Пусть дана молекула $W$ и некоторое ее абстрактное избыточное $t$-оснащение:
$$\mathbb{T}=(C_j,R_j^{+},R_j^{-},{\mathrm{\Lambda }}_c,{\mathrm{\Delta }}_c,Z_c).$$

Здесь $j$ нумерует ребра молекулы, а $c$ — ее вершины, т.е. атомы. Участвующие здесь объекты не являются произвольными. Опишем ограничения, которым они должны удовлетворять. Эти ограничения разбиваются на два типа. Первые из них — естественные условия, которым должен удовлетворять каждый из перечисленных объектов по отдельности. Ограничения второго типа можно условно назвать перекрестными. Они связывают между собой различные объекты.

Ограничения 1-го типа.
1) Целочисленные $2\times 2$ матрицы $C_j$ должны иметь определитель, равный -1 .
2) Векторы $R_j^{-}$и $R_j^{+}$должны быть $R$-векторами вращения некоторых реальных функций ${\rho }_j(t)$, удовлетворяющих описанным в параграфе 5 главы 5 свойствам. Это означает, что должны быть выполнены некоторые очевидные и естественные условия, вытекающие из определения вектора вращения. Например, между двумя соседними минимумами должен быть максимум или полюс. Легко составить формальный список этих условий, однако мы его здесь не приводим, поскольку их характер совершенно ясен.
Далее, если ребро выходит из седлового атома (соотв. атома $A$ ), то первая компонента вектора $R^{-}$должна быть бесконечной (соотв. конечной). Если, напротив, ребро входит в седловой атом (соотв. в атом $A$ ), то последняя компонента вектора $R^{+}$должна быть бесконечной (соотв. конечной). Это сразу следует из леммы 8.5.
3) $\mathrm{\Lambda }=({\mathrm{\Lambda }}_1,\dots ,{\mathrm{\Lambda }}_n)$ — набор из $n$ вещественных положительных чисел, рассматриваемых с точностью до пропорциональности, т.е. — точка проективного пространства. Здесь $n$ — число вершин атома $P^2$, и все числа ${\mathrm{\Lambda }}_i$ поставлены во взаимно-однозначное соответствие с вершинами атома.
4) $\mathrm{\Delta }=({\mathrm{\Delta }}_1,\dots ,{\mathrm{\Delta }}_n)$ — вещественная 0 -цепь на вершинах атома $P^2$, принадлежащая множеству допустимых 0 -цепей $\mathrm{\Delta }\left(P_c\right)$. См. главу 6.
5) $Z$ — произвольный элемент группы гомологий $H_1({\tilde{P}}_c^2,\mathbb{R})$, где ${\tilde{P}}_c^2-$ замкнутая поверхность, которая получается из атома $P_c^2$ заклейкой граничных окружностей дисками.

Ограничения 2-го типа (перекрестные).
1) Функции вращения ${\rho }^{+},{\rho }^{-}$и компоненты матрицы склейки $C$ на каждом ребре связаны соотношением, указанным в предложении 1.14 главы 1:
$${\rho }^{-}=\frac{\alpha {\rho }^{+}-\gamma }{\beta {\rho }^{+}+\delta }.$$

Соответствующему соотношению должны удовлетворить и векторы вращения $R^{-}$и $R^{+}$. Это означает на самом деле, что вектор вращения $R^{-}$может быть вычислен через $R^{+}$и матрицу склейки $C$.
2) Все ребра, инцидентные с седловым атомом, можно разбить на два класса двумя естественными способами. Вместо этих ребер можно говорить о кольцах 2-атома. Первый способ — топологический: мы считаем, что кольца принадлежат разным классам, если они лежат по разные стороны от графа $K_c$. Второй способ связан с разбиением множества колец на положительные и отрицательные кольца в смысле знака функции вращения. Такое разбиение мы также можем провести, зная значения крайних компонент векторов вращения, т.е. пределов функций вращения при подходе к данному атому. Требуется, чтобы оба способа давали один и тот же результат.
3) Заметим, что зная крайние компоненты векторов вращения и используя некоторые уже сделанные ранее соглашения, мы всегда можем точно определить предельные положения $v(0)$ и $v(1)$ векторного поля $v$, т.е. на начале и конце ребра. Например, для седловых атомов направление $v(0)$ дает нам направление ${\lambda }^{-}$, а направление $v(1)$ указывает нам направление ${\lambda }^{+}$. Для атома $A$ мы также можем однозначно восстановить направление векторов $v(0)$ и $v(1)$. Зная крайнюю компоненту вектора вращения, можно восстановить $v(0)$ с точностью до замены его направления на противоположное. Окончательный выбор направления задается тем условием, что в разложении $v(0)=a{\lambda }^{-}+b{\mu }^{-}$коэффициент $b$ должен быть положителен. Аналогично поступаем и с вектором $v(1)$, учитывая разложение $v(1)=a{\lambda }^{+}+b{\mu }^{+}$, в котором $b>0$.
Итак, мы всегда можем однозначно восстановить $v(0)$ и $v(1)$ в базисах $({\lambda }^{-},{\mu }^{-})$и $({\lambda }^{+},{\mu }^{+})$соответственно. Зная матрицу склейки, мы можем записать эти предельные положения в одном и том же базисе, например, в ( ${\lambda }^{-},{\mu }^{-})$.

Но, с другой стороны, стартуя с начального положения $v(0)$ и поворачивая его в соответствии с информацией, записанной в векторе $R^{-}$, мы можем вычислить предельное положение $v(1)$ еще одним независимым способом. Условие,

которому должно удовлетворять избыточное оснащение, состоит в том, что предельные положения вектора $v(1)$, вычисленные двумя независимыми способами, должны совпадать. Если этого условия не накладывать, то эти предельные положения будут совпадать лишь с точностью до знака.
Определение 8.2. Абстрактное $t$-оснащение молекулы $W$, удовлетворяющее перечисленным выше требованиям первого и второго типов, мы назовем доnycтuмым избыточным $t$-оснащением молекулы $W$.
Теорема 8.1. Пусть дано произвольное допустимое избыточное $t$-оснащение молекулы $W$. Тогда существует четырехмерное симплектическое многообразие $M^4=Q^3\times D^1$ с интегрируемой системой $v=\mathrm{sgrad}H$ описанного выше типа и существует набор трансверсальных сечений: внутри многообразия $Q^3=\{H=0\}$ для всех атомов, такие, что соответствующее избыточное $t$-оснащение
$$\mathbb{T}(v)=(C_j(\mathbb{P}),R_j^{-}(\mathbb{P}),R_j^{+}(\mathbb{P}),{\mathrm{\Lambda }}_c(\mathbb{P}),{\mathrm{\Delta }}_c(\mathbb{P}),Z_c(\mathbb{P}))$$

совпадает с исходным, заданным заранее допустимым $t$-оснащением молекулы. Доказательство.

Берем молекулу $W$, ее матрицы склейки $C_j$ и сначала изготовляем из этого материала 3 -многообразие $Q^3$, склеивая его из отдельных 3 -атомов в соответствии с требованиями, диктуемыми матрицами склейки, как это уже было сделано в главе 4. При этом сначала мы выбрали и фиксировали на каждом 3 -атоме свое трансверсальное сечение. Оно дает допустимую систему координат, позволяющую определять склейки. Затем умножаем полученное многообразие $Q$ на интервал $(-1,1)$ и получаем четырехмерное многообразие, на котором имеется структура слоения на 2-торы и на особые слои.

Следуя уже примененному однажды приему, берем «узкие 3 -атомы» $Q_c^3$ в $Q$ и для каждого из них строим требуемую интегрируемую систему на $Q_c^3\times (-1,1)$, в соответствии с леммой 8.4 о реализации системы на атоме. Это означает, что мы задали на «узких 4 -атомах» $Q_c^3\times D^1$ симплектическую структуру. Все эти структуры задают на $M^4$ одну и ту же ориентацию. Это следует из явной формулы для $\mathrm{\Omega }$, приведенной в доказательстве леммы 8.4. Заметим, что при этом мы автоматически реализовали все объекты из избыточного оснащения, за исключением векторов вращения. Далее, с помощью леммы 8.6 мы можем продолжить симплектическую структуру на каждое из ребер молекулы таким образом, чтобы получить на этом ребре требуемый вектор вращения $R^{+}$. Тогда в силу сказанного ранее, вектор $R^{-}$восстановится однозначно по $R^{+}$и соответствующей матрице склейки.

При этом все условия применимости леммы 8.6, накладываемые на характер поведения функции вращения на концах ребер, автоматически выполняются в описанных выше ограничениях на оснащение. Нужно также проверить условие о согласованности ориентаций пары векторных полей $\mathrm{sgrad}H$ и $\mathrm{sgrad}f$ на концах ребер, для применения леммы 8.6. Это вытекает из следующего соглашения об ориентации многообразий $M^4,Q^3$ и граничных торов атома $Q_c^3$.

Симплектическая структура на $M^4$ задает такую ориентацию, что для любой функции $f$, независимой с $H$, четверка векторов
$\mathrm{sgrad}H,\mathrm{grad}H,\mathrm{sgrad}f,\mathrm{grad}f$

имеет положительную ориентацию. Это верно для любой пары функций. Поскольку $\mathrm{grad}Heq0$ всюду на $Q$, то мы положим по определению, что тройка
$$\mathrm{sgrad}H,\mathrm{sgrad}f,{\mathrm{grad}f|}_{Q^3}$$

задает положительную ориентацию на $Q$. Здесь $f$ — произвольный интеграл векторного поля $\mathrm{sgrad}H$, и от его выбора, как легко видеть, ориентация не зависит.

Наконец, ориентацию на граничных торах Лиувилля мы определяем с помощью внешней нормали. В результате, пара
$\mathrm{sgrad}H,\mathrm{sgrad}f$

задает на граничном торе атома положительную ориентацию тогда и только тогда, когда вектор ${\mathrm{grad}f|}_{Q^3}$ направлен наружу из атома.

Итак, имея естественную ориентацию на $M^4$, мы можем естественным образом задать ориентации на граничных торах атомов. Из сказанного сразу следует, что если в качестве $f$ взять функцию монотонно меняющуюся на ребре, то ориентация пары $\mathrm{sgrad}H,\mathrm{sgrad}f$ на начале и на конце ребра будет одинаковой, что и требуется.
Теорема реализации доказана.