Итак, каждой гамильтоновой системе на данном атоме (т.е. в регулярной окрестности особого уровня гамильтониана) мы сопоставили тройку инвариантов $(\Lambda, \Delta, Z)$. Оказывается, эти инварианты образуют полный набор, т.е. их достаточно для классификации систем относительно топологической сопряженности.
Теорема 6.1. Пусть $w$ и “ $^{\prime}$ – гамильтоновы системы на двумерных компактных поверхностях $X$ и $X^{\prime}$ с морсовскими гамильтонианами гамильтонианами $F$ и $F^{\prime}$ соответственно. Пусть $K=F^{-1}(0)$ и $K^{\prime}=F^{\prime-1}(0)-$ связные особые уровни гамильтонианов, гомеоморфные между собой вместе с некоторыми регулярными окрестностями (т.е. отвечающие одному и тому же атому). Тогда следующие два условия эквивалентны:
1) для некоторых окрестностей $P=U(K)$ и $P^{\prime}=U^{\prime}\left(K^{\prime}\right)$ этих особых слоев существует гомеоморфизм $\xi: P \rightarrow P^{\prime}$, сопрягающий гамильтоновы системы $w$ и $w^{\prime}$ и сохраняющий ориентацию;
2) соответствующие тройки инвариантов $(\Lambda, \Delta, Z) u\left(\Lambda^{\prime}, \Delta^{\prime}, Z^{\prime}\right)$ совпадают.

Комментарий. Более точно, совпадение инвариантов означает следующее: особый слой $K$ можно гомеоморфно отобразить на $K^{\prime}$ вместе с некоторой окрестностью так, что при этом
1) сохраняется ориентация,
2) сохраняется знак гамильтониана,
3) тройка $(\Lambda, \Delta, Z)$ переходит в тройку ( $\left.\Lambda^{\prime}, \Delta^{\prime}, Z^{\prime}\right)$. Это условие по-существу является комбинаторным. Его важно учитывать в случае, когда атомы, отвечающие рассматриваемым особенностям, допускают нетривиальные симметрии.

Доказательство.
a) Пусть системы $w$ и $w^{\prime}$ топологически сопряжены в некоторых окрестностях особых слоев $K$ и $K^{\prime}$. Тогда совпадение троек их инвариантов следует из предложений $6.1,6.2$.

б) Пусть теперь, наоборот, тройки инвариантов $(\Lambda, \Delta, Z)$ и $\left(\Lambda^{\prime}, \Delta^{\prime}, Z^{\prime}\right)$ совпадают. В качестве окрестностей $P$ и $P^{\prime}$ мы как обычно возьмем множества вида $P=F^{-1}[-\varepsilon, \varepsilon]$ и $P^{\prime}=F^{\prime-1}\left[-\varepsilon^{\prime}, \varepsilon^{\prime}\right]$, так чтобы пары $(P, K)$ и $\left(P^{\prime}, K^{\prime}\right)$ имели структуру двух гомеоморфных атомов.

Замечание. Величина $\varepsilon^{\prime}$ в определенном смысле задает «ширину атома». Эта «ширина» зависит на самом деле от величины $\varepsilon$ и, более того, зависит от кольца атома $P^{\prime}$. Эта зависимость вытекает из необходимости уравнивания функций периодов. Выбор $\varepsilon^{\prime}$ для каждого кольца будет прокомментирован ниже на шаге 3.

Построение сопрягающего гомеоморфизма $\xi: P \rightarrow P^{\prime}$ разобьем на несколько этапов.

Шаг 1. Выберем на всех кольцах атома ( $P, K)$ отрезки раздела, как это делалось при построении $\Delta$ и $Z$. На каждом ребре $K_{i}$ возникнет пара точек раздела $x_{i}^{+}$и $x_{i}^{-}$, с помощью которых мы построим для данного атома цепь $l$ (см. выше). Сделаем то же самое для атома $P^{\prime}$. Мы имеем некоторый гомеоморфизм $\xi_{0}:(P, K) \rightarrow\left(P^{\prime}, K^{\prime}\right)$, переводящий тройку инвариантов $(\Lambda, \Delta, Z)$ в тройку $\left(\Lambda^{\prime}, \Delta^{\prime}, Z^{\prime}\right)$. Ясно, что отрезки раздела на втором атоме $P^{\prime}$ можно выбрать таким образом, чтобы при этом гомеоморфизме цепь $l$ переходила в цепь $l^{\prime}$.

Шаг 2. Строим новый гомеоморфизм $\xi_{C}$ на каждом кольце $C$ атома $P$ на соответствующее ему кольцо $C^{\prime}=\xi_{0}(C)$ в атоме $P^{\prime}$. Пусть для определенности кольца $C$ и $C^{\prime}$ – отрицательны. Возьмем произвольный начальный отрезок раздела $N_{C}$ на кольце $C$, один конец которого – это точка раздела $x_{i}^{-}$, и соответствующий ему отрезок раздела $N_{C}^{\prime}$ на кольце $C^{\prime}$ (этот отрезок уже построен на первом шаге).

Введем на каждом из колец $C$ и $C^{\prime}$ естественные системы координат. В качестве первой координаты на кольце $C$ возьмем функцию $F$ (растущую вдоль отрезка $\left.N_{C}\right), F \in[-\varepsilon, 0)$. В качестве второй координаты $t$ возьмем время, определяемое потоком $\sigma^{t}$ на каждой линии уровня функции $F$ (она же интегральная траектория $\gamma_{F}$ ). При этом мы отсчитываем это время от начальной точки, лежащей на отрезке $N_{C}$. В результате получаем гладкие координаты $(F, t)$ на открытом кольце $C$. То же самое мы делаем на кольце $C^{\prime}$ и получаем гладкие координаты $\left(F^{\prime}, t^{\prime}\right.$ ) на отюрытом кольце $C^{\prime}$. Ясно, что координата $t$ (соотв. $t^{\prime}$ ) определена по модулю периода $\Pi(F)$ (соотв. $\Pi^{\prime}\left(F^{\prime}\right)$ ).

Шаг 3. Из леммы 6.2 следует, что обе функции периодов $\Pi(F)$ и $\Pi^{\prime}\left(F^{\prime}\right)$ монотонно стремятся к бесконечности при $F \rightarrow 0$ и $F^{\prime} \rightarrow 0$. Отсюда легко следует, что функции периодов $\Pi(F)$ и $\Pi^{\prime}\left(F^{\prime}\right)$ сопряжены в окрестности нуля, т. е. существует непрерывная монотонная замена $F^{\prime}=\tau(F)$ такая, что $\Pi(F)=\Pi^{\prime}(\tau(F))$. Без ограничения общности мы будем считать, что эта замена переводит отрезок $[-\varepsilon, 0]$ в точности в отрезок $\left[-\varepsilon^{\prime}, 0\right]$.

Рассмотрим теперь гомеоморфизм $\xi_{C}$ кольца $C$ на кольцо $C^{\prime}$, задаваемый явной формулой:
\[
\xi_{C}(F, t)=(\tau(F), t)
\]

или, что то же самое,
\[
F^{\prime}=\tau(F) \text { и } t^{\prime}=t
\]

Этот гомеоморфизм корректно определен, поскольку предварительно мы уравняли периоды потоков на соответствующих интегральных траекториях. Далее, гомеоморфизм $\xi_{C}: C \rightarrow C^{\prime}$ является сопряжением потоков $\sigma^{t}$ и $\sigma^{\prime t}$, поскольку мы положили $t^{\prime}=t$.

Шаг 4. Лемма 6.4.
a) Построенный выше гомеоморфизм $\xi_{C}$ непрерывно продолжается на границу кольца $C$.
б) Гомеоморфизмы типа $\xi_{C}$, построенные описанным способом для различных колеи, непрерывно сшиваются в единый гомеоморфизм атома $(P, K)$ на атом $\left(P^{\prime}, K^{\prime}\right)$.

Доказательство.
Рассмотрим на кольцах $C$ и $C^{\prime}$ стандартные переменные действие-угол, причем будем считать, что угол отсчитывается от начальных отрезков $N_{C}$ и $N_{C^{\prime}}$. Тогда при отображении $\xi_{C}$ линии уровня переменной угол для системы $w$ переходят в линии уровня переменной угол для системы $w^{\prime}$ с теми же самыми значениями угла.

Воспользуемся теперь леммой 6.1 и совпадением $\Lambda$-инвариантов. По определению отрезки раздела на кольцах $C$ и $C^{\prime}$ являются линиями уровня переменных «угол» $\varphi$ и $\varphi^{\prime}$. В силу леммы 6.1 значение «угла» на отрезках раздела вычисляется однозначно по $\Lambda$-инварианту. Поэтому (т. к. $\Lambda$-инварианты совпадают) при отображении $\xi_{C}$ отрезки раздела переходят в отрезки раздела.
Рис. 6.6
Таким образом, отображение $\xi_{C}$ может быть корректно определено в тех точках графа $K$, которые являются концами отрезков раздела на кольцах $C$ и $C^{\prime}$ (т.е. в точках раздела). Возьмем произвольное ребро $K_{i}$ графа $K$, к которому примыкает кольцо $C$. Это ребро является интегральной траекторией поля $w$ (сепаратрисой). Поскольку отображение $\xi_{C}$ уже задано нами в одной из точек этой интегральной траектории, то его можно продолжить до гомеоморфизма из $K_{i}$ на $K_{i}^{\prime}$, требуя сохранения естественной параметризации на этих ребрах, рассматриваемых как траектории гамильтоновых потоков.

Делая то же самое для всех ребер, лежащих на границе кольца $C$, мы однозначно продолжаем отображение $\xi_{C}$ на внутреннюю границу кольца $C$. Непрерывность полученного отображения очевидна. Именно здесь мы используем известную нам информацию о совпадении $\Lambda$-инвариантов сравниваемых потоков. Пункт (а) леммы доказан.

Докажем пункт (б). Берем два соседних кольца $C$ и $D$ (рис. 6.6) – отрицательное и положительное, – примыкающие к критическому уровню функции $F$. На них (включая примыкающие к ним ребра графа $K$ ) сопрягающие гомеоморфизмы $\xi_{C}$ и $\xi_{D}$ уже построены. Пусть ребро $K_{i}$ примыкает одновременно к кольцам $C$ и $D$. Нам нужно доказать, что гомеоморфизмы $\xi_{C}$ и $\xi_{D}$ на этом ребре совпадают. На ребре $K_{i}$ имеется пара точек раздела $x_{i}^{+}$и $x_{i}^{-}$, аналогичная пара $x_{i}^{\prime+}$ и $x_{i}^{\prime-}$ имеется на его образе $K^{\prime}$. По построению $\xi_{C}\left(x_{i}^{-}\right)=x_{i}^{\prime-}$ и $\xi_{D}\left(x_{i}^{+}\right)=x_{i}^{\prime+}$.

Теперь легко видеть, что доказываемое утверждение легко следует из совпадения цепей $l$ и $l^{\prime}$. Действительно, $x_{i}^{+}=\sigma^{t_{i}}\left(x_{i}^{-}\right)$и $x_{i}^{\prime+}=\sigma^{\prime t_{i}}\left(x_{i}^{\prime-}\right)$, где $t_{i}$ коэффициент цепей $l$ и $l^{\prime}$, отвечающий ребрам $K_{i}$ и $K_{i}^{\prime}$. Но тогда, поскольку $\xi_{C}$ является сопряжением, мы получаем
\[
\xi_{C}\left(x_{i}^{+}\right)=\xi_{C}\left(\sigma^{t_{i}}\left(x_{i}^{-}\right)\right)=\sigma^{\prime t_{i}}\left(\xi_{C}\left(x_{i}^{-}\right)\right)={\sigma^{\prime}}^{t_{i}}\left(x_{i}^{\prime-}\right)={x^{\prime}}_{i}^{+}=\xi_{D}\left(x_{i}^{+}\right) .
\]

Аналогично $\xi_{C}\left(x_{i}^{-}\right)=\xi_{D}\left(x_{i}^{-}\right)=x_{i}^{\prime}$. Ясно, что совпадая хотя бы в одной точке ребра $K_{i}$, гомеоморфизмы $\xi_{C}$ и $\xi_{D}$ будут совпадать на всем ребре $K_{i}$. Лемма 6.4 доказана.

Доказательство этой леммы фактически завершает доказательство теоремы 6.1. Действительно, построенные нами сопрягающие гомеоморфизмы $\xi_{C}: C \rightarrow C^{\prime}$ в силу леммы 6.4 сшиваются в единый сопрягающий гомеоморфизм $\xi: P \rightarrow P^{\prime}$. Теорема 6.1. доказана.

Комментарий. Из доказательства легко увидеть, что на самом деле построенный гомеоморфизм, сопрягающий потоки, является гладким всюду за исключением точек графа $K$.
Комментарий. В случае простейшего особого слоя типа восьмерки, содержащего ровно одну особую точку гамильтониана (т.е. в случае атома $B$ ), все построенные нами инварианты тривиальны. Таким образом, в этом случае любые две гамильтоновы системы являются топологически сопряженными в некоторых окрестностях особых слоев.

Итак, мы описали полный набор атомных инвариантов гамильтоновых систем с одной степенью свободы. В силу теоремы редукции (теорема 5.1) теперь мы можем траекторно (непрерывно) классифицировать интегрируемые системы на трехмерных атомах. Напомним, что для этого мы должны вместо исходного гамильтонова потока $v$ на 3 -атоме рассмотреть соответствующий ему поток Пуанкаре на трансверсальной площадке. Отметим, однако, что трансверсальная площадка выбирается неоднозначно (даже с точностью до изотопии). Поэтому $\Lambda$-, $\Delta$ – и $Z$-инварианты потока Пуанкаре будут, вообще говоря, зависеть от выбора трансверсальной площадки. Можно ли описать эту зависимость явно? Положительный ответ будет получен ниже. Оказывается, он формулируется в терминах некоторой довольно естественной операции на множестве гамильтоновых систем, заданных на фиксированном 2 -атоме. Описанию этой операции посвящен параграф 6.4.

В заключение отметим, что полученные результаты позволяют классифицировать интегрируемые системы с точностью до топологической сопряженности

не только на отдельных атомах, но и на замкнутых компактных 2-поверхностях. Для этого следует дополнить обнаруженные выше инварианты еще одним, являющимся аналогом $R$-инварианта на ребре молекулы. Здесь вместо $R$-вектора нужно взять П-вектор, построенный по функции периодов $\Pi(t)$, определенной на цилиндрах, соединяющих различные атомы. В результате получается некоторый граф $Y$, который естественно назвать точной молекулой. Совпадение точных молекул – необходимое и достаточное условие точной эквивалентности систем с одной степенью свободы на замкнутых 2-поверхностях. Детали мы изложим ниже.