Пусть $M^{2 n}$ – симплектическое многообразие с интегрируемой по Лиувиллю гамильтоновой системой $v=\operatorname{sgrad} H$, и $f_{1}, \ldots, f_{n}$ – ее независимые инволютивные интегралы. Определим гладкое отображение
\[
\mathcal{F}: M^{2 n} \rightarrow \mathbb{R}^{n}, \quad \text { где } \quad \mathcal{F}(x)=\left(f_{1}(x), \ldots, f_{n}(x)\right) .
\]

Определение 1.16. Отображение $\mathcal{F}$ называется отображением момента.

Определение 1.17. Точка $x$ из $M$ называется критической (или особой) точкой отображения момента $\mathcal{F}$, если ранг $d \mathcal{F}(x)$ меньше $n$. Ее образ $\mathcal{F}(x)$ в $\mathbb{R}^{n}$ называется критическим значением.

Пусть $K$ – совокупность всех критических точек отображения момента в $M$.

Определение 1.18. Образ $K$ при отображении момента, т.е. множество $\Sigma=$ $\mathcal{F}(K) \subset \mathbb{R}^{n}$, называется бифуркационной диаграммой.

Таким образом, бифуркационная диаграмма – это совокупность всех критических значений отображения момента. Согласно теореме Сарда, множество $\Sigma$ имеет меру нуль в $\mathbb{R}^{n}$. В большинстве примеров интегрируемых систем, встречающихся в физике и механике, множество $\Sigma$ является многообразием с особенностями. Другими словами, оно состоит из нескольких стратов (кусков) $\Sigma^{i}$, являющихся гладкими $i$-мерными поверхностями в $\mathbb{R}^{n}$. Условно можно записать, что $\Sigma=\Sigma^{0}+\Sigma^{1}+\ldots+\Sigma^{n-1}$, где разные страты между собой не пересекаются, и их объединение дает все $\Sigma$. Граница каждого страта $\Sigma^{i}$ содержится в объединении стратов меньшей размерности (рис. 1.4). В таком случае $\Sigma$ называется стратифицированным многообразием. Некоторые $\Sigma^{i}$ могут быть пусты.
В типичных ситуациях дополнение к $\Sigma$,
Рис. 1.4 т.е. $\mathbb{R}^{n} \backslash \Sigma$ открыто и всюду плотно в $\mathbb{R}^{n}$. Множество $\mathbb{R}^{n} \backslash \Sigma$ может состоять из нескольких компонент линейной связности. Иногда мы будем называть их камерами.

Отображение момента и его бифуркационная диаграмма тесно связаны со слоением Лиувилля на $M^{2 n}$.

Во-первых, слой лиувиллева слоения – это связная компонента прообраза точки при отображении момента. В дальнейшем мы будем всегда предполагать, что все слои лиувиллева слоения компактны. Это условие, конечно, выполнено, если само симплектическое многообразие $M^{2 n}$ или поверхности уровня гамильтониана $H$ компактны.
Во-вторых, $\Sigma-$ это образ особых слоев слоения Лиувилля.
Рис. 1.5
В-третьих, над каждой камерой слоение Лиувилля локально тривиально. В частности, прообразы всех точек камеры диффеоморфны несвязному объединению одного и того же числа торов Лиувилля.

Бифуркационная диаграмма позволяет следить за перестройками торов Лиувилля при изменении значений первых интегралов $f_{1}, \ldots, f_{n}$. Пусть, например, точки $a$ и $b$ соединяются гладкой дугой $\gamma$, встречающей в некоторой точке $c$ бифуркационную диаграмму $\Sigma$. Некоторое число торов Лиувилля «висит» над точкой $a$, и некоторое (возможно другое) число торов Лиувилля – над точкой $b$. При движении точки от $a$ к $b$ вдоль дуги $\gamma(t)$ торы Лиувилля гладко «плывут» в $M^{2 n}$ и над точкой $c$ могут подвергнуться топологической перестройке (бифуркации). См. рис. 1.5. Например, один тор может распасться на два.

Если $n=2$ (т.е. если рассматриваемая система имеет две степени свободы), то $\Sigma$ обычно состоит из отрезков гладких кривых на плоскости и, возможно, отдельных изолированных точек. Камеры здесь – двумерные открытые области на плоскости.