Рассмотрим произвольный седловой 2 -атом $\left(P^{2}, K\right)$ с заданной на нем гамильтоновой системой $w=\operatorname{sgrad} F$. Будем считать без ограничения общности, что $K=F^{-1}(0)$ и $P^{2}=F^{-1}[-\varepsilon, \varepsilon]$.

Рассмотрим важную операцию, позволяющую перестраивать систему на атоме. Эта операция будет менять класс сопряженности системы и наша цель состоит в том, чтобы понять, как именно он будет меняться.
Рис. 6.7
Рассмотрим произвольное ребро $K_{i}$ графа $K$. Разрежем поверхность $P$ вдоль некоторого гладкого отрезка, трансверсально пересекающего ребро $K_{i}$ и траектории векторного поля $w$ (пример показан на рис. 6.7). Рассмотрим в стороне от этого атома «прямоугольник» $M_{i}=\left[0, m_{i}\right] \times[-\varepsilon, \varepsilon]$, где $m_{i}$ – некоторое положительное число, а $2 \varepsilon$ – «ширина» атома, другими словами – $\varepsilon$ и $\varepsilon$ являются пределами изменения гамильтониана $F$ внутри атома. Введем на $M_{i}$ естественные декартовы координаты $(u, f)$,

где $u \in\left[0, m_{i}\right]$, а $f \in[-\varepsilon, \varepsilon]$, и рассмотрим векторное поле $\frac{\partial}{\partial u}$. Можно считать, при желании, это векторное поле гамильтоновым относительно формы $d u \wedge d f \mathrm{c}$ гамильтонианом $f$. Траектории этого поля расслаивают прямоугольник в горизонтальном направлении, причем время прохождения каждой траектории внутри прямоугольника одно и то же и равно $m_{i}$.

Вклеим теперь этот прямоугольник $M_{i}$ в разрезанную поверхность $P$ так, как показано на рис. 6.7: боковые стороны прямоугольника приклеиваются к берегам разреза, причем линии $\left\{f=f_{0}\right\}$ становнтся частью линий уровня $\left\{F=f_{0}\right\}$. Другими словами, мы увеличиваем на $m_{i}$ время движения потока вдоль ребра $K_{i}$ и на всех близких траекториях, вынуждая поток проходить дополнительный участок $M_{i}$. В силу теоремы Дарбу можно считать, что эти склейки проведены гладко, и в результате мы получаем новую гладкую гамильтонову систему $\tilde{w}$ на том же самом атоме.

Описанную операцию $\Phi$ мы назовем вклейкой нового куска в исходный поток $\sigma^{t}$ на ребре $K_{i}$ графа $K$.

Рассмотрим теперь обратную операцию. Как и выше выберем трансверсальный к ребру $K_{i}$ отрезок и рассмотрим его сдвиг вдоль гамильтонова потока на время $m_{i}$. В результате мы получим еще один трансверсальный отрезок. Эти два отрезка высекают на поверхности $P$ некоторый прямоугольник. Вырежем этот прямоугольник из поверхности $P$ и склеим естественным образом два берега разрезов (т.е. первоначальный отрезок и его образ при сдвиге на $m_{i}$ ).

Эту обратную операцию $\Phi^{-1}$ мы назовем вырезанием куска исходного потока на ребре $K_{i}$ графа $K$.

Рассмотрим теперь общую операцию, являющуюся композицией операций вклейки и вырезания. Рассмотрим на каждом ребре $K_{i}$ графа $K$ произвольное вещественное число $m_{i}$. Мы можем трактовать эту совокупность чисел как некоторую вещественную одномерную коцепь $m_{i}$ на графе $K$. Если $m_{i}$ положительно, то мы применим операцию вклейки на соответствующем ребре, если же $m_{i}$ – отрицательно, то к потоку мы применим операцию $\Phi^{-1}$ вырезания куска из потока на данном ребре $K_{i}$. Обозначим через $\Phi_{m}$ результирующую операцию (являющуюся композицией указанных выше элементарных операций). Ясно, что результат не зависит от порядка применения элементарных операций.
Определение 6.5. Операцию $\Phi_{m}$ мы назовем вклейкой-вырезанием куска потока, отвечающей данной 1-коцепи $m$ (на графе $K$ ).
Операция $\Phi_{m}$ обладает следующими двумя очевидными свойствами:
1) $\Phi_{m_{1}} \circ \Phi_{m_{2}}=\Phi_{m_{2}} \circ \Phi_{m_{1}}=\Phi_{m_{1}+m_{2}}$,
2) $\Phi_{-m}=\Phi_{m}^{-1}$.
Отсюда сразу следует, что мы получаем действие группы одномерных коцепей графа $K$ на пространстве гамильтоновых систем на данном атоме с морсовскими гамильтонианами.

Наша цель – понять, что происходит с системой в результате применения операции $\Phi_{m}$. Для этого нам нужно на самом деле выяснить действие этой операции на инварианты $\Lambda, \Delta$ и $Z$ этой системы. Обозначим это индуцированное

действие через $\Phi_{m}^{*}$. Легко видеть, что оно действительно корректно определено, поскольку под действием операции $\Phi_{m}$ сопряженные системы переходят в сопряженные.

Прежде всего заметим, что при действии операции $\Phi_{m}^{*} \Lambda$-инвариант не меняется. Действительно, все изменения происходят «вдалеке» от особых точек гамильтониана.

Изменения $\Delta$ – и $Z$-инвариантов под действием операции $\Phi_{m}^{*}$ нетривиальны. Несложно показать (см. [33]), что это действие допускает следующее представление
\[
\begin{array}{l}
\Phi_{m}^{*}(\Delta)=\Delta+\phi_{1}(m), \\
\Phi_{m}^{*}(Z)=Z+\phi_{2}(m),
\end{array}
\]

где $\phi_{1}: C^{1}(\widetilde{P}) \rightarrow B_{0}(\widetilde{P})$ и $\phi_{2}: C^{\mathbf{1}}(\widetilde{P}) \rightarrow H_{1}(\widetilde{P})$ – некоторые линейные операторы (зависящие, вообще говоря, от значения $\Lambda$-инварианта системы, к которой применяется операция вклейки-вырезания).

Отметим, что мы не знаем пока какие значения могут принимать инварианты $\Delta$ и $Z$ на фиксированном атоме $V=(P, K)$. Рассмотрим всевозможные гамильтоновы системы на этом атоме с одним и тем же значением $\Lambda$-инварианта.

Обозначим через $\Delta(V)$ и $Z(V)$ подмножества в $B_{0}(\widetilde{P})$ и $H_{1}(\widetilde{P})$ соответственно, состоящие из всевозможных значений $\Delta$ – и $Z$-инвариантов для таких систем.
Определение 6.6. $\Delta(V)$ и $Z(V)$ мы будем соответственно называть множествами допустимых значений $\Delta$ – и $Z$-инвариантов.

Подчеркнем, что эти множества зависят от значения заранее фиксированного $\Lambda$-инварианта.
Рис. 6.8
Изначально, вообще говоря, действие $\Phi_{m}^{*}$ определено только на множествах допустимых инвариантов $\Delta(V)$ и $Z(V)$, но используя явные формулы для этого действия, его можно распространить на пространства $B_{0}(\widetilde{P})$ и $H_{1}(\widetilde{P})$ целиком. Подмножества $\Delta(V)$ и $Z(V)$ при этом останутся, разумеется, инвариантными. Проанализируем структуру этих множеств.
Предложение 6.4. Действие $\Phi^{*}$ на множествах допустимых значений инвариантов $\Delta(V)$ и $Z(V)$ является транзитивным. Эти множества совпадают соответственно с образами операторов $\phi_{1}$ и $\phi_{2}$ и, в частности, являются линейными подпространствами.

Доказательство.
Для доказательства этого утверждения нам достаточно проверить, что с помощью подходящей операции $\Phi_{m}$ мы можем из любой системы получить новую систему с нулевыми инвариантами $\Delta$ и $Z$. Проделаем это.

Итак, пусть нам дана некоторая гамильтонова система $w$ на атоме $V=(P, K)$. Рассмотрим одну из вершин $S_{j}$ графа $K$. На каждом из четырех ребер выберем по точке и, проведя через них трансверсальные отрезки $N_{1}, N_{2}, N_{3}, N_{4}$, окружим

вершину $S_{j}$ «крестом». Напомним, что на каждом из четырех «прямоугольников» $Z_{i}$, на которые крест делится графом $K$ (см. рис. 6.8) возникает функция (см. выше)
\[
\Pi_{i}(F)=-\Lambda_{j} \ln |F|+c_{i}(F),
\]

где $c_{i}(F)$ – непрерывная функция, имеющая в нуле некоторый конечный предел $c_{i}=c_{i}(0)$. Легко видеть, что смещая отрезки $N_{i}$, можно добиться того, чтобы все $c_{i}(i=1,2,3,4)$ были одновременно равны нулю (см. лемму 6.3). При этом ясно, что величины $c_{i}$ зависят только от точек пересечения отрезков $N_{i}$ с ребрами $K_{i}$.

Проделаем теперь эту процедуру со всеми вершинами графа $K$ и окружим каждую вершину таким крестом. В результате мы получим картину, изображенную на рис. 6.9. Отметим, что некоторые из этих крестов могут пересекаться, накладываясь друг на друга.
Для каждого ребра графа рассмотрим теРис. 6.9 перь область, ограниченную парой граничных отрезков соседних крестов. Изменим граничные отрезки (не меняя их точек пересечения с графом $K$ ) таким образом, чтобы эта область стала прямоугольником (т. е. время прохождения потока от одного граничного отрезка до другого постоннно). В силу сделанного выше замечания это не изменит основного свойства крестов, которое нам понадобится: все $c_{i}$ равны нулю.
Рис. 6.10
Теперь осталось заметить, что эти области для каждого из ребер графа – в точности те прямоугольники, которые фигурируют в определении операции $\Phi_{m}$. Проделаем эту операцию: вырежем те области, которые не покрываются крестами, и вклеим их дубликаты там, где эти области являются пересечением пары соседних крестов (рис. 6.10). Легко видеть, что в результате мы получили систему, склеенную непосредственно из выделенных крестов (без наложений и пропусков).

Мы утверждаем, что эта система имеет нулевые инварианты $\Delta$ и $Z$. Чтобы в этом убедиться, рассмотрим один из трансверсальных отрезков, являющийся границей между двумя соседними крестами. Рассмотрим одну из его половинок как начальный отрезок раздела на одном из колец. Восстановим теперь все остальные отрезки раздела на этом кольце. Они уже не будут, вообще говоря, совпадать с граничными отрезками между крестами, но как нетрудно заме-

тить, соответствующие точки раздела будут в точности совпадать с точками вида $N_{i} \cap K_{i}$, где $N_{i}$ – граничный отрезок между двумя соседними крестами, пересекающий ребро $K_{i}$. Проделав эту процедуру для всех колец мы убеждаемся в том, что точки раздела $x_{i}^{+}$и $x_{i}^{-}$будут совпадать, что и означает равенство нулю инвариантов $\Delta$ и $Z$. Предложение доказано.

Среди всех систем на $V$ с нулевыми значениями $\Delta$ – и $Z$-инвариантов мы выделим одну специальную систему, называемую 0 -моделью. Как мы только что видели, система на атоме может быть склеена из систем, заданных на отдельных крестах, окружающих вершины графа. Рассмотрим простейшие системы на таких крестах. А именно, представим каждый крест на плоскости $\mathbb{R}^{2}(u, v)$ в виде области $|u| \leqslant 1,|v| \leqslant 1,|F| \leqslant \varepsilon_{0}$, где $F=u v$. Рассмотрим на этом кресте дифференциальную форму $\Lambda_{j} d u \wedge d v$ и гамильтоново векторное поле $w=\operatorname{sgrad} F$. Одним из свойств этой системы будет то, что функция $\Pi_{i}(F)$, определяющая время движения потока внутри креста (в $i$-ом квадранте) будет очень простой
\[
\Pi_{i}(F)=-\Lambda_{j} \ln |F| .
\]

Здесь $\Lambda_{j}$ – значение $\Lambda$-инварианта на соответствующей вершине $S_{j}$ графа $K$. Склеим теперь поверхность $P$ из «канонических крестов». Склейку мы производим по граничным отрезкам, каждый из которых параметризован функцией $F$. Разумеется, мы склеиваем между собой точки этих отрезков с одинаковым значением функции $F$, так что в результате функции на отдельных крестах сшиваются в единую функцию $F$ на атоме. Кроме того (пользуясь теоремой Дарбу) мы можем гладко сшить и симплектические структуры и гамильтоновы потоки. В результате мы получим некоторую гладкую гамильтонову систему $w=\operatorname{sgrad} F$ на всем атоме $P$. Отметим, что в этом случае отрезки, по которым склеивались кресты, уже в точности будут отрезками раздела. Построенную систему мы и будем называть 0 -моделью данного атома $V$.

Изучим теперь более подробно свойства представления $\Phi^{*}$. Отметим, что пока интерпретация набора чисел $m=\left\{m_{i}\right\}$ как коцепи остается загадочной. Однако сейчас мы увидим ее естественность.
Ниже мы будем рассматривать несколько естественных объектов:
$K(\widetilde{P})$ – клеточное разбиение (комплекс) поверхности $\widetilde{P}$, порожденное графом $K$;
$K^{*}(\widetilde{P})$ – двойственное клеточное разбиение поверхности $\widetilde{P}$.
Как и выше, через $C_{i}, B_{i}, Z_{i}$ мы будем обозначать пространства і-мерных цепей, границ и циклов, отвечающих комплексу $K(\widetilde{P})$. Через $C_{i}^{*}, B_{i}^{*}, Z_{i}^{*}$ мы обозначим аналогичные пространства для двойственного комплекса $K^{*}(\widetilde{P})$. И наконец, через $C^{i}, B^{i}, Z^{i}$ мы будем обозначать пространства і-мерных коцепей, кограниц и коциклов соответственно для коцепного комплекса, отвечающего клеточному комплексу $K(\widetilde{P})$. Отметим стандартные естественные изоморфизмы $C_{i}^{*} \cong C^{2-i}, B_{i}^{*} \cong B^{2-i}, Z_{i}^{*} \cong Z^{2-i}$. Через $\partial$ и $\delta$ мы будем обозначать граничный и кограничный операторы.

Лемма 6.5. Если 1-коцепь $m$ является кограницей, то операция $\Phi_{m}$ не меняет класса топологической сопряженности системы. На языке инвариантов это означает, что имеет место включение $B^{1} \subset \operatorname{ker} \phi_{1}, B^{1} \subset \operatorname{ker} \phi_{2}$.
Доказательство.
Докажем это утверждение для базисных кограниц. Одномерные коцепи мы будем интер-

Рис. 6.11 претировать как линейные комбинации вида $\sum m_{i} K_{i}^{*}$, где $K_{i}^{*}$ – ребра сопряженного графа. Рассмотрим произвольную вершину $S$ графа $K$. Пусть $K_{i_{1}}, K_{i_{3}}$ входящие в нее ребра, а $K_{i_{2}}, K_{i_{4}}$ – выходящие. Тогда базисная кограница (отвечающая вершине $S$ ) может быть записана так
\[
m=K_{i_{1}}^{*}+K_{i_{3}}^{*}-K_{i_{2}}^{*}-K_{i_{4}}^{*} .
\]

Применим операцию $\Phi_{m}$ к 0 -модели, склеенной из некоторого числа «канонических крестов». Ясно, что эту операцию можно провести на кресте, соответствующем вершине $S$. Операция состоит в том, что мы отрезаем от двух противоположных сторон угла по одному прямоугольнику, а затем точно такие же прямоугольники приклеиваем к двум другим противоположным сторонам (см. рис. 6.11). В результате крест из абсолютно симметричного превращается в крест «сплющенный» в горизонтальном направлении и «вытянутый» в вертикальном. Но различие этих двух крестов проявляется лишь с «евклидовой» точки зрения. $\mathrm{C}$ «гамильтоновой» точки зрения эти кресты совершенно идентичны: один из них переходит в другой в результате сдвига на единицу вдоль гамильтонова потока. При этом и симплектическая структура, и гамильтониан, и гамильтонов поток сохраняются. Но не меняя креста, мы не меняем и исходную систему, т. е. $\phi_{1}(m)=0$ и $\phi_{2}(m)=0$. Лемма доказана.

Следствие. Корректно определен линейный оператор
\[
\phi_{2}^{\prime}: H^{1}(\widetilde{P}) \rightarrow H_{1}(\widetilde{P}),
\]

удовлетворяющий соотношению $\phi_{2}^{\prime}[m]=\left[\phi_{2}(m)\right]$ для любого 1-коцикла $m \in Z^{1}$.
Этот оператор, как мы увидим ниже, имеет довольно прозрачный топологический смысл, и будет использован нами в следующем параграфе для описания области допустимых значений $\Delta$-инварианта.
Лемма 6.6. Если 1-цепь $m$ является коциклом, то операция $\Phi_{m}$ не меняет $\Delta$-инварианта системы. Другими словами, $Z^{1} \subset \operatorname{ker} \phi_{1}$.
Доказательство.
Применим операцию $\Phi_{m}$ к 0 -модели, считая $m=\sum m_{i} K_{i}$ произвольным 1-коциклом. Это, как нетрудно видеть, означает, что для каждого кольца атома $V=(P, K)$ (которое заклеивается диском для получения поверхности $\widetilde{P}$ ) сумма чисел $m_{i}$ по всем ребрам графа, примыкающим к этому кольцу, равна нулю. С точки зрения операции $\Phi_{m}$ это эквивалентно тому, что равна нулю сумма длин всех прямоугольников, «вклеенных» на данном кольце. Это означает,

что для каждой траектории ее период не изменился. Итак, все функции периодов сохранились. Но мы знаем (см. предложение 6.3), что через величины этих функций можно явно вычислить значение $\Delta$-инварианта. Следовательно $\Delta$-инвариант не изменился и остался равным нулю, т.е. $m \in \operatorname{ker} \phi_{1}$. Лемма доказана.

Поскольку фактор-пространство $C^{1} / Z^{1}$ канонически изоморфно пространству 2 -кограниц $B^{2}$, то из доказанной леммы мы получаем следующее утверждение.
Следствие. Корректно определен линейный оператор
\[
\phi_{1}^{\prime}: B^{2}=B_{0}^{*} \rightarrow B_{0},
\]

удовлетворяющий соотношению $\phi_{1}=\phi_{1}^{\prime} \circ \delta$.
Ясно, что множество $\Delta(V)$ допустимых значений $\Delta$-инварианта совпадает с образом оператора $\phi_{1}^{\prime}$. Этот оператор перерабатывает набор чисел $b$, стоящих на кольцах атома $P$ в набор чисел $\Delta$, стоящих на его вершинах.

Следующее утверждение дает явную формулу для этого оператора. Рассмотрим произвольную вершину $S_{j}$ графа $K$ и примыкающие к ней четыре кольца $C_{I}, C_{I I}, C_{I I I}, C_{I V}$ (см. аналогичную конструкцию и обозначения в предложении 6.3). Этим кольцам сопоставлены вещественные числа $b_{I}, b_{I I}, b_{I I I}, b_{I V}-$ коэффициенты нульмерной границы $b \in B_{0}^{*}$.
Лемма 6.7. Коэффициент $\Delta_{j}$ нульмерной границы $\Delta=\phi_{1}^{\prime}(b)=\phi(m)$, отвечающий вериине $S_{j}$, может быть вычислен по следующей формуле
\[
\Delta_{j}=\Lambda_{j}\left(\frac{b_{I}}{\Lambda_{I}}+\frac{b_{I I}}{\Lambda_{I I}}+\frac{b_{I I I}}{\Lambda_{I I I}}+\frac{b_{I V}}{\Lambda_{I V}}\right) .
\]

Доказательство.
На самом деле эта формула нам фактически уже известна (см. предложение 6.3). Чтобы показать это, рассмотрим произвольную 1 -коцепь $m$ такую, что $\delta m=b$. Применим к 0 -модели операцию вклейки-вырезания $\Phi_{m}$. Ясно, что у исходной 0 -модели все конечные части периодов были равны нулю. Теперь же после операции вклейки-вырезания конечные части периодов на каждом кольце изменились на суммарную длину всех прямоугольников, вклеенных на данном кольце. Но соответствующая сумма с точностью до знака совпадает с коэффициентом кограницы $\delta m$, стоящем на рассматриваемом кольце. Более точно, коэффициенты кограницы и конечные части периодов совпадают на положительных кольцах и отличаются знаком на отрицательных.

Другими словами, если какая-либо система получена из 0 -модели операцией $\Phi_{m}$, то конечные части функций периодов этой системы на кольцах атома с точностью до знака совпадают с коэффициентами кограницы $b=\delta m$.

После этого замечания доказываемая нами формула непосредственно вытекает из формул предложения 6.3 .
Замечание. Сумма конечных частей $b_{i}$ функции периодов (взятых со знаками) равна нулю. Это следует из приведенной выше интерпретации набора $\left\{b_{i}\right\}$ как кограницы коцепи $m$. То же самое утверждение легко следует из леммы 6.3 этой главы.