Пусть $x_{0} \in M^{4}$ – невырожденная особая точка отображения момента $\mathcal{F}=$ $=(H, f): M^{4} \rightarrow R^{2}$ интегрируемой гамильтоновой системы с гамильтонианом $H$ и первым интегралом $f$ на симплектическом многообразии $\left(M^{4}, \omega\right)$. Как мы уже видели в главе 1 , особые точки могут быть лишь следующих четырех типов:
а) центр-центр,
б) седло-центр,
в) седло-седло,
г) фокус-фокус.
Нашей целью является описание структуры лиувиллева слоения в четырехмерной окрестности $U^{4}$ особого слоя $L$, проходящего через точку $x_{0}$. Оказывается, точки первых трех типов имеют некоторые инварианты общей природы, которые мы здесь опишем.
Наложим следующие естественные
Рис. 9.1 условия на интегрируемую систему.
Условие 1. Каждый слой слоения Лиувилля компактен.
Условие 2. Все особые точки, лежащие на слое $L$, являются невырожденными. (См. определение 1.23 из главы 1 ).

Условие 3. Бифуркационная диаграмма в окрестности точки $\mathcal{F}\left(x_{0}\right)$ в образе отображения момента $\mathcal{F}$ имеет вид, показанный на рис. 9.1( $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}, \mathrm{d})$.

Комментарий (к условию 3). Первая запрещенная ситуация показана на рис. 9.2 , когда две дуги бифуркационной диаграммы касаются друг друга в особой точке $y_{0}=\mathcal{F}\left(x_{0}\right)$ с бесконечным порядком касания. Эта ситуация возможна для гладких систем, но невозможна для аналитических. Вторая запрещенная ситуация показана на рис. 9.3(a). Здесь в одну и ту же особую точку $\mathcal{F}\left(x_{0}\right)$ бифуркационной диа-
Рис. 9.2 граммы проектируются несколько различных точек, например, типа седло-седло. Каждая из них дает «крестик» на бифуркационной диаграмме, но эти крестики для разных точек не совпадают. В случае центр-седло мы запрещаем аналогичные ситуации, показанные на рис. $9.3(\mathrm{~b})$.
Рис. 9.3
Условие 4. Прямые, задаваемые уравнением $H=h=$ const, пересекают бифуркационную диаграмму $\Sigma$ трансверсально в окрестности точки $y_{0}$.
Комментарий (к условию 4). Для изучения структуры слоения на торы Лиувилля это условие не очень существенно, поскольку заменяя гамильтониан $H$ на функцию вида $\widetilde{H}=H+\lambda f$ всегда можно добиться его выполнения. Однако это условие приобретает нетривиальный смысл, если мы хотим выделить гамильтониан $H$ из двумерного семейства коммутирующих функций. Например, это условие будет гарантировать, что гамильтоново векторное поле $\operatorname{sgrad} H$ не имеет никаких других положений равновесия кроме особых точек, лежащих на слое $L$.

Условие 5. Без ограничения общности, можно считать, что особый слой $L$ является полным прообразом точки $y_{0}$ при отображении $\mathcal{F}$, и его 4 -окрестность $U$ является полным прообразом некоторого диска с центром в точке $y_{0}$.
КоммЕНТАРиЙ (к условию 5). Это условие попросту означает, что мы рассматриваем связную компоненту прообраза $\mathcal{F}^{-1}\left(y_{0}\right)$ точки $y_{0} \in \Sigma$ и соответствующую связную компоненту прообраза ее окрестности.

Условие 6. Будем считать все рассматриваемые в этой главе объекты, а именно, многообразия, симплектические структуры, гамильтонианы, интегралы, — вещественно-аналитическими.
КоммЕНТАРий (к условию 6). Это условие на самом деле не очень существенно. Все утверждения остаются справедливыми и для гладкого случая. Но для доказательства соответствующих «гладких утверждений» нужны гладкие аналоги теорем 1.5 и 1.7 (из главы 1), которые мы в нашей книге не доказываем. Насколько нам известно, полное доказательство этих фактов нигде до сих пор не опубликовано. См. подробности в приложении 3 к настоящей книге.

Рассмотрим в окрестности $U^{4}$ строение множества $K$ критических точек отображения момента $\mathcal{F}$. Для точек первых трех типов множество $K$ состоит из двух частей $P_{1}$ и $P_{2}$ – грубо говоря, прообразов двух гладких дуг $\gamma_{1}$ и $\gamma_{2}$

бифуркационной диаграммы, пересекающихся в ее особой точке. Более точно,
\[
P_{1}=\mathcal{F}^{-1}\left(\gamma_{1}\right) \cap K, \quad P_{2}=\mathcal{F}^{-1}\left(\gamma_{2}\right) \cap K .
\]

Предложение 9.1. Пусть $z_{1}, \ldots, z_{s}$ – невырожденные критические точки отображения момента $\mathcal{F}$, лежащие на особом слое $L=\mathcal{F}^{-1}\left(y_{0}\right)$. Тогда:
1) $P_{1}$ и $P_{2}$ являются двумерными симплектическими многообразиями с краем, пересекающимися трансверсально в точности в точках $z_{1}, \ldots, z_{s}$.
2) Гамильтониан $H$, ограниченный на подмногообразия $P_{1}$ и $P_{2}$, является функцией Морса с единственным критическим значением, а его особые точки совпадают с точками $z_{1}, \ldots, z_{s}$.
3) Все критические точки $z_{1}, \ldots, z_{s}$, лежащие на особом слое $L$, обязательно имеют один и тот же тип. Другими словами, они все одновременно имеют либо тип седло-седло, либо седло-центр, либо центр-центр.

Доказательство.
1) Множество критических точек $K$ состоит из нульмерных и одномерных орбит пуассонова действия абелевой группы $\mathbb{R}^{2}$, порожденной сдвигами вдоль интегральных траекторий полей $\operatorname{sgrad} f$ и $\operatorname{sgrad} H$. Все точки $z_{1}, \ldots, z_{s}$ невырождены по предположению, а потому изолированы. Ясно, что они являются нульмерными орбитами группы $\mathbb{R}^{2}$. Никаких других нульмерных орбит в окрестности особого слоя $L$, очевидно, нет. Поэтому нам нужно изучить поведение и характер одномерных орбит в окрестности особого слоя $L$. Мы утверждаем, что все эти одномерные орбиты являются невырожденными. Легко видеть, что каждая из таких орбит проходит вблизи какой-то точки из множества точек $z_{1}, \ldots, z_{s}$. Поэтому достаточно убедиться, что любая одномерная орбита, проходящая через окрестность точки $z_{i}$ – невырождена. Это легко следует из локальной структуры особенности отображения момента в невырожденной особой точке $z_{i}$. Действительно, согласно теореме 1.5 из главы 1 , в окрестности точки $z_{i}$ существуют регулярные гладкие координаты $p_{1}, p_{2}, q_{1}, q_{2}$, относительно которых функции $H$ и $f$ запишутся в виде:
\[
H=H(\alpha, \beta), \quad f=f(\alpha, \beta),
\]

где функции $\alpha$ и $\beta$ в зависимости от типа особой точки имеют вид:
а) $\alpha=p_{1}^{2}+q_{1}^{2}, \beta=p_{2}^{2}+q_{2}^{2}$, в случае центр-центр,
б) $\alpha=p_{1}^{2}+q_{1}^{2}, \beta=p_{2} q_{2}$, в случае центр-седло,
в) $\alpha=p_{1} q_{1}, \beta=p_{2} q_{2}$, в случае седло-седло.
При этом гладкая замена $(H, f) \rightarrow(\alpha, \beta)$ является невырожденной, т.е. $\frac{\partial(H, f)}{\partial(\alpha, \beta)}
eq 0$. Следовательно, множество критических точек и их свойства для

отображений $\mathcal{F}=(H, f): U \rightarrow \mathbb{R}^{2}$ и $\widetilde{\mathcal{F}}=(\alpha, \beta): U \rightarrow \mathbb{R}^{2}$ будут одни и те же. Остается заметить, что для функций $\alpha, \beta$ множество критических точек локально устроено очень просто: оно состоит из двух двумерных поверхностей, задаваемых уравнениями:
\[
\left(p_{1}=0, q_{1}=0\right) \text { и }\left(p_{2}=0, q_{2}=0\right) .
\]

Эти две поверхности пересекаются трансверсально в невырожденной особой точке $z_{i}$ и кроме того обе, локально, являются симплектическими многообразиями. Невырожденность особых точек (в смысле отображения $\widetilde{\mathcal{F}}$ ), из которых состоят эти две пересекающиеся поверхности, очевидна (см. определения $1.23,1.25$ из главы 1 ).

Таким образом, все одномерные орбиты действия группы $\mathbb{R}^{2}$, попавшие в окрестность особого слоя $L$, оказываются невырожденными. Как было показано в предложении 1.18 главы 1 , множество критических точек отображения момента в окрестности невырожденной орбиты локально устроено как симплектическое двумерное многообразие. Тем самым мы доказали, что пересечение множества $K$ критических точек отображения момента с окрестностью $U(L)$ является двумерным симплектическим многообразием, самопересекающимся в особых точках $z_{1}, \ldots, z_{s}$. В то же время, ясно, что оно состоит в действительности из двух многообразий $P_{1}$ и $P_{2}$, каждое из которых двумерно и симплектично. Они отвечают дугам $\gamma_{1}$ и $\gamma_{2}$ на бифуркационной диаграмме, и пересекают друг друга в точках $z_{1}, \ldots, z_{s}$. Отметим, что многообразия $P_{i}$ не обязаны быть связными.
2) По существу это утверждение следует из условия 4 , то есть из того, что линии $H=$ const пересекают обе дуги $\gamma_{1}$ и $\gamma_{2}$ бифуркационной диаграммы трансверсально. В силу следствия из предложения 1.18 главы 1 , все точки, кроме точек $z_{1}, \ldots, z_{s}$ являются регулярными для функции $H$, ограниченной на 2 многообразия $P_{i}$. Сами точки $z_{1}, \ldots, z_{s}$ Рис. 9.4 хотя и являются особыми, но они – невырожденные (как критические точки функции $H$, ограниченной на $P_{i}$ ). Это следует из локальной структуры особенности. Действительно, функция $H$ имеет здесь вид $H=H(\alpha, \beta)$, причем $\frac{\partial H}{\partial \alpha}
eq 0$ и $\frac{\partial H}{\partial \beta}
eq 0$ в силу условия 4 . В окрестности точки $z_{j}$ на многообразии $P_{i}$ в качестве локальных координат можно взять $p_{i}, q_{i}$. Отсюда видно, что ограничение $H$ на $P_{i}$ в локальных координатах запишется как $H\left(p_{i}^{2}+q_{i}^{2}\right)$, либо как $H\left(p_{i} q_{i}\right)$. Из этих условий сразу следует, что $H: P_{i} \rightarrow \mathbb{R}$ – функция Морса, что и требовалось.
3) На рис. 9.4 представлена локальная картина строения малой окрестности невырожденной особой точки. В первых трех случаях эта малая окрестность имеет тип прямого произведения. Легко видеть, что в случае центр-центр осо-

бый слой $L$ нульмерен, т. е. состоит из одной точки, в силу связности. Для случая центр-седло особый слой $L$ одномерен. Случай седло-седло и случай фокус-фокус характеризуются тем, что здесь особый слой $L$ – двумерен. Из невырожденности сразу следует, что особый слой во всех своих точках обязан иметь одну и ту же размерность. Отсюда ясно, что точки типа центр-центр и центр-седло не могут «перемешиваться» ни с какими другими точками.

Докажем, что особый слой не может одновременно содержать точки типа седло-седло и фокус-фокус. Допустим противное. Тогда обязательно найдется двумерная орбита, в замыкании которой содержатся точки разных типов: седло-седло и фокус-фокус. В случае фокус-фокус существует линейная комбинация $\lambda H+\mu f$ функций $H$ и $f$, с постоянными коэффициентами, такая, что все траектории векторного поля $\operatorname{sgrad}(\lambda H+\mu f)$ замкнуты на особом слое $L$ вблизи особой точки типа фокус-фокус. Это следует из локального строения этой точки (см. также подробное описание точек типа фокус-фокус ниже). Все траектории указанного поля замкнуты на двумерной орбите и имеют один и тот же конечный период. С другой стороны, в окрестности точки седло-седло время прохождения по траектории вблизи особой точки стремится к бесконечности, когда траектория приближается к этой точке. Даже если бы траектория была замкнута, ее период при приближении к особой точке должен был бы стремиться к бесконечности. Получили противоречие. Предложение доказано.

Из пункта 3 предложения 9.1 видно, что можно говорить о типе самого особого слоя $L$, а не только о типе особой точки. Поскольку на особом слое перемешивания точек разных типов не происходит, то весь слой естественно может быть отнесен к одному из следующих типов: центр-центр, центр-седло, седло-седло либо фокус-фокус.

Заметим также, что тип особенности по своей природе напоминает понятие индекса особой точки в классической теории Морса. Однако в классическом случае аналог доказанного нами утверждения неверен: особый слой может содержать особые точки разных индексов.
ЗАмЕчАниЕ. Подмногообразия $P_{1}$ и $P_{2}$ могут быть несвязными, но в то же время их объединение всегда связно, как будет показано ниже.

Рассмотрим пары $V_{1}=\left(\left.H\right|_{P_{1}}, P_{1}\right)$ и $V_{2}=\left(\left.H\right|_{P_{2}}, P_{2}\right)$, где $H$ – гамильтониан. Из пункта 2 предложения 9.1 следует, что функция $H$ задает на каждой поверхности $P_{1}$ и $P_{2}$ структуру атома. При этом точки $z_{1}, \ldots, z_{s}$ являются вершинами этого атома. Таким образом, $V_{1}$ и $V_{2}$ являются двумя атомами, естественно связанными с особым слоем $L$ и точкой $y_{0}$. Отметим, что оба атома $V_{1}$ и $V_{2}$ ориентируемы, поскольку соответствующие им поверхности $P_{1}$ и $P_{2}-$ симплектические, а следовательно, – ориентируемые.
Замечание. Подчеркнем, что в отличие от предыдущего здесь мы разрешаем атомам $V_{1}$ и $V_{2}$ быть несвязными.
Определение 9.1. Пара $\left(V_{1}, V_{2}\right)$ называется $l$-типом особенности отображения момента $\mathcal{F}$ в точке $y_{0} \in \Sigma$.
Замечание. В случае фокус-фокус понятие $l$-типа отсутствует.
Типы атомов $V_{1}$ и $V_{2}$ полностью определяются типом особенности. А именно:

a) если особенность имеет тип центр-центр, то атомы $V_{1}, V_{2}$ оба имеют тип $A$,
б) если особенность имеет тип центр-седло, то один из атомов имеет тип $A$, а другой атом – седловой,
в) в случае седло-седло оба атома – седловые.

Понятие $l$-типа полезно для классификации 4-мерных особенностей. Идея состоит в следующем. Можно ввести естественное понятие сложности 4-мерной особенности как числа особых точек $z_{1}, \ldots, z_{s}$ на особом слое $L$. Ясно, что число $s$ является сложностью атомов $V_{1}$ и $V_{2}$, т. е. $s$ – число их вершин. Поэтому для 4 -мерной особенности фиксированной сложности имеется лишь конечное число возможных $l$-типов, и все их можно перечислить. Фиксируя $l$-тип, можно затем попытаться описать все соответствующие ему 4-мерные особенности. Отметим впрочем, что $l$-тип не является полным различающим инвариантом, поэтому может существовать несколько разных особенностей с одним и тем же $l$-типом. Однако, как мы покажем далее, число особенностей с одним и тем же $l$-типом всегда конечно.