечение $P_{t r}$.

Определение 5.6. Пусть $w$ – гамильтоново векторное поле на транверсальном сечении $P_{t r} \subset U(L)$, построенное в предложении 5.5. Его гамильтониан $F$ мы будем называть гамильтонианом Пуанкаре (отвечающим данному трансверсальному сечению), а соответствующую однопараметрическую группу диффеоморфизмов $\sigma^{t}$ – потоком Пуанкаре.
Заметим, что $\sigma^{1}=\sigma$, где $\sigma: P_{t r} \rightarrow P_{t r}$ – отображение Пуанкаре.
Рассмотрим произвольный седловой атом $U(L)$, содержащий хотя бы одну критическую окружность с неориентируемой сепаратрисной диаграммой. В этом случае, как мы знаем, в качестве трансверсального сечения выступает дубль $\widehat{P}$. Сейчас мы хотим определить на сечении $P_{t r}=\widehat{P}$ некоторую инволюцию $\chi$, которая по своим свойствам будет похожа на инволюцию $\tau$, определенную выше.

Положим $\chi=\bar{\sigma} \sigma^{-1 / 2}$, где $\bar{\sigma}$ уже было определено выше, а $\sigma^{-1 / 2}$ – это диффеоморфизм при $t=-1 / 2$.

Покажем, что $\chi: P_{t r} \rightarrow P_{t r}$ – это действительно инволюция. Рассмотрим поток $g^{t}=(\bar{\sigma})^{-1} \sigma^{t} \bar{\sigma}$. Он, очевидно, сохраняет симплектическую структуру на сечении $P_{t r}$, т.е. является гамильтоновым и, кроме того, при $t=1$ принимает вид:
\[
g^{1}=(\bar{\sigma})^{-1} \sigma^{1} \bar{\sigma}=\left(\text { т. к. } \quad \sigma^{1}=\sigma=\bar{\sigma}^{2}\right)=(\bar{\sigma})^{-1}(\bar{\sigma})^{2} \bar{\sigma}=(\bar{\sigma})^{2}=\sigma .
\]

Итак, $g^{1}=\sigma$. Однако, в силу предложения 5.5, такой гамильтонов поток $g^{t}$ определен однозначно для седлового атома и совпадает с потоком Пуанкаре $\sigma^{t}$. Следовательно, $g^{t}=\sigma^{t}$, т.е. $\sigma^{t}$ и $\bar{\sigma}$ коммутируют при любом $t$. Отсюда, $\chi^{2}=$ $=\bar{\sigma} \sigma^{-1 / 2} \bar{\sigma}=\bar{\sigma}^{2} \sigma^{-1}=\mathrm{id}$, т. е. $\chi$ является инволюцией. Кроме того, $\chi$ коммутирует с $\sigma^{t}$, т. е. сохраняет поток Пуанкаре $\sigma^{t}$ на сечении $P_{t r}=P$.

Заметим, что инволюция $\chi$ однозначно определяется самим векторным полем $v$ без использования переменных действия и симплектической структуры.