Здесь мы ограничимся рассмотрением лишь ориентированных атомов.

Определение 2.16. Мы назовем $f$-атом ориентированным, если соответствующая ему поверхность $P$ ориентирована. При этом мы будем считать, что ориентация на поверхности не только задана, но и фиксирована.

Комментарий. Каждый $f$-атом является классом оснащенной эквивалентности пар $(P, f)$. Для ориентированного $f$-атома требуется, чтобы диффеоморфизмы, связывающие между собой эквивалентные пары, сохраняли ориентацию поверхности $P$, на которой ориентация предполагается заданной и фиксированной.

На языке $f$-инвариантов это означает, что соответствующий $f$-инвариант можно представить $f$-графом, все метки которого равны +1 . Таким образом, игнорируя метки, которые все равны +1 , мы получаем, что множество ориентированных $f$-атомов — это в точности множество всех $f$-графов вообще без меток.

Сейчас мы сопоставим каждому $f$-графу без меток некоторую подгруппу конечного индекса в группе $\mathbb{Z} * \mathbb{Z}_{2}$.

Рассмотрим произвольный $f$-граф $\Gamma$ без меток. Выберем и фиксируем некоторую его вершину $x$. Рассмотрим все непрерывные пути на графе $\Gamma$, начинающиеся в вершине $x$ и заканчивающиеся в любой другой вершине графа. При этом путь на графе понимается в комбинаторном смысле, т.е. как задание какой-то последовательности ребер графа.
Каждый такой путь однозначно разбивается на отрезки трех типов.

1) Движение вдоль неориентированного ребра. Такой отрезок обозначим через $a$.
2) Движение вдоль ориентированного ребра в направлении, задаваемом ориентацией ребра. Такой отрезок обозначим через $b$.
3) Движение вдоль ориентированного ребра в направлении, противоположном ориентации ребра. Такой отрезок обозначим через $b^{-1}$.

В результате каждый путь $\gamma$ однозначно определяет некоторое слово, составленное из букв $a, b, b^{-1}$.

И наоборот, любое такое слово однозначно определяет некоторый путь $\gamma$ на $f$-графе.

Будем считать два слова эквивалентными, если одно из другого можно получить вычеркивая встречающиеся в слове следующие пары букв: $a a, b b^{-1}, b^{-1} b$, или вставляя такие пары. Множество всех классов эквивалентности слов указанного вида с обычной операцией умножения (= приписывания одно слова к другому) образует группу. Ее единицей является класс эквивалентности пустого слова. Ясно, что эта группа изоморфна свободному произведению $\mathbb{Z} * \mathbb{Z}_{2}$, так как она задается двумя образующими $a, b$ и одним соотношением $a^{2}=e$.

При указанном соответствии между словами и путями в $f$-графе с началом в вершине $x$, эквивалентным словам соответствуют гомотопные пути с закрепленными концами. Как и наоборот. Таким образом, фиксируя вершину $x$ в графе $\Gamma$, мы устанавливаем некоторую биекцию между классами гомотопных путей с началом в точке $x$ в $f$-графе и элементами группы $\mathbb{Z} * \mathbb{Z}_{2}$. При этой биекции множеству замкнутых путей на графе $\Gamma$ соответствует некоторая подгруппа $H_{\Gamma}^{x}$ группы $\mathbb{Z} * \mathbb{Z}_{2}$.

Выбрав в $f$-графе $\Gamma$ другую вершину $y$, мы получим некоторую другую подгруппу $H_{\Gamma}^{y}$. Стандартными методами можно показать, что эти две подгруппы $H_{\Gamma}^{x}$

и $H_{\Gamma}^{y}$ сопряжены. В самом деле, в качестве сопрягающего элемента $g \in \mathbb{Z} * \mathbb{Z}_{2}$, для которого $H_{\Gamma}^{x}=g H_{\Gamma}^{y} g^{-1}$, можно взять элемент, соответствующий любому классу гомотопных путей, соединяющих вершину $x$ с вершиной $y$ в графе $Г$.

Обозначим через $H_{\Gamma}$ класс сопряженных подгрупп группы $\mathbb{Z} * \mathbb{Z}_{2}$, соответствующих множествам замкнутых путей в $f$-графе Г. Здесь мы рассматриваем различные множества замкнутых путей, отвечающие различным фиксированным точкам графа $\Gamma$. В результате мы построили отображение $\delta$ из множества $f$-графов без меток в множество классов сопряженных подгрупп группы $\mathbb{Z} * \mathbb{Z}_{2}$.
Теорема 2.8. Отображение $\delta$ устанавливает взаимно-однозначное соответствие между множеством $f$-графов без меток и множеством классов сопряженных подгрупп в группе $\mathbb{Z} * \mathbb{Z}_{2}$, имеющих конечный индекс и не содержащих элементов конечного порядка.
Доказательство.
Докажем сначала, что любая подгруппа, являющаяся образом при отображении $\delta$, имеет конечный индекс и не содержит элементов конечного порядка. Рассмотрим правые смежные классы подгруппы $H_{\Gamma}^{x}$. Очевидно, что всем элементам группы $\mathbb{Z} * \mathbb{Z}_{2}$ вида $h g$, где $h \in H_{\Gamma}^{x}$, а $g$ — некоторый фиксированный элемент, соответствуют пути в $f$-графе $\Gamma$ с началом в вершине $x$ и концом в одной и той же вершине $y$. Поэтому индекс подгруппы $H_{\Gamma}^{x}$ равен числу вершин $f$-графа, а следовательно, — конечен.

Далее, любой элемент конечного порядка в группе $\mathbb{Z} * \mathbb{Z}_{2}$, с образующими $a, b$ и соотношением $a^{2}=e$, сопряжен элементу $a$ и имеет порядок 2. Это следует, например, из теоремы Куроша о подгруппах свободных произведений. Предположим, что некоторая подгруппа $H_{\Gamma}^{x}$ содержит такой элемент gag $^{-1}$. Тогда этому элементу соответствует в $f$-графе замкнутый путь. Следовательно, элементам ga и $g$ соответствуют пути с началом в вершине $x$ и концом в одной и той же вершине $y$. Но это означало бы, что ребро а является петлей с началом и концом в точке $y$, что невозможно в силу определения $f$-графа.

Итак, мы доказали, что при отображении $\delta$ образами $f$-графов являются лишь подгруппы конечного индекса, не содержащие элементов конечного порядка. Для завершения доказательства построим в явном виде отображение $\delta^{-1}$.

Пусть $H-$ некоторая подгруппа группы $\mathbb{Z} * \mathbb{Z}_{2}$. Построим граф смежных классов этой подгруппы. Вершины этого графа соответствуют правым смежным классам подгруппы $H$. Две такие вершины $x$ и $y$ соединяются неориентированным ребром, если соответствующие им смежные классы $X$ и $Y$ связаны соотношением: $X a=Y$, где $a$ — образующая группы $\mathbb{Z}_{2}$. Аналогично, две вершины $x$ и $y$ соединяются ориентированным ребром, если соответствующие им смежные классы $X$ и $Y$ связаны соотношением: $X b=Y$, где $b-$ образующая группы $\mathbb{Z}$. При этом ребро ориентируется от вершины $x$ к вершине $y$. Ясно, что тогда вершины $y$ и $x$ соединены ребром, отвечающим образующей $b^{-1}$.

Докажем, что в том случае, когда $H$ — подгруппа конечного индекса и без элементов конечного порядка, то получается некоторый $f$-граф. В самом деле, построенный граф является конечным и не содержит неориентированных петель. Ясно также, что каждая вершина построенного графа имеет степень три. Причем, к ней примыкает одно неориентированное и два ориентированных ребра:

входящее и выходящее. Эти два ориентированных ребра могут, впрочем, иногда совпадать, образуя ориентированную петлю. Осталось доказать, что построенный $f$-граф не зависит от выбора подгруппы $H$ в классе ее сопряженности. Действительно, если заменить исходную подгруппу $H$ на сопряженную ей подгруппу $H^{\prime}=g H g^{-1}$, то указанные выше соотношения $X a=Y$ и $X b=Y$ будут выполнены для правых смежных классов $X^{\prime}=g X$ и $Y^{\prime}=g Y$ по подгруппе $H^{\prime}$, потому что $H^{\prime} g=g H$.

Теорема доказана.

Комментарий. Другое объяснение этой конструкции мы приведем в пункте 2.8.

Следствие. Отображение $\delta$ устанавливает взаимно-однозначное соответствие между множеством $f$-графов без меток и множеством классов сопряженных свободных подгрупп в группе $\mathbb{Z} * \mathbb{Z}_{2}$, имеющих конечный индекс.