Пусть дана молекула $W^{\ast }$ и пусть $e$ — произвольное ребро, на котором заданы два вектора $R^{+}$и $R^{-}$.
Определение 8.3. В качестве инварианта, стоящего на ребре $e$ с меткой $req\mathrm{\infty }$, мы возьмем вектор $R=\beta R^{-}-\alpha$. В качестве инварианта, стоящего на ребре $e$ с меткой $r=\mathrm{\infty }$, мы возьмем вектор вращения $R^{-}$по модулю 1 . Будем иногда обозначать этот инвариант $Rmod1$.

Вектор $R$ на конечном ребре и вектор $Rmod1$ на бесконечном ребре молекулы мы будем называть $R$-инвариантом системы на данном ребре.

Комментарий. В этом определении вычитание числа из вектора понимается так: из каждой компоненты вектора вычитается это число. При этом $\mathrm{\infty }-\alpha =\mathrm{\infty }$. Говоря о $Rmod1$, мы имеем в виду, что все компоненты вектора определены с точностью до целого числа, одинакового для всех компонент.

Тот факт, что построенный нами набор чисел $R$ действительно является корректно определенным инвариантом системы, не зависящим от выбора трансверсальных сечений, сразу следует из явных формул действия группы замен $G\mathbb{P}$ (предложение 8.2). Отметим, что для конечных ребер $R$-инвариант имеет естественный смысл. Он просто является $R$-вектором для функции вращения $\rho$, записанной в «базисе» ${\lambda }^{-},{\lambda }^{+}$, который определен однозначно и не зависит от выбора трансверсальных сечений. Термин «базис» мы взяли в кавычки, поскольку циклы ${\lambda }^{-},{\lambda }^{+}$являются независимыми, но базиса фундаментальной группы, вообще говоря, не образуют. Это, однако, не препятствует тому, чтобы записать функцию вращения относительно этой пары циклов.

Вектор вращения $R$ фактически описывает эволюцию вектора $v(t)$ нашей системы при изменении $t$ вдоль ребра молекулы. Определим еще один траекторный инвариант ind $R$, называемый индексом системы на ребре и показывающий «число оборотов», совершенных вектором $v(t)$ при его движении вдоль ребра. Этот инвариант однозначно вычисляется по $R$-вектору, поэтому его не нужно вносить в полный окончательный список независимых инвариантов. Однако этот индекс необходим для формулировки ограничений на векторы вращения, накладываемье системой.

Поскольку число оборотов, совершаемое вектором $v(t)$, не является целым, то нам понадобится некоторая дополнительная конструкция. Дадим точное определение.

Шаг 1. Восстановим по $R$-вектору функцию вращения $\rho (t)$ с точностью до сопряженности. Затем мы восстановим по $\rho (t)$ функцию угла
$$\psi (t)=\mathrm{arcctg}\rho (t):t\to S^1.$$

Углы $\psi (0)$ и $\psi (1)$ всегда удовлетворяют некоторым естественным ограничениям, сформулированным выше при обсуждении перекрестных ограничений 2 -го типа. См. пункт 3 .

Шаг 2. Отметим, что интегрируемую невырожденную систему $v$ можно всегда так пошевелить в окрестности атома $A$ на ребре, чтобы предельное положение вектора системы совпало по направлению с любым наперед заданным вектором $u=a\lambda +b\mu$, где $b>0$. Здесь $\lambda$ и $\mu$ — допустимая система координат. Доказательство следует из того факта, что в окрестности атома $A$ система движется по торам Лиувилля, являющимся граничными торами «тонкого» полнотория с очень «маленьким» меридианом. Запишем поле в виде $v(t)=a(t)\frac{\partial }{\partial {\phi }_1}+b(t)\frac{\partial }{\partial {\phi }_2}$. Здесь переменная-угол отвечает сжимающемуся циклу $\lambda$, и поэтому, рассматривая произвольные конечные возмущения функции $a(t)$, мы будем получать

малые возмущения поля $v$ (в смысле $C^0$-метрики). Итак, шевеля систему, мы можем произвольно менять предельное положение вектора $v$ в некоторой полуплоскости.

Шаг 3. Шевельнем систему в окрестности атома $A$ так, чтобы предельное положение угла $\psi$ стало кратным $\frac{\pi }{2}$. Этим условием оно будет определено однозначно, поскольку мы не имеем права выходить за пределы полуплоскости.

Отметим, что в окрестности седлового атома шевеление системы не влияет на предельное положение вектора, но здесь и без этого шевеления предельное положение вектора $v$ уже совпадает с одним из базисных циклов ${\lambda }^{-},{\lambda }^{+}$(в зависимости от того, начало или конец ребра мы рассматриваем). Таким образом, предельное положение угла кратно $\frac{\pi }{2}$ автоматически.

Шаг 4. После этого определим индекс $\mathrm{ind}R$ системы $v$ на ребре, положив ind $R=2\frac{(\psi (1)-\psi (0))}{\pi }$. Индекс не зависит от выбора шевеления системы. Ясно, что он полностью определяется лишь вектором вращения $R$ и типом ребра. ЗАмЕчАниЕ. Это определение впервые возникло в теории бордизмов интегрируемых гамильтоновых систем и принадлежит А. В. Болсинову и Т. З. Нгуену. Оно было, в частности, использовано Т. З. Нгуеном в работе [342] для построения примера интегрируемой системы не бордантной нулю.