Круговая молекула является инвариантом лиувиллева слоения, возникающего на 3 -многообразии $Q_{\gamma_{\varepsilon}}$. Здесь $\gamma_{\varepsilon}$ — окружность радиуса $\varepsilon$ в плоскости $\mathbb{R}^{2}(H, f)$, а $Q_{\gamma_{\varepsilon}}$ — полный прообраз окружности при отображении момента $\mathcal{F}$. См. рис. 9.54. Совершенно ясно, что топологически 3 -многообразие $Q_{\gamma_{\varepsilon}}$ является расслоением над окружностью $\gamma_{\varepsilon}$ со слоем тор Лиувилля. Это расслоение полностью определяется своей группой монодромии, т.е. автоморфизмов фундаментальной группы 2-тора на себя, возникающей при обходах по базе-окружности $\gamma_{\varepsilon}$. Поскольку $\pi_{1}\left(T^{2}\right)=\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$, то речь тут идет о циклических подгруппах группы автоморфизмов $\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$. Отметим, что 3 -многообразие $Q_{\gamma_{\varepsilon}}$ можно представлять себе как результат отождествления по диффеоморфизму двух граничных торов прямого произведения $T^{2} \times D^{1}$. На рис. 9.55 — это торы $T_{0}$ и $T_{1}$, «основания цилиндра». Диффеоморфизм $\psi$, склеивающий эти два тора, индуцирует автоморфизм $\psi_{*}$ группу $\mathbb{Z}+\mathbb{Z}$ как фундаментальной группы тора. Автоморфизм $\psi_{*}$ однозначно задается целочисленной унимодулярной матрицей. Эта матрица, конечно, зависит от выбора базиса на торе, то есть от базиса в группе $\mathbb{Z}+\mathbb{Z}$. Но ее класс сопряженности является полным инвариантом слоения. Эта матрица называется также матрицей монодромии. Она естественно возникает, когда мы сравниваем на торе два базиса: исходный и получившийся из него после «обноса» вдоль окружности $\gamma_{\varepsilon}$. Мы возвращаемся на прежний тор, но с каким-то преобразованным базисом. Матрица перехода между этими двумя базисами и есть матрица монодромии. Таким образом, интересующая нас круговая молекула — это окружность, снабженная «меткой» — классом сопряженности матрицы монодромии.

Теорема 9.11. Круговая молекула является полным инвариантом лиувиллевой эквивалентности особенности слоения типа фокус-фокус. Если на особом слое лежат п точек типа фокус-фокус, то матрица монодромии имеет вид
\[
\left(\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
n & 1
\end{array}\right) .
\]

Доказательство.
Мы дадим два доказательства. Первое — явно указав базис на торе Лиувилля и результат его «обноса» вдоль

Рис. 9.55 окружность $\gamma_{\varepsilon}$. Второе — путем анализа соотношений в фундаментальной группе многообразия $Q_{\gamma_{\varepsilon}}$.

Начнем со случая одной особой точки на слое $L$, то есть когда $n=1$. Для доказательства теоремы в этом случае достаточно воспользоваться построен-

ным выше модельным примером особенности типа фокус-фокус и вычислить на нем в явном виде матрицу монодромии. Напомним, что на модельном 4-многообразии $U_{1}$ заданы комплексные координаты $(z, w)$. Хотя они «покрывают» все 4 -многообразие $U_{1}$, но не являются однозначно заданными координатами. Они являются координатами внутри лишь одной карты, замыкание которой дает все $U_{1}$. На $U_{1}$ задана также голоморфная функция $F=z w$, отображающая $U_{1}$ на плоскость $\mathbb{R}^{2}=\mathbb{C}$, т.е. на комплексную прямую. Ясно, что это и есть отображение момента, отвечающее коммутирующим вещественным функциям $f_{1}=\operatorname{Re} F, f_{2}=\operatorname{Im} F$. Следовательно, 3 -многообразие $Q_{\gamma_{\varepsilon}}$ задается уравнением $|F(z, w)|=\varepsilon$, то есть $|z w|=\varepsilon$. Опишем полезное представление многообразия $Q_{\gamma_{\varepsilon}}$. Рассмотрим в $\mathbb{C}^{2} 3$-многообразие с краем, задаваемое условиями:
\[
|z w|=\varepsilon, \quad|z| \leqslant 1, \quad|w| \leqslant 1 .
\]

Его край состоит из двух 2-мерных торов, задаваемых так:
\[
T_{w}=\{|z|=\varepsilon,|w|=1\}, \quad T_{z}=\{|w|=\varepsilon,|z|=1\} .
\]

Многообразие $Q_{\gamma_{\varepsilon}}$ получается из описанного выше 3-многообразия путем склейки этих двух граничных торов по диффеоморфизму, задаваемому формулой:
\[
\xi: T_{w} \rightarrow T_{z}, \quad \text { где } \xi:(z, w) \rightarrow\left(w^{-1}, z w^{2}\right) .
\]

Получившееся 3 -многообразие $Q_{\gamma_{\varepsilon}}$ расслоено на двумерные торы Лиувилля $T_{\varphi}$, где $\varphi$ — параметр, угол на окружности $\gamma_{\varepsilon}$. То есть
\[
T_{\varphi}=\left\{z w=\varepsilon e^{i \varphi}\right\} .
\]

Построим теперь на каждом из этих 2 -торов $T_{\varphi}$
Рис. 9.56 базис $\left(\lambda_{\varphi}, \mu_{\varphi}\right)$, гладко зависящий от параметра $\varphi$. Наша цель — найти матрицу монодромии. Эта матрица получится как матрица перехода на торе $T_{0}=T_{2 \pi}$ от базиса $\left(\lambda_{0}, \mu_{0}\right)$ к базису $\left(\lambda_{2 \pi}, \mu_{2 \pi}\right)$.

Мы зададим базис ( $\lambda_{\varphi}, \mu_{\varphi}$ ) в явном виде, предъявив соответствующие формулы. Через $t$ мы обозначим угловой параметр на циклах $\lambda_{\varphi}(t)$ и $\mu_{\varphi}(t)$. См. рис. 9.56.
\[
\begin{array}{l}
\lambda_{\varphi}(t)=\left(\varepsilon e^{i \varphi} e^{2 \pi i t}, e^{-2 \varphi i t}\right), \quad t \in[0,1], \\
\mu_{\varphi}(s)=\left(\varepsilon s^{-1} e^{i \varphi \tau(s)}, s e^{i \varphi(1-\tau(s))}\right), \quad s \in[\varepsilon, 1] . \\
\end{array}
\]

Здесь $\tau(s)=(s-\varepsilon)(1-\varepsilon)^{-1}$.
Перемножая обе компоненты, сразу убеждаемся, что оба цикла лежат на торе $T_{\varphi}=\left\{z w=\varepsilon e^{i \varphi}\right\}$. Также очевидно, что $\lambda_{\varphi}(t)$ является нетривиальным циклом без самопересечений на этом торе. Проверим, что кривая $\mu_{\varphi}(s)$ также является нетривиальным циклом без самопересечений на этом же торе. В самом

деле, при $s=\varepsilon$ мы получаем точку $\left(1, \varepsilon e^{i \varphi}\right)$ на торе $T_{z}$. При $s=1$ мы получаем точку ( $\left.\varepsilon e^{i \varphi}, 1\right)$ на торе $T_{w}$. Напомним теперь, что эти два тора нужно склеить при помощи отображения $\xi$, чтобы получить многообразие $Q_{\gamma_{\varepsilon}}$. Легко видеть, что отображение $\varepsilon$ склеивает две точки: $\left(1, \varepsilon e^{i \varphi}\right)$ и $\left(\varepsilon e^{i \varphi}, 1\right)$. То есть действительно получается замкнутый цикл.
Сравним теперь базисы $\left(\lambda_{0}, \mu_{0}\right)$ и $\left(\lambda_{2 \pi}, \mu_{2 \pi}\right)$. Имеем:
\[
\begin{aligned}
\lambda_{0}(t) & =\left(\varepsilon e^{2 \pi i t}, e^{-2 \pi i t}\right), \quad \mu_{0}(s)=\left(\varepsilon s^{-1}, s\right) . \\
\lambda_{2 \pi}(t) & =\left(\varepsilon e^{2 \pi i t}, e^{-2 \pi i t}\right), \quad \mu_{2 \pi}(s)=\left(\varepsilon s^{-1} e^{2 \pi i \tau(s)}, s e^{-2 \pi i \tau(s)}\right) .
\end{aligned}
\]

Ясно, что $\lambda_{0}=\lambda_{2 \pi}$, а $\mu_{2 \pi}=\lambda_{0}+\mu_{0}$. Отсюда и следует, что матрица монодромии имеет искомый вид. Теорема доказана для $n=1$. Если же $n$ произвольно, то ясно, что предыдущая формула примет следующий вид: $\lambda_{0}=\lambda_{2 \pi}$, а $\mu_{2 \pi}=n \lambda_{0}+\mu_{0}$. Это вытекает, например, из того, что для случая $n$ особых точек матрица монодромии, отвечающая $n=1$, возводится в $n$-ю степень. Последнее утверждение хорошо видно после перехода к $n$-листному накрытию. См. рис. 9.57. Теорема полностью доказана.

КомментариЙ. Граничный тор $T_{z}$, — он же тор $T_{w}$ после склейки, — пересекается со всеми торами вида $T_{\varphi}$ по циклам $\lambda_{\varphi}$. Но все эти циклы на торе $T_{z}$ гомологичны одному и тому же циклу $\lambda_{0}$. Кроме того, все циклы вида $\lambda_{\varphi}$ являются орбитами действия Рис. 9.57 окружности $S^{1}$ на $Q_{\gamma_{\varepsilon}}$.

Вкратце опишем теперь и другое доказательство этой же теоремы. Отметим, что на 3 -многообразии $Q_{\gamma_{\varepsilon}}$ есть два разных расслоения на двумерные торы. Мы использовали оба. Первое расслоение — на торы Лиувилля, то есть на торы вида $T_{\varphi}$. Базой расслоения является окружность $\gamma_{\varepsilon}$. Второе — расслоение на торы $T_{z}^{\prime}$ вида:
\[
T_{s}^{\prime}=\left\{|z|=\varepsilon s^{-1},|w|=s\right\} . \quad \text { Здесь } s \in[\varepsilon, 1] .
\]

При этом тор $T_{z}$, — он же тор $T_{w}$ после склейки, естественно включен в это семейство. А именно, $T_{1}^{\prime}=T_{w}$, а $T_{\varepsilon}^{\prime}=T_{z}$.

Матрицу монодромии расслоения $Q_{\gamma_{\varepsilon}}$ над окружностью можно проинтерпретировать в терминах фундаментальной группы многообразия $Q_{\gamma_{\varepsilon}}$. Имеет место следующее общее утверждение. пусть $\pi: Q_{\gamma_{\varepsilon}} \rightarrow S^{1}$ является расслоением со слоем 2-тор. Выберем три образующих в группе $\pi_{1}\left(Q_{\gamma_{\varepsilon}}\right)$. Пусть $\gamma$ — образующая, гомеоморфно проектирующаяся на базу $S^{1}$, а $\alpha$ и $\beta$ — две образующие на слое, то есть на торе. См. рис. 9.58. Тогда фундаментальная группа $\pi_{1}\left(Q_{\gamma_{\varepsilon}}\right)$
Рис. 9.58

порождена этими тремя образующими $\alpha, \beta, \gamma$, между которыми нужно задать следующие соотношения: 1) $\alpha$ и $\beta$ — коммутируют, и 2) соотношение
\[
\left(\begin{array}{c}
\gamma \alpha \gamma^{-1} \\
\gamma \beta \gamma^{-1}
\end{array}\right)=C\left(\begin{array}{l}
\alpha \\
\beta
\end{array}\right),
\]

где $C$ — некоторая матрица. Матрица $C$ и есть матрица монодромии данного расслоения. Отметим, что мы использовали здесь аддитивную запись, поскольку образующие $\alpha$ и $\beta$ коммутируют.

Вычислим фундаментальную группу многообразия $Q_{\gamma_{\varepsilon}}$, используя сначала структуру расслоения на торы $T_{s}^{\prime}$. В качестве $\gamma$ мы возьмем цикл $\gamma=\mu_{0}(s)=$ $=\left(\varepsilon s^{-1}, s\right)$ (см. выше). В качестве $\alpha$ и $\beta$ возьмем два базисных цикла на тоpe $T_{w}=\{|w|=1,|z|=\varepsilon\}$, задающиеся следующими явными формулами в координатах $(z, w)$ :
\[
\alpha=\left(\varepsilon e^{2 \pi i t}, 1\right), \quad \beta=\left(\varepsilon, e^{-2 \pi i t}\right), \quad t \in[0,1] .
\]

Используя отображение $\xi$, склеивающее многообразие $Q_{\gamma_{\varepsilon}}$, и действующее по формуле $\xi:(z, w) \rightarrow\left(w^{-1}, z w^{2}\right)$, можно сразу выписать матрицу монодромии в базисе $\alpha, \beta$. Эта матрица задает отображение $\psi_{*}$ фундаментальной группы тора. Она будет такова:
\[
\left(\begin{array}{cc}
0 & -1 \\
1 & 2
\end{array}\right) .
\]

Следовательно, соотношения в фундаментальной группе многообразия $Q_{\gamma_{\varepsilon}}$ таковы:
\[
\gamma \alpha \gamma^{-1}=\beta^{-1}, \quad \gamma \beta \gamma^{-1}=\alpha \beta^{2} .
\]

Перейдем теперь к другим образующим в фундаментальной группе многообразия $Q_{\gamma_{\varepsilon}}$. А именно, к образующим, отвечающим расслоению многообразия на торы Лиувилля: $Q_{\gamma_{\varepsilon}} \rightarrow \gamma_{\varepsilon}$. На торе $T_{\varphi}$, являющемся слоем этого расслоения, при $\varphi=0$, возьмем образующие $\widetilde{\alpha}=\lambda_{0}, \widetilde{\beta}=\mu_{0}$ (см. выше). Из явных формул для них сразу следует, что
\[
\widetilde{\alpha}=\alpha \beta, \quad \widetilde{\beta}=\gamma .
\]

В качестве цикла $\tilde{\gamma}$, однозначно проектирующегося на окружность $\gamma_{\varepsilon}$, возьмем, например, $\alpha$.

Перепишем теперь соотношения в фундаментальной группе $Q_{\gamma_{\varepsilon}}$ в новых образующих $\widetilde{\alpha}, \widetilde{\beta}, \widetilde{\gamma}$. Отметим, что образующие $\widetilde{\alpha}$ и $\widetilde{\beta}$ коммутируют, как базисные циклы, лежащие на торе $T_{\varphi=0}$. Впрочем, в этом можно убедиться и формально, используя выписанные выше соотношения.

Интересующая нас матрица монодромии в новом базисе «с волнами» определяется так (см. выше):
\[
\left(\begin{array}{c}
\tilde{\gamma} \widetilde{\alpha} \tilde{\gamma}^{-1} \\
\widetilde{\gamma} \widetilde{\beta} \widetilde{\gamma}^{-1}
\end{array}\right)=\widetilde{C}\left(\begin{array}{c}
\widetilde{\alpha} \\
\widetilde{\beta}
\end{array}\right) .
\]

Подсчитаем элементы $\widetilde{\gamma} \tilde{\alpha} \widetilde{\gamma}^{-1}$ и $\widetilde{\gamma} \tilde{\beta} \widetilde{\gamma}^{-1}$. Получим: $\widetilde{\gamma} \tilde{\alpha}^{-1}=\alpha \alpha \beta \alpha^{-1}=\alpha \beta=\widetilde{\alpha}$, и далее $\widetilde{\gamma} \widetilde{\beta} \widetilde{\gamma}^{-1}=\alpha \gamma \alpha^{-1}=\alpha\left(\gamma \alpha^{-1} \gamma^{-1}\right) \gamma=\alpha \beta \gamma=\widetilde{\alpha} \widetilde{\beta}$. То есть, матрица монодромии $\widetilde{C}$ выглядит так:
\[
\left(\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
1 & 1
\end{array}\right) \text {. }
\]

Теорема доказана.
Замечание. Из явного вида матрицы монодромии в случае особенности типа фокусфокус видно, что она имеет «собственный вектор». Более точно, на каждом торе Лиувилля существует цикл, инвариантный относительно действия группы монодромии. Другими словами, во всей окрестности $U(L)$ особенности типа фокус-фокус можно выбрать «гладкое поле окружностей». На самом деле это поле нам уже известно. Это — в точности орбиты действия окружности $S^{1}$ на 4-многообразии $U(L)$.
Замечание. Рассмотрим 4-многообразие $U(L) \backslash L$, которое, очевидно, является расслоением со слоем тор Лиувилля над двумерным диском без точки, т.е. над кольцом. Напомним, что мы рассматриваем случай особенности типа фокус-фокус, для которой бифуркационная диаграмма состоит из одной точки, из центра диска. Согласно теореме Дюистермаата на базе такого расслоения всегда существует целочисленная аффинная структура [275]. Другими словами, базу можно представить в виде объединения некоторого числа карт с локальными координатами так, что функции перехода из карты в карту задаются линейными аффинными преобразованиями с целочисленными матрицами. Рассмотрим группу голономии этой аффинной структуры. Это будет некоторая подгруппа в группе $G L(2, \mathbb{Z})$. В нашем случае база двумерна. Легко видеть, что группа голономии в нашем случае просто совпадает с группой монодромии расслоения $Q_{\gamma_{\varepsilon}} \rightarrow \gamma_{\varepsilon}$. И следовательно, как мы показали выше, изоморфна группе $\mathbb{Z}$, образующая которой представлена матрицей
\[
\left(\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
n & 1
\end{array}\right) .
\]

Замечание. В следующей части нашей книги мы приведем конкретные примеры физических систем, в которых встречаются особенности типа фокус-фокус. К таким системам относятся, в частности, известные интегрируемые системы Лагранжа и Клебша в динамике тяжелого твердого тела, а также — сферический маятник и уравнения движения так называемого 4 -мерного твердого тела.

Замечание. Особенности типа фокус-фокус исследовались также в ряде других работ, например, в [265].

Замечание. Отметим, что локально особенность типа фокус-фокус можно рассматривать как особенность комплексной функции двух комплексных переменных. $К$ таким особенностям можно применить (локально) классическую теорию Пикара-Лефшеца. В частности, характер монодромии тоже имеет естественную интерпретацию в рамках этой классической теории. Этот случай — простейший с точки зрения общей теории Пикара-Лефшеца. Однако с глобальной точки зрения особенность фокус-фокус не обязана быть комплексной (она комплексная лишь локально). Следовательно, при исследовании ее глобальных свойств нужны дополнительные соображения.