Определение 8.11. Интегрируемая гамильтонова система называется простой на данном изоэнергетическом 3 -многообразии $Q$, если на каждом критическом уровне ее дополнительного интеграла $f$, внутри $Q$, лежит ровно одна критическая окружность функции $f$. В терминах молекулы $W$ это означает, что допустимы только три простейших типа атомов: $A, B$ и $A^{*}$. См. рис. 8.8.
Рис. 8.8
Известно (см. работу Т. З. Нгуена [138]), что произвольная гладкая невырожденная интегрируемая система может быть сделана простой путем малого гладкого возмущения в классе интегрируемых систем. Однако в реальных задачах часто присутствует некоторая симметрия, которая является причиной возникновения сложных атомов. См. [139], [154], [219].
Описанные выше возмущения, вообще говоря, меняют тип гамильтониана, что выводит нас за рамки конкретной изучаемой системы. Поэтому выше мы рассматривали общий случай, включающий в себя теорию общий случай, включающий в себя теорию сложных атомов и молекул. Тем не менее случаи простых систем встречаются довольно часто, многие описанные инварианты при этом упрощаются, и ниже мы дадим переформулировку общей теоремы классификации для этого специального случая.
Напомним, что $t$-молекула $W^{* t}$ включает в себя следующие траекторные инварианты:
1) $R$-векторы, стоящие на каждом ребре молекулы;
2) $\Lambda$-инварианты всех седловых атомов;
3) $\widetilde{\Delta} \widetilde{Z}[\widetilde{\theta}]$-инварианты, стоящие на всех радикалах молекулы.
Проанализируем специфику этих инвариантов в случае простых систем. Первый инвариант $-R$-вектор – имеет «реберную» природу, т.е. описывает поведение систем на ребре молекулы, поэтому «простота» атомов никак на него не влияет и он остается без изменения.
$\Lambda$-инвариант становится тривиальным, поскольку атом имеет лишь одну вершину, и мы можем вообще исключить $\Lambda$ из числа траекторных инвариантов.
Из тройки $(\Delta, Z,[\theta])$ только инвариант $[\theta]$ содержит в себе нетривиальную информацию, два других инварианта $\Delta$ и $Z$ равны нулю опять-таки в силу простоты атома. Проанализируем определение 8.8. В рассматриваемом случае оно сводится к следующему. Две 0 -цепи на граф-радикале $[\theta]$ и $\left[\theta^{\prime}\right]$ называются эквивалентными, если их разность является границей некоторой целочисленной 1 -цепи $q$. Это в точности означает, что суммы коэффициентов этих 0-коцепей равны между собой. Но эта сумма коэффициентов по определению является $b$-инвариантом системы на рассматриваемом радикале. Итак, в итоге довольно громоздкий $\widetilde{\Delta} \widetilde{Z}[\widetilde{\theta}]$-инвариант превратился в $b$-инвариант, который представляет собой просто целое число.
В итоге мы получаем следующую траекторную молекулу $W^{* t}$ в случае простых систем.
Определение 8.12. В случае простых систем траекторной молекулой, или короче $t$-молекулой, $W^{* t}=\left(W^{*}, R, b\right)$ мы назовем меченую молекулу $W^{*}$, снабженную дополнительно $R$-инвариантами всех ее ребер и $b$-инвариантами всех ее радикалов.
Учитывая общую теорему классификации и рассуждения, приведенные выше, мы приходим к следующему результату.
Теорема 8.3. Пусть $v$ – простая интегрируемая гамильтонова система, т.е. ее молекула $W$ на данном изоэнергетическом 3 -многообразии состоит только из атомов $A, A^{*} u B$. Тогда отвечающая этой системе $t$-молеку$л a W^{* t}=\left(W^{*}, R, b\right)$ корректно определена, т.е. не зависит от выбора допустимых координат, и является полным траекторным инвариантом интегрируемой системы. Это означает, что две интегрируемые системы рассматриваемого класса топологически траекторно эквивалентны тогда и только тогда, когда их (простые) $t$-молекулы совпадают.
Как мы видим, в этом важном частном случае траекторные инварианты сильно упростились. Отметим также, что для простых молекул вся дополнительная информация о траекториях системы содержится в функциях вращения.
