В этой главе мы рассмотрим вопрос о классификации гамильтоновых векторных полей на 2-поверхностях в гладком случае. Разумеется, все топологические инварианты, построенные нами выше, остаются и гладкими инвариантами, но их, конечно, недостаточно для гладкой классификации. Однако, хотя гладких инвариантов больше чем топологических, устроены они более естественным образом. Мы начнем с изучения атомных гладких инвариантов. Итак, пусть, как и выше, $(P, K)$ – некоторый 2 -атом с гладким гамильтоновым векторным полем $v=\operatorname{sgrad} f$ на нем. Без ограничения общности в этом параграфе мы будем предполагать, что $K=f^{-1}(0)$.
Замечание. В этой главе гамильтониан системы будет обозначаться через $f$ вместо $F$. Напомним, что мы использовали обозначение $F$ для гамильтониана Пуанкаре на трансверсальной 2 -площадке, а $f$ обозначал у нас ранее интеграл исходной системы на $M^{4}$. Вообще говоря, функции $f$ и $F$, конечно, различны. Но с другой стороны, изменяя симплектическую структуру на трансверсальной площадке, мы можем в качестве гамильтониана потока Пуанкаре рассматривать дополнительный интеграл $f$. Мы можем произвести такую замену, поскольку нас интересует гамильтонов поток сам по себе, а не конкретный способ его задания с помощью симплектической структуры и гамильтониана. Кроме того, в настонщей главе речь будет идти о потоках на двумерных поверхностях, т. е. о самостонтельной задаче, представляющей интерес даже вне связи с классификацией систем на изоэнергетических 3-поверхностях.

Сначала естественно рассмотреть вопрос о классификации гамильтонова векторного поля в окрестности особой точки гамильтониана $f$, т.е. вершины атома.

Если атом имеет тип $A$ (т.е. точка является точкой минимума или максимума гамильтониана), то исследование этого случая не представляет труда. Траектории этого векторного поля являются окружностями вокруг особой точки, и это поле полностью характеризуется функцией периода этих траекторий.

Рассмотрим седловой случай. Поскольку гамильтоново векторное поле полностью определяется симплектической структурой и гамильтонианом, то наша задача может быть решена при помощи следующей леммы о каноническом виде гамильтониана, доказанной в [262].
Лемма 7.1. Пусть $S$ – невырожденная седловая особая точка гамильтониана $f$. Тогда существует регулярная система координат $(x, y)$ такая, что
a) $\omega=d x \wedge d y$
б) $f=f(z)$, где $z=x y$.

Это утверждение можно рассматривать как естественное обобщение двух классических результатов: леммы Морса и теоремы Дарбу. Нам будет удобно переформулировать его в следующей эквивалентной форме.
Лемма 7.2. Пусть $S$ – невырожденная седловал особал точка гамильтониана $f$. Тогда существует регулярная система координат $(x, y)$ такая, что
a) $f=x y$;
б) $\omega=\omega(z) d x \wedge d y$ где $z=x y$.
Кроме этой леммы нам понадобится также знать ответ на следующий вопрос: как найти функцию $\omega(z)$, не находя явно каноническую систему координат из леммы 7.2. Чтобы на него
Рис. 7.1 ответить, определим $\Lambda^{*}$-инвариант особой точки, имеющий одну и ту же природу с введенным выше $\Lambda$-инвариантом. Выберем в окрестности особой точки $S$ любую систему координат $(u, v)$, в которой гамильтониан записывается в виде $f=u v$, и пусть $\omega=\omega(u, v) d u \wedge d v$. Разложим функцию $\omega(u, v)$ в ряд Тейлора в точке $S$ :
\[
\omega(u, v) \simeq \sum_{i, j=0}^{\infty} a_{i j} u^{i} v^{j}
\]

и положим
\[
\Lambda^{*}(S)=\Lambda_{f}^{*}(S)=\sum_{k=0}^{\infty} \lambda_{k} z^{k}, \quad \text { где } \lambda_{k}=a_{k k} .
\]

Определение 7.1. Ряд $\Lambda^{*}(S)$ называется $\Lambda^{*}$-инвариантом седловой особой точки $S$.

Покажем, что $\Lambda^{*}$-инвариант не зависит от выбора системы координат $(u, v)$. Для этого дадим еще одно бескоординатное определение этого инварианта через некоторые естественные характеристики векторного поля $w$. Рассмотрим крест $U(S)$, окружающий особую точку $S$, показанный на рис. 7.1. Кривые $N_{1}, N_{2}, N_{3}, N_{4}$ являются гладкими и пересекают траектории поля $w$ трансверсально. Ясно, что при любых гладких диффеоморфизмах качественный вид этой области сохраняется.

Рассмотрим, как и выше, функцию $\pi(f)$, которая для каждой траектории с фиксированным значением функции $f$ указывает время движения вдоль участка этой траектории $\gamma_{f}$, высекаемого отрезками $N_{1}$ и $N_{2}$. Выше (лемма 6.2) мы получили следующее представление для функции $\pi(f)$ :
\[
\pi(f)=-\left(\sum_{k=0}^{n} a_{k k} f^{k}\right) \ln f+c_{n}(f),
\]

где $c_{n}(f)$ – функция класса $C^{n}$ на отрезке $\left[0, f_{0}\right]$.

Легко видеть, что в этом представлении полином от $f$, стоящий перед логарифмом, определен однозначно. Что произойдет с функцией $\pi(f)$, при диффеоморфизме, меняющем область $G$ ? Легко видеть, что отрезки $N_{i}$ заменятся на некоторые другие трансверсальные отрезки $N_{i}^{\prime}$, что повлияет лишь на функцию $c_{n}(f)$, к которой добавится некоторая $C^{\infty}$-гладкая функция, характеризующая «расстояние» между новыми и старыми отрезками.

Таким образом, коэффициенты полинома $\sum_{k=0}^{n} a_{k k} f^{k}$ могут быть определены инвариантным образом как коэффициенты в асимптотике функции $\pi(f)$. С другой стороны эти коэффициенты в совокупности задают $\Lambda^{*}$-инвариант особой точки $S$.
КомМЕНТАРИЙ. Как уже было отмечено в следствии из леммы 6.2 , функция $\pi(f)$ допускает следующее представление:
\[
\pi(f)=-\lambda(f) \ln f+c(f),
\]

где $\lambda(f)$ и $c(f)-C^{\infty}$-гладкие функции на $\left[0, f_{0}\right]$. Легко видеть, что $\Lambda^{*}$-инвариант векторного поля в особой точке $S$ – это в точности ряд Тейлора функции $\lambda(f)$.

Итак, в частности, мы показали, что «канонический вид» симплектической структуры (см. лемму 7.2) определен почти однозначно. Говоря точнее, однозначно будет определено тейлоровское разложение $\omega(z)$ в нуле. Нетрудно показать с другой стороны, что любая функция $\tilde{\omega}(z)$ с тем же тейлоровским разложением может быть реализована путем выбора подходящей системы координат. Заметим еще, что во всех этих рассуждениях гамильтониан $f$ предполагался фиксированным. Поэтому в результате мы приходим к следующему утверждению.
Предложение 7.1. Пусть $S_{i}$ – невырожденная седловая особая точка гамильтониана $f_{i}, \omega_{i}$ – соответствующая симплектическая структура, $i=1,2$. Тогда если $\Lambda^{*}$-инварианты точек $S_{1}$ и $S_{2}$ совпадают, то существует локальный диффеоморфизм $\xi: U_{1}\left(S_{1}\right) \rightarrow U_{2}\left(S_{2}\right)$ такой, что $\xi^{*}\left(f_{2}\right)=f_{1}$ и $\xi^{*}\left(\omega_{2}\right)=\omega_{1}$. И обратно, если такой диффеоморфизм существует, то $\Lambda^{*}$-инварианты особых точек $S_{1}$ и $S_{2}$ совпадают.

Мы сформулировали это предложение в терминах гамильтониана и симплектической структуры. На самом деле нас интересует гамильтоново векторное поле. Но поскольку оно полностью определяется парой $f, \omega$, то мы можем переформулировать это предложение следующим образом.
Следствие. Пусть $S_{i}$ – невырожденная седловая особая точка гамильтониана $f_{i} u w=\operatorname{sgrad} f$ – соответствующее гамильтоново векторное поле, $i=1,2$. Тогда если $\Lambda^{*}$-инварианты точек $S_{1}$ и $S_{2}$ совпадают, то существует локальный диффеоморфизм $\xi: U_{1}\left(S_{1}\right) \rightarrow U_{2}\left(S_{2}\right)$, сохраняющий гамильтониан (т.е. $f_{2} \circ \xi=f_{1}$ ) и переводящий поле $w_{1}$ в поле $w_{2}$. И обратно, если такой диффеоморфизм существует, то $\Lambda^{*}$-инварианты особых точек $S_{1}$ и $S_{2}$ совпадают. Другими словами, гамильтоновы векторные поля $w_{1}$ и $w_{2}$ сопряжены (с условием сохранения гамильтониана) тогда и только тогда, когда их $\Lambda^{*}$-инварианты совпадают.

Условие сохранения гамильтониана для нас, однако, является лишним и от него можно естественным образом избавиться. Для этого следует проконтролировать зависимость $\Lambda^{*}$ от выбора гамильтониана.

Пусть $g$ – некоторый другой гамильтониан данного векторного поля в окрестности точки $S$ (разумеется и симплектическая структура тоже другая). Пусть $g(S)=0$. Тогда, поскольку гамильтонианы друг через друга выражаются, мы можем разложить $f$ в точке $S$ в ряд по степеням $g$ :
\[
f=\sum_{k=1}^{\infty} b_{k} g^{k}, \quad b_{1}
eq 0 .
\]

Легко видеть, что в результате мы получим новый ряд $\Lambda_{g}(S)=\sum_{k=0}^{\infty} \widetilde{\lambda}_{k} \widetilde{z}^{k}$, который получается из $\Lambda_{f}(S)=\sum_{k=0}^{\infty} \lambda_{k} z^{k}$ формальной заменой $z=\sum_{k=1}^{\infty} b_{k} \widetilde{z}^{k}$. Таким образом, инвариант $\Lambda^{*}$ определен, вообще говоря, по модулю формальных замен, и мы можем сформулировать окончательный результат следующим образом.
Предложение 7.2. Два гамильтоновых векторных поля, заданные в окрестностях своих седловых особых точек, гладко сопряжены тогда и только тогда, когда их $\Lambda^{*}$-инварианты сопряжены формально.

Нетрудно описать все классы сопряженности гамильтоновых векторных полей в седловой особой точке. Этих классов столько же, сколько классов формально сопряженных степенных рядов в указанном выше смысле. Для степенных рядов (от одной переменной) нетрудно указать канонический представитель в каждом классе.
Лемма 7.3. Любой степенной ряд от одной переменной формально сопряжен одному из следующих полиномов:
\[
\begin{array}{l}
\lambda, \\
\lambda+z, \\
\lambda+z^{2}, \quad \lambda-z^{2}, \\
\lambda+z^{3}, \\
\lambda+z^{4}, \quad \lambda-z^{4}, \\
\cdots \cdots \\
\lambda+z^{2 k-1}, \\
\lambda+z^{2 k}, \quad \lambda-z^{2 k}, \\
\cdots
\end{array}
\]

и так далее, где $\lambda$ – некоторое число. Все эти полиномы попарно не сопряжены. Доказательство.
Рассмотрим произвольный степенной ряд
\[
\lambda+a_{n} w^{n}+a_{n+1} w^{n+1}+\ldots
\]

Пусть $n$ – четно и $a_{n}>0$. Тогда этот ряд формально сопряжен полиному $\lambda+z^{n}$. Формула замены такова:
\[
z=w\left(a_{n}+a_{n+1} w+\ldots\right)^{1 / n} .
\]

Здесь, конечно, имеется в виду формальное разложение радикала в ряд Тейлора по степеням $w$. Если $a_{n}<0$, то формула замены пишется аналогично.
Если $n$ нечетно, то формула – аналогична. Лемма доказана.

Комментарий. В общем случае (не обязательно гамильтоновом) гладкая классификация потоков в окрестности седловой особой точки может быть получена с помощью теоремы Ченя (которая сводит гладкую классификацию к формальной классификации степенных рядов) и теоремы Пуанкаре-Дюлака (которая определяет канонический вид соответствующего степенного ряда), см. [11]. Последнее наше утверждение тоже может быть получено с использованием этих классических результатов. Однако в дальнейшем нам понадобится условие сохранения гамильтониана, поэтому мы действовали несколько иначе.

Ниже нам будет полезно еще одно утверждение, касающееся поведения системы в окрестности седловой особой точки. Рассмотрим снова крест $U(S)$, окружающий особую точку, рис. 7.1. Легко видеть, что изменением границ креста, т. е. отрезков $N_{1}, N_{2}, N_{3}, N_{4}$, мы можем добиться того, чтобы все четыре функции $\pi_{i}(f) \quad(i=1,2,3,4)$ имели вид
\[
\pi_{i}(f)=-\lambda(f) \ln |f|,
\]
т.е. все функции вида $c(f)$ из разложения, выписанного выше, тождественно равны нулю. Крест $U(S)$, удовлетворяющий этому условию, мы будем называть каноническим. Подчеркнем, что это понятие зависит от выбора гамильтониана.

Рассмотрим теперь гамильтоново векторное поле $w$ в целом на атоме, т.е. в некоторой окрестности критического слоя $K=f^{-1}(0)$ гамильтониана $f$. Если мы выбросим из поверхности $P$ граф $K$, состоящий из незамкнутых траекторий и особых точек поля $w$, то поверхность распадется в несвязное объединение колец. Каждое кольцо $C_{n}$ является однопараметрическим семейством замкнутых траекторий, причем функция $f$ может быть рассмотрена как естественный параметр данного семейства. Поскольку каждая траектория замкнута, то она имеет некоторый период, и мы можем для каждого кольца $C_{n}$ определить естественную функцию периода $\Pi_{n}(f)$, указывающую, чему равен период траектории с данным значением функции $f$ на ней.

Ясно, что функции периода с точностью до сопряжения являются инвариантами векторного поля $f$. В непрерывном случае, кстати, они также являются инвариантами. Но там мы должны были рассматривать сопряженность с точностью до гомеоморфизмов, поэтому этот инвариант оказывался тривиальным. Действительно, все функции периодов монотонно стремятся к бесконечности при подходе к особому слою, поэтому с топологической точки зрения любые две из них сопряжены. В гладком случае ситуация другая.

Рассмотрим сначала функцию периодов на одном из колец. Она, как мы уже видели, имеет представление
\[
\Pi_{n}(f)=-A(f) \ln f+B(f),
\]

где $A$ и $B$ – некоторые гладкие функции на $\left[0, f_{0}\right]$. Сами эти функции однозначно не определены, но их тейлоровские разложения в нуле будут определены

однозначно, причем ряд Тейлора функции $A(f)$ будет совпадать с суммой $\Lambda^{*}$-инвариантов всех вершин (особых точек), мимо которых проходит это кольцо. Рассмотрим две функции указанного типа
\[
\begin{aligned}
\Pi(f) & =-A(f) \ln f+B(f), \\
\Pi^{\prime}\left(f^{\prime}\right) & =-A^{\prime}\left(f^{\prime}\right) \ln f^{\prime}+B^{\prime}\left(f^{\prime}\right) .
\end{aligned}
\]

Что можно сказать о их гладкой сопряженности? Другими словами, когда существует гладкая на отрезке $\left[0, \varepsilon_{0}\right]$ замена $f^{\prime}=\tau(f)$ такая, что
\[
\Pi(f)=\Pi^{\prime}(\tau(f)) ?
\]

Оказывается, условие гладкой сопряженности накладывает очень серьезные ограничения на пару этих функций. Вопрос сводится к классификации пар $\widetilde{A}(f), \widetilde{B}(f)$ тейлоровских разложений функций $A$ и $B$ в нуле. Нетрудно выписать формальные преобразования этих рндов при формальной замене $f$ на $f^{\prime}$. Но мы не будем этого делать, а укажем некоторый (тоже формальный) способ выбора некоторого канонического представителя в каждом классе.
Лемма 7.4. Для любой функции вида $\Pi(f)=-A(f) \ln f+B(f)$ существует гладкая замена $f=\tau\left(f^{\prime}\right)$ на $\left[0, \varepsilon_{0}\right]$, приводящая эту функцию к виду $\Pi\left(\tau\left(f^{\prime}\right)\right)=$ $=-A^{\prime}\left(f^{\prime}\right) \ln f^{\prime}$, т. е. полностью уничтожающая конечную часть этого представления. Функция $\tau\left(f^{\prime}\right)$ определена при этом однозначно, с точностью до любых «бесконечно малых» изменений, не меняющих ее ряд Тейлора. Две функции вида
\[
-A^{\prime}\left(f^{\prime}\right) \ln f^{\prime} \quad \text { и } \quad-A^{\prime \prime}\left(f^{\prime \prime}\right) \ln f^{\prime \prime},
\]

гладко сопряжены на некотором достаточно малом отрезке $\left[0, \varepsilon_{0}\right]$ тогда и только тогда, когда тейлоровские разложения функций $A^{\prime}$ и $A^{\prime \prime}$ совпадают.

Таким образом, класс гладкой сопряженности функции периода (в окрестности особого слоя) может быть параметризован некоторым степенным рядом. В частности, таких классов и, следовательно, гладких инвариантов бесконечное число (точнее – счетное число вещественных параметров).

Отметим, что наш случай еще сложнее. Мы имеем не одну, а несколько функций периодов для одного и того же атома, которые отвечают его кольцам. Причем, говоря о сопряженности двух наборов функций периодов, мы должны помнить, что сопрягающая замена $f^{\prime}=\tau(f)$ должна быть одной и той же для всех функций из этого набора, что еще более увеличит число инвариантов. Ясно, что с формальной точки зрения вопрос о сопряженности двух наборов функций периодов может быть решен с использованием леммы 7.4.

Чтобы далее не заниматься формальной стороной этого вопроса, мы будем предполагать далее, что функции периодов фиксированы. Существуют ли какие нибудь еще гладкие атомные инварианты помимо функций периодов и $\Lambda^{*}$-инвариантов?

Оказывается, если атом является плоским, то этих инвариантов уже достаточно. Если же нет, то появляется еще один $Z^{*}$-инвариант, который является гладким аналогом топологического $Z$-инварианта. Опишем эту конструкцию. Ее

идея полностью соответствует доказательству того факта, что любую систему можно построить с помощью операции вклейки-вырезания из системы с нулевыми инвариантами $\Delta$ и $Z$ (см. предложение 6.4).

Рис. 7.2
Рис. 7.3

Итак, рассмотрим произвольную гладкую систему $w=\operatorname{sgrad} f$ на атоме $P$. Рассмотрим все вершины графа $K$ и окружим их каноническими крестами. Теперь «разрежем» атом вдоль граничных отрезков этих крестов. В результате атом распадется на «кресты» и прямоугольники» (см. рис. 7.2). Термин «прямоугольник» мы употребляем здесь довольно условно. Точнее следовало бы говорить об участке атома, ограниченном двумя трансверсальными отрезками $N_{i}^{+}$ и $N_{i}^{-}$к одному и тому же ребру $K_{i}$ графа $K$. Оба эти отрезка параметризованы значением гамильтониана $f$ в их точках. Рассмотрим функцию $m_{i}(f)$, которая измеряет «расстояние» между этими отрезками. Более точно, если $\gamma_{f}$ – некоторая траектория векторного поля $w$ с данным значением гамильтониана $f$ на ней и $y^{+}=N_{i}^{+} \cap \gamma_{f}, y^{-}=N_{i}^{-} \cap \gamma_{f}$ (см. рис. 7.3 ), то $m_{i}(f)$ – это расстояние между этими точками в смысле гамильтонова потока $\sigma^{t}$, т.е.
\[
y^{+}=\sigma^{m_{i}(f)}\left(y^{-}\right) .
\]

Таким образом, на каждом ребре графа $K$ возникла некоторая гладкая функция $m_{i}(f)$. Рассмотрим теперь формальную коцепь $m^{*}=\sum \tilde{m}_{i} K_{i}^{*}$, где $K_{i}^{*}$ – ребра сопряженного графа, интерпретируемую как базис в пространстве одномерных коцепей, а $\widetilde{m}_{i}$ – формальный ряд Тейлора функции $m_{i}(f)$ в нуле. Эта цепь является точным гладким аналогом коцепи $m$, которая фигурировала в определении операции вклейки-вырезания. В гладком случае также есть естественный аналог этой операции, однако здесь естественно считать, что боковые стороны «прямоугольников» являются криволинейными, так что «прямоугольник» имеет переменную ширину, измеряемую как раз функцией $m_{i}$.

Ясно, что коцепь $m^{*}$ определена неоднозначно, поскольку она зависит от выбора канонических крестов вокруг каждой вершины. Однако мы утверждаем, что если гамильтониан считается фиксированным, то инвариантом является класс этой коцепи $\left[m^{*}\right]$ по модулю кограниц $B^{1}(P, \mathbb{R}[f])$ с коэффициентами в кольце степенных рядов $\mathbb{R}[f]$.

Покажем это. Для этого достаточно проверить, что класс $\left[m^{*}\right]$ не зависит от выбора канонических крестов.

Тот факт, что при изменении $m^{*}$ на кограницу система не меняется, уже был фактически доказан в лемме 6.5, единственное отличие состояло в том, что в топологическом случае коэффициентами были вещественные числа, которые в гладком случае заменились формальными степенными рядами.

Посмотрим более подробно, в чем состоит произвол в выборе канонического креста $U(S)$, окружающего вершину $S$. Другими словами, каким преобразованиям можно подвергать такой крест с сохранением его каноничности.

Во-первых, можно подвергнуть крест сдвигу вдоль векторного поля $w$, т.е. преобразованию вида $\sigma^{t_{0}}$. Поскольку поток
имеет интеграл $f$, мы можем обобщить это преобразование следующим естественным образом. Пусть $g(f)$ – произвольная гладкая функция. Тогда каждую точку $x$ мы будем сдвигать вдоль ее траектории на величину $g(f(x))$. Другими словами, мы зададим преобразование следующей формулой
\[
\mathcal{A}_{g}(x)=\sigma^{g(f(x))}(x) .
\]

Легко видеть, что это преобразование сохраняет все свойства канонического креста. Что произойдет при этом с коцепью $m^{*}$ ? Легко видеть, что к ней просто добавится кограница вида $\tilde{g} \delta\left(S^{*}\right)$, где $\tilde{g}$ – ряд Тейлора функции $g(f)$ в нуле, а $S^{*}$ – элементарная 0 -коцепь, принимающая значение 1 на вершине $S$ и нуль на всех остальных вершинах. Преобразование $\mathcal{A}_{g}(x)$ показано на рис. 7.4.

Еще одно преобразование креста состоит в том, что его граничные отрезки $N_{1}, N_{2}, N_{3}, N_{4}$ мы можем заменить на произвольные отрезки, $N_{1}^{\prime}, N_{2}^{\prime}, N_{3}^{\prime}, N_{4}^{\prime}$, которые в точках графа $K$ отличаются от начальных отрезков $N_{1}, N_{2}, N_{3}, N_{4}$ на малые «бесконечного порядка» (см. рис. 7.5). Другими словами, $N_{i}$ и $N_{i}^{\prime}$ в точке графа $K$ имеют касание бесконечного порядка малости. Ясно, что при этом функции $m_{i}(f)$ на ребрах графа, вообще говоря, изменятся, но их тейлоровские разложения в нуле останутся прежними, и коцепь $m^{*}$ не изменится вовсе.

Легко видеть, что любое преобразование канонического креста сводится к композиции преобразований двух описанных типов (т. е. сдвига и изменения границы на малую бесконечного порядка).

Таким образом, класс коцепи $m^{*}$ по модулю кограниц определен корректно и, следовательно, является инвариантом.

Теперь, как мы это уже делали в топологическом случае для 1-цепи $l$, мы можем изготовить из коцепи $m^{*}$ два инварианта. Во-первых, мы можем рассмотреть ее кограницу $\Delta^{*}=\delta m^{*}$. Это, действительно, 一 гладкий инвариант. Но он, оказывается, не является новым, поскольку, просуммировав коэффициенты 1 -коцепи $m^{*}$ по каждому кольцу $C_{n}$ (в этом и состоит взятие кограницы),

мы получим конечные части функций периодов
\[
\Pi_{n}(f)=-A(f) \ln |f|+B(f),
\]

точнее, тейлоровские разложения функций $B_{n}(f)$ в нуле. Действительно, все члены, содержащие логарифмы, мы загнали в канонические кресты, а все «конечные части» распределили по коэффициентам $m^{*}$. Таким образом, $\Delta^{*}$-инвариант нам уже известен из функций периодов.

Кроме этого, мы можем ортогонально спроектировать коцепь $m^{*}$ на пространство коциклов $Z^{1}(\widetilde{P}, \mathbb{R}[f])$ и рассмотреть соответствующий класс когомологий $Z^{*} \in H^{1}(\widetilde{P}, \mathbb{R}[f])$.
Определение 7.2. Класс когомологий $Z^{*}$ мы будем называть $Z^{*}$-инвариантом интегрируемой гамильтоновой системы $w$ на атоме $(P, K)$.

Как мы видим, в гладком случае по существу сохранились все типы траекторных инвариантов: $\Lambda$-инвариант превратился в $\Lambda^{*}$-инвариант, $\Delta$-инвариант (0-граница) превратился в $\Delta^{*}$-инвариант ( 2 -кограница или, что то же самое, 0 -граница сопряженного графа), класс 1 -гомологий $Z$ превратился в класс 1 -когомологий $Z^{*}$. В гладком случае элементами (коэффициентами) всех этих наборов являются формальные степенные ряды, а не вещественные числа, как в топологическом. Это совершенно естественно, поскольку, говоря неформально, мы должны сшить производные всех порядков. Более того, если мы хотим построить $C^{k}$-классификацию, то нам достаточно будет просто обрубить эти ряды на определенном шаге. Но здесь мы не будем вдаваться в детали этого вопроса.