Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Пусть дана молекула $W$ и некоторое ее абстрактное избыточное $t$-оснащение: Здесь $j$ нумерует ребра молекулы, а $c$ – ее вершины, т.е. атомы. Участвующие здесь объекты не являются произвольными. Опишем ограничения, которым они должны удовлетворять. Эти ограничения разбиваются на два типа. Первые из них – естественные условия, которым должен удовлетворять каждый из перечисленных объектов по отдельности. Ограничения второго типа можно условно назвать перекрестными. Они связывают между собой различные объекты. Ограничения 1-го типа. Ограничения 2-го типа (перекрестные). Соответствующему соотношению должны удовлетворить и векторы вращения $R^{-}$и $R^{+}$. Это означает на самом деле, что вектор вращения $R^{-}$может быть вычислен через $R^{+}$и матрицу склейки $C$. Но, с другой стороны, стартуя с начального положения $v(0)$ и поворачивая его в соответствии с информацией, записанной в векторе $R^{-}$, мы можем вычислить предельное положение $v(1)$ еще одним независимым способом. Условие, которому должно удовлетворять избыточное оснащение, состоит в том, что предельные положения вектора $v(1)$, вычисленные двумя независимыми способами, должны совпадать. Если этого условия не накладывать, то эти предельные положения будут совпадать лишь с точностью до знака. совпадает с исходным, заданным заранее допустимым $t$-оснащением молекулы. Доказательство. Берем молекулу $W$, ее матрицы склейки $C_{j}$ и сначала изготовляем из этого материала 3 -многообразие $Q^{3}$, склеивая его из отдельных 3 -атомов в соответствии с требованиями, диктуемыми матрицами склейки, как это уже было сделано в главе 4. При этом сначала мы выбрали и фиксировали на каждом 3 -атоме свое трансверсальное сечение. Оно дает допустимую систему координат, позволяющую определять склейки. Затем умножаем полученное многообразие $Q$ на интервал $(-1,1)$ и получаем четырехмерное многообразие, на котором имеется структура слоения на 2-торы и на особые слои. Следуя уже примененному однажды приему, берем «узкие 3 -атомы» $Q_{c}^{3}$ в $Q$ и для каждого из них строим требуемую интегрируемую систему на $Q_{c}^{3} \times(-1,1)$, в соответствии с леммой 8.4 о реализации системы на атоме. Это означает, что мы задали на «узких 4 -атомах» $Q_{c}^{3} \times D^{1}$ симплектическую структуру. Все эти структуры задают на $M^{4}$ одну и ту же ориентацию. Это следует из явной формулы для $\Omega$, приведенной в доказательстве леммы 8.4. Заметим, что при этом мы автоматически реализовали все объекты из избыточного оснащения, за исключением векторов вращения. Далее, с помощью леммы 8.6 мы можем продолжить симплектическую структуру на каждое из ребер молекулы таким образом, чтобы получить на этом ребре требуемый вектор вращения $R^{+}$. Тогда в силу сказанного ранее, вектор $R^{-}$восстановится однозначно по $R^{+}$и соответствующей матрице склейки. При этом все условия применимости леммы 8.6, накладываемые на характер поведения функции вращения на концах ребер, автоматически выполняются в описанных выше ограничениях на оснащение. Нужно также проверить условие о согласованности ориентаций пары векторных полей $\operatorname{sgrad} H$ и $\operatorname{sgrad} f$ на концах ребер, для применения леммы 8.6. Это вытекает из следующего соглашения об ориентации многообразий $M^{4}, Q^{3}$ и граничных торов атома $Q_{c}^{3}$. Симплектическая структура на $M^{4}$ задает такую ориентацию, что для любой функции $f$, независимой с $H$, четверка векторов имеет положительную ориентацию. Это верно для любой пары функций. Поскольку $\operatorname{grad} H задает положительную ориентацию на $Q$. Здесь $f$ – произвольный интеграл векторного поля $\operatorname{sgrad} H$, и от его выбора, как легко видеть, ориентация не зависит. Наконец, ориентацию на граничных торах Лиувилля мы определяем с помощью внешней нормали. В результате, пара задает на граничном торе атома положительную ориентацию тогда и только тогда, когда вектор $\left.\operatorname{grad} f\right|_{Q^{3}}$ направлен наружу из атома. Итак, имея естественную ориентацию на $M^{4}$, мы можем естественным образом задать ориентации на граничных торах атомов. Из сказанного сразу следует, что если в качестве $f$ взять функцию монотонно меняющуюся на ребре, то ориентация пары $\operatorname{sgrad} H, \operatorname{sgrad} f$ на начале и на конце ребра будет одинаковой, что и требуется.
|
1 |
Оглавление
|