В этой главе мы рассмотрим вопрос о классификации гамильтоновых векторных полей на 2-поверхностях в гладком случае. Разумеется, все топологические инварианты, построенные нами выше, остаются и гладкими инвариантами, но их, конечно, недостаточно для гладкой классификации. Однако, хотя гладких инвариантов больше чем топологических, устроены они более естественным образом. Мы начнем с изучения атомных гладких инвариантов. Итак, пусть, как и выше, $(P,K)$ — некоторый 2 -атом с гладким гамильтоновым векторным полем $v=\mathrm{sgrad}f$ на нем. Без ограничения общности в этом параграфе мы будем предполагать, что $K=f^{-1}(0)$.
Замечание. В этой главе гамильтониан системы будет обозначаться через $f$ вместо $F$. Напомним, что мы использовали обозначение $F$ для гамильтониана Пуанкаре на трансверсальной 2 -площадке, а $f$ обозначал у нас ранее интеграл исходной системы на $M^4$. Вообще говоря, функции $f$ и $F$, конечно, различны. Но с другой стороны, изменяя симплектическую структуру на трансверсальной площадке, мы можем в качестве гамильтониана потока Пуанкаре рассматривать дополнительный интеграл $f$. Мы можем произвести такую замену, поскольку нас интересует гамильтонов поток сам по себе, а не конкретный способ его задания с помощью симплектической структуры и гамильтониана. Кроме того, в настонщей главе речь будет идти о потоках на двумерных поверхностях, т. е. о самостонтельной задаче, представляющей интерес даже вне связи с классификацией систем на изоэнергетических 3-поверхностях.

Сначала естественно рассмотреть вопрос о классификации гамильтонова векторного поля в окрестности особой точки гамильтониана $f$, т.е. вершины атома.

Если атом имеет тип $A$ (т.е. точка является точкой минимума или максимума гамильтониана), то исследование этого случая не представляет труда. Траектории этого векторного поля являются окружностями вокруг особой точки, и это поле полностью характеризуется функцией периода этих траекторий.

Рассмотрим седловой случай. Поскольку гамильтоново векторное поле полностью определяется симплектической структурой и гамильтонианом, то наша задача может быть решена при помощи следующей леммы о каноническом виде гамильтониана, доказанной в [262].
Лемма 7.1. Пусть $S$ — невырожденная седловая особая точка гамильтониана $f$. Тогда существует регулярная система координат $(x,y)$ такая, что
a) $\omega =dx\wedge dy$
б) $f=f(z)$, где $z=xy$.

Это утверждение можно рассматривать как естественное обобщение двух классических результатов: леммы Морса и теоремы Дарбу. Нам будет удобно переформулировать его в следующей эквивалентной форме.
Лемма 7.2. Пусть $S$ — невырожденная седловал особал точка гамильтониана $f$. Тогда существует регулярная система координат $(x,y)$ такая, что
a) $f=xy$;
б) $\omega =\omega (z)dx\wedge dy$ где $z=xy$.
Кроме этой леммы нам понадобится также знать ответ на следующий вопрос: как найти функцию $\omega (z)$, не находя явно каноническую систему координат из леммы 7.2. Чтобы на него
Рис. 7.1 ответить, определим ${\mathrm{\Lambda }}^{\ast }$-инвариант особой точки, имеющий одну и ту же природу с введенным выше $\mathrm{\Lambda }$-инвариантом. Выберем в окрестности особой точки $S$ любую систему координат $(u,v)$, в которой гамильтониан записывается в виде $f=uv$, и пусть $\omega =\omega (u,v)du\wedge dv$. Разложим функцию $\omega (u,v)$ в ряд Тейлора в точке $S$ :
$$\omega (u,v)\simeq \sum _{i,j=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_{ij}{u}^i{v}^j$$

и положим
$${\mathrm{\Lambda }}^{\ast }(S)={\mathrm{\Lambda }}_f^{\ast }(S)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\lambda }_k{z}^k,\text{ где }{\lambda }_k=a_{kk}.$$

Определение 7.1. Ряд ${\mathrm{\Lambda }}^{\ast }(S)$ называется ${\mathrm{\Lambda }}^{\ast }$-инвариантом седловой особой точки $S$.

Покажем, что ${\mathrm{\Lambda }}^{\ast }$-инвариант не зависит от выбора системы координат $(u,v)$. Для этого дадим еще одно бескоординатное определение этого инварианта через некоторые естественные характеристики векторного поля $w$. Рассмотрим крест $U(S)$, окружающий особую точку $S$, показанный на рис. 7.1. Кривые $N_1,N_2,N_3,N_4$ являются гладкими и пересекают траектории поля $w$ трансверсально. Ясно, что при любых гладких диффеоморфизмах качественный вид этой области сохраняется.

Рассмотрим, как и выше, функцию $\pi (f)$, которая для каждой траектории с фиксированным значением функции $f$ указывает время движения вдоль участка этой траектории ${\gamma }_f$, высекаемого отрезками $N_1$ и $N_2$. Выше (лемма 6.2) мы получили следующее представление для функции $\pi (f)$ :
$$\pi (f)=-\left(\sum _{k=0}^n{a}_{kk}{f}^k\right)\ln f+c_n(f),$$

где $c_n(f)$ — функция класса $C^n$ на отрезке $[0,f_0]$.

Легко видеть, что в этом представлении полином от $f$, стоящий перед логарифмом, определен однозначно. Что произойдет с функцией $\pi (f)$, при диффеоморфизме, меняющем область $G$ ? Легко видеть, что отрезки $N_i$ заменятся на некоторые другие трансверсальные отрезки $N_i^{\prime }$, что повлияет лишь на функцию $c_n(f)$, к которой добавится некоторая $C^{\mathrm{\infty }}$-гладкая функция, характеризующая «расстояние» между новыми и старыми отрезками.

Таким образом, коэффициенты полинома $\sum _{k=0}^n{a}_{kk}{f}^k$ могут быть определены инвариантным образом как коэффициенты в асимптотике функции $\pi (f)$. С другой стороны эти коэффициенты в совокупности задают ${\mathrm{\Lambda }}^{\ast }$-инвариант особой точки $S$.
КомМЕНТАРИЙ. Как уже было отмечено в следствии из леммы 6.2 , функция $\pi (f)$ допускает следующее представление:
$$\pi (f)=-\lambda (f)\ln f+c(f),$$

где $\lambda (f)$ и $c(f)-C^{\mathrm{\infty }}$-гладкие функции на $[0,f_0]$. Легко видеть, что ${\mathrm{\Lambda }}^{\ast }$-инвариант векторного поля в особой точке $S$ — это в точности ряд Тейлора функции $\lambda (f)$.

Итак, в частности, мы показали, что «канонический вид» симплектической структуры (см. лемму 7.2) определен почти однозначно. Говоря точнее, однозначно будет определено тейлоровское разложение $\omega (z)$ в нуле. Нетрудно показать с другой стороны, что любая функция $\tilde{\omega }(z)$ с тем же тейлоровским разложением может быть реализована путем выбора подходящей системы координат. Заметим еще, что во всех этих рассуждениях гамильтониан $f$ предполагался фиксированным. Поэтому в результате мы приходим к следующему утверждению.
Предложение 7.1. Пусть $S_i$ — невырожденная седловая особая точка гамильтониана $f_i,{\omega }_i$ — соответствующая симплектическая структура, $i=1,2$. Тогда если ${\mathrm{\Lambda }}^{\ast }$-инварианты точек $S_1$ и $S_2$ совпадают, то существует локальный диффеоморфизм $\xi :U_1\left(S_1\right)\to U_2\left(S_2\right)$ такой, что ${\xi }^{\ast }\left(f_2\right)=f_1$ и ${\xi }^{\ast }\left({\omega }_2\right)={\omega }_1$. И обратно, если такой диффеоморфизм существует, то ${\mathrm{\Lambda }}^{\ast }$-инварианты особых точек $S_1$ и $S_2$ совпадают.

Мы сформулировали это предложение в терминах гамильтониана и симплектической структуры. На самом деле нас интересует гамильтоново векторное поле. Но поскольку оно полностью определяется парой $f,\omega$, то мы можем переформулировать это предложение следующим образом.
Следствие. Пусть $S_i$ — невырожденная седловая особая точка гамильтониана $f_{i}uw=\mathrm{sgrad}f$ — соответствующее гамильтоново векторное поле, $i=1,2$. Тогда если ${\mathrm{\Lambda }}^{\ast }$-инварианты точек $S_1$ и $S_2$ совпадают, то существует локальный диффеоморфизм $\xi :U_1\left(S_1\right)\to U_2\left(S_2\right)$, сохраняющий гамильтониан (т.е. $f_2\circ \xi =f_1$ ) и переводящий поле $w_1$ в поле $w_2$. И обратно, если такой диффеоморфизм существует, то ${\mathrm{\Lambda }}^{\ast }$-инварианты особых точек $S_1$ и $S_2$ совпадают. Другими словами, гамильтоновы векторные поля $w_1$ и $w_2$ сопряжены (с условием сохранения гамильтониана) тогда и только тогда, когда их ${\mathrm{\Lambda }}^{\ast }$-инварианты совпадают.

Условие сохранения гамильтониана для нас, однако, является лишним и от него можно естественным образом избавиться. Для этого следует проконтролировать зависимость ${\mathrm{\Lambda }}^{\ast }$ от выбора гамильтониана.

Пусть $g$ — некоторый другой гамильтониан данного векторного поля в окрестности точки $S$ (разумеется и симплектическая структура тоже другая). Пусть $g(S)=0$. Тогда, поскольку гамильтонианы друг через друга выражаются, мы можем разложить $f$ в точке $S$ в ряд по степеням $g$ :
$$f=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_k{g}^k,b_{1}eq0.$$

Легко видеть, что в результате мы получим новый ряд ${\mathrm{\Lambda }}_g(S)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\tilde{\lambda }}_k{\tilde{z}}^k$, который получается из ${\mathrm{\Lambda }}_f(S)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\lambda }_k{z}^k$ формальной заменой $z=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_k{\tilde{z}}^k$. Таким образом, инвариант ${\mathrm{\Lambda }}^{\ast }$ определен, вообще говоря, по модулю формальных замен, и мы можем сформулировать окончательный результат следующим образом.
Предложение 7.2. Два гамильтоновых векторных поля, заданные в окрестностях своих седловых особых точек, гладко сопряжены тогда и только тогда, когда их ${\mathrm{\Lambda }}^{\ast }$-инварианты сопряжены формально.

Нетрудно описать все классы сопряженности гамильтоновых векторных полей в седловой особой точке. Этих классов столько же, сколько классов формально сопряженных степенных рядов в указанном выше смысле. Для степенных рядов (от одной переменной) нетрудно указать канонический представитель в каждом классе.
Лемма 7.3. Любой степенной ряд от одной переменной формально сопряжен одному из следующих полиномов:
$$\begin{array}{l}\lambda ,\\ \lambda +z,\\ \lambda +z^2,\lambda -z^2,\\ \lambda +z^3,\\ \lambda +z^4,\lambda -z^4,\\ \cdots \cdots \\ \lambda +z^{2k-1},\\ \lambda +z^{2k},\lambda -z^{2k},\\ \cdots \end{array}$$

и так далее, где $\lambda$ — некоторое число. Все эти полиномы попарно не сопряжены. Доказательство.
Рассмотрим произвольный степенной ряд
$$\lambda +a_n{w}^n+a_{n+1}{w}^{n+1}+\dots$$

Пусть $n$ — четно и $a_n>0$. Тогда этот ряд формально сопряжен полиному $\lambda +z^n$. Формула замены такова:
$$z=w{(a_n+a_{n+1}w+\dots )}^{1/n}.$$

Здесь, конечно, имеется в виду формальное разложение радикала в ряд Тейлора по степеням $w$. Если $a_n<0$, то формула замены пишется аналогично.
Если $n$ нечетно, то формула — аналогична. Лемма доказана.

Комментарий. В общем случае (не обязательно гамильтоновом) гладкая классификация потоков в окрестности седловой особой точки может быть получена с помощью теоремы Ченя (которая сводит гладкую классификацию к формальной классификации степенных рядов) и теоремы Пуанкаре-Дюлака (которая определяет канонический вид соответствующего степенного ряда), см. [11]. Последнее наше утверждение тоже может быть получено с использованием этих классических результатов. Однако в дальнейшем нам понадобится условие сохранения гамильтониана, поэтому мы действовали несколько иначе.

Ниже нам будет полезно еще одно утверждение, касающееся поведения системы в окрестности седловой особой точки. Рассмотрим снова крест $U(S)$, окружающий особую точку, рис. 7.1. Легко видеть, что изменением границ креста, т. е. отрезков $N_1,N_2,N_3,N_4$, мы можем добиться того, чтобы все четыре функции ${\pi }_i(f)(i=1,2,3,4)$ имели вид
$${\pi }_i(f)=-\lambda (f)\ln |f|,$$
т.е. все функции вида $c(f)$ из разложения, выписанного выше, тождественно равны нулю. Крест $U(S)$, удовлетворяющий этому условию, мы будем называть каноническим. Подчеркнем, что это понятие зависит от выбора гамильтониана.

Рассмотрим теперь гамильтоново векторное поле $w$ в целом на атоме, т.е. в некоторой окрестности критического слоя $K=f^{-1}(0)$ гамильтониана $f$. Если мы выбросим из поверхности $P$ граф $K$, состоящий из незамкнутых траекторий и особых точек поля $w$, то поверхность распадется в несвязное объединение колец. Каждое кольцо $C_n$ является однопараметрическим семейством замкнутых траекторий, причем функция $f$ может быть рассмотрена как естественный параметр данного семейства. Поскольку каждая траектория замкнута, то она имеет некоторый период, и мы можем для каждого кольца $C_n$ определить естественную функцию периода ${\mathrm{\Pi }}_n(f)$, указывающую, чему равен период траектории с данным значением функции $f$ на ней.

Ясно, что функции периода с точностью до сопряжения являются инвариантами векторного поля $f$. В непрерывном случае, кстати, они также являются инвариантами. Но там мы должны были рассматривать сопряженность с точностью до гомеоморфизмов, поэтому этот инвариант оказывался тривиальным. Действительно, все функции периодов монотонно стремятся к бесконечности при подходе к особому слою, поэтому с топологической точки зрения любые две из них сопряжены. В гладком случае ситуация другая.

Рассмотрим сначала функцию периодов на одном из колец. Она, как мы уже видели, имеет представление
$${\mathrm{\Pi }}_n(f)=-A(f)\ln f+B(f),$$

где $A$ и $B$ — некоторые гладкие функции на $[0,f_0]$. Сами эти функции однозначно не определены, но их тейлоровские разложения в нуле будут определены

однозначно, причем ряд Тейлора функции $A(f)$ будет совпадать с суммой ${\mathrm{\Lambda }}^{\ast }$-инвариантов всех вершин (особых точек), мимо которых проходит это кольцо. Рассмотрим две функции указанного типа
$$\begin{array}{rl}\mathrm{\Pi }(f)& =-A(f)\ln f+B(f),\\ {\mathrm{\Pi }}^{\prime }\left(f^{\prime }\right)& =-A^{\prime }\left(f^{\prime }\right)\ln f^{\prime }+B^{\prime }\left(f^{\prime }\right).\end{array}$$

Что можно сказать о их гладкой сопряженности? Другими словами, когда существует гладкая на отрезке $[0,{\epsilon }_0]$ замена $f^{\prime }=\tau (f)$ такая, что
$$\mathrm{\Pi }(f)={\mathrm{\Pi }}^{\prime }(\tau (f))?$$

Оказывается, условие гладкой сопряженности накладывает очень серьезные ограничения на пару этих функций. Вопрос сводится к классификации пар $\tilde{A}(f),\tilde{B}(f)$ тейлоровских разложений функций $A$ и $B$ в нуле. Нетрудно выписать формальные преобразования этих рндов при формальной замене $f$ на $f^{\prime }$. Но мы не будем этого делать, а укажем некоторый (тоже формальный) способ выбора некоторого канонического представителя в каждом классе.
Лемма 7.4. Для любой функции вида $\mathrm{\Pi }(f)=-A(f)\ln f+B(f)$ существует гладкая замена $f=\tau \left(f^{\prime }\right)$ на $[0,{\epsilon }_0]$, приводящая эту функцию к виду $\mathrm{\Pi }\left(\tau \left(f^{\prime }\right)\right)=$ $=-A^{\prime }\left(f^{\prime }\right)\ln f^{\prime }$, т. е. полностью уничтожающая конечную часть этого представления. Функция $\tau \left(f^{\prime }\right)$ определена при этом однозначно, с точностью до любых «бесконечно малых» изменений, не меняющих ее ряд Тейлора. Две функции вида
$$-A^{\prime }\left(f^{\prime }\right)\ln f^{\prime }\text{ и }-A^{\prime \prime }\left(f^{\prime \prime }\right)\ln f^{\prime \prime },$$

гладко сопряжены на некотором достаточно малом отрезке $[0,{\epsilon }_0]$ тогда и только тогда, когда тейлоровские разложения функций $A^{\prime }$ и $A^{\prime \prime }$ совпадают.

Таким образом, класс гладкой сопряженности функции периода (в окрестности особого слоя) может быть параметризован некоторым степенным рядом. В частности, таких классов и, следовательно, гладких инвариантов бесконечное число (точнее — счетное число вещественных параметров).

Отметим, что наш случай еще сложнее. Мы имеем не одну, а несколько функций периодов для одного и того же атома, которые отвечают его кольцам. Причем, говоря о сопряженности двух наборов функций периодов, мы должны помнить, что сопрягающая замена $f^{\prime }=\tau (f)$ должна быть одной и той же для всех функций из этого набора, что еще более увеличит число инвариантов. Ясно, что с формальной точки зрения вопрос о сопряженности двух наборов функций периодов может быть решен с использованием леммы 7.4.

Чтобы далее не заниматься формальной стороной этого вопроса, мы будем предполагать далее, что функции периодов фиксированы. Существуют ли какие нибудь еще гладкие атомные инварианты помимо функций периодов и ${\mathrm{\Lambda }}^{\ast }$-инвариантов?

Оказывается, если атом является плоским, то этих инвариантов уже достаточно. Если же нет, то появляется еще один $Z^{\ast }$-инвариант, который является гладким аналогом топологического $Z$-инварианта. Опишем эту конструкцию. Ее

идея полностью соответствует доказательству того факта, что любую систему можно построить с помощью операции вклейки-вырезания из системы с нулевыми инвариантами $\mathrm{\Delta }$ и $Z$ (см. предложение 6.4).

Рис. 7.2
Рис. 7.3

Итак, рассмотрим произвольную гладкую систему $w=\mathrm{sgrad}f$ на атоме $P$. Рассмотрим все вершины графа $K$ и окружим их каноническими крестами. Теперь «разрежем» атом вдоль граничных отрезков этих крестов. В результате атом распадется на «кресты» и прямоугольники» (см. рис. 7.2). Термин «прямоугольник» мы употребляем здесь довольно условно. Точнее следовало бы говорить об участке атома, ограниченном двумя трансверсальными отрезками $N_i^{+}$ и $N_i^{-}$к одному и тому же ребру $K_i$ графа $K$. Оба эти отрезка параметризованы значением гамильтониана $f$ в их точках. Рассмотрим функцию $m_i(f)$, которая измеряет «расстояние» между этими отрезками. Более точно, если ${\gamma }_f$ — некоторая траектория векторного поля $w$ с данным значением гамильтониана $f$ на ней и $y^{+}=N_i^{+}\cap {\gamma }_f,y^{-}=N_i^{-}\cap {\gamma }_f$ (см. рис. 7.3 ), то $m_i(f)$ — это расстояние между этими точками в смысле гамильтонова потока ${\sigma }^t$, т.е.
$$y^{+}={\sigma }^{m_i(f)}\left(y^{-}\right).$$

Таким образом, на каждом ребре графа $K$ возникла некоторая гладкая функция $m_i(f)$. Рассмотрим теперь формальную коцепь $m^{\ast }=\sum {\tilde{m}}_i{K}_i^{\ast }$, где $K_i^{\ast }$ — ребра сопряженного графа, интерпретируемую как базис в пространстве одномерных коцепей, а ${\tilde{m}}_i$ — формальный ряд Тейлора функции $m_i(f)$ в нуле. Эта цепь является точным гладким аналогом коцепи $m$, которая фигурировала в определении операции вклейки-вырезания. В гладком случае также есть естественный аналог этой операции, однако здесь естественно считать, что боковые стороны «прямоугольников» являются криволинейными, так что «прямоугольник» имеет переменную ширину, измеряемую как раз функцией $m_i$.

Ясно, что коцепь $m^{\ast }$ определена неоднозначно, поскольку она зависит от выбора канонических крестов вокруг каждой вершины. Однако мы утверждаем, что если гамильтониан считается фиксированным, то инвариантом является класс этой коцепи $\left[m^{\ast }\right]$ по модулю кограниц $B^1(P,\mathbb{R}[f])$ с коэффициентами в кольце степенных рядов $\mathbb{R}[f]$.

Покажем это. Для этого достаточно проверить, что класс $\left[m^{\ast }\right]$ не зависит от выбора канонических крестов.

Тот факт, что при изменении $m^{\ast }$ на кограницу система не меняется, уже был фактически доказан в лемме 6.5, единственное отличие состояло в том, что в топологическом случае коэффициентами были вещественные числа, которые в гладком случае заменились формальными степенными рядами.

Посмотрим более подробно, в чем состоит произвол в выборе канонического креста $U(S)$, окружающего вершину $S$. Другими словами, каким преобразованиям можно подвергать такой крест с сохранением его каноничности.

Во-первых, можно подвергнуть крест сдвигу вдоль векторного поля $w$, т.е. преобразованию вида ${\sigma }^{t_0}$. Поскольку поток
имеет интеграл $f$, мы можем обобщить это преобразование следующим естественным образом. Пусть $g(f)$ — произвольная гладкая функция. Тогда каждую точку $x$ мы будем сдвигать вдоль ее траектории на величину $g(f(x))$. Другими словами, мы зададим преобразование следующей формулой
$${\mathcal{A}}_g(x)={\sigma }^{g(f(x))}(x).$$

Легко видеть, что это преобразование сохраняет все свойства канонического креста. Что произойдет при этом с коцепью $m^{\ast }$ ? Легко видеть, что к ней просто добавится кограница вида $\tilde{g}\delta \left(S^{\ast }\right)$, где $\tilde{g}$ — ряд Тейлора функции $g(f)$ в нуле, а $S^{\ast }$ — элементарная 0 -коцепь, принимающая значение 1 на вершине $S$ и нуль на всех остальных вершинах. Преобразование ${\mathcal{A}}_g(x)$ показано на рис. 7.4.

Еще одно преобразование креста состоит в том, что его граничные отрезки $N_1,N_2,N_3,N_4$ мы можем заменить на произвольные отрезки, $N_1^{\prime },N_2^{\prime },N_3^{\prime },N_4^{\prime }$, которые в точках графа $K$ отличаются от начальных отрезков $N_1,N_2,N_3,N_4$ на малые «бесконечного порядка» (см. рис. 7.5). Другими словами, $N_i$ и $N_i^{\prime }$ в точке графа $K$ имеют касание бесконечного порядка малости. Ясно, что при этом функции $m_i(f)$ на ребрах графа, вообще говоря, изменятся, но их тейлоровские разложения в нуле останутся прежними, и коцепь $m^{\ast }$ не изменится вовсе.

Легко видеть, что любое преобразование канонического креста сводится к композиции преобразований двух описанных типов (т. е. сдвига и изменения границы на малую бесконечного порядка).

Таким образом, класс коцепи $m^{\ast }$ по модулю кограниц определен корректно и, следовательно, является инвариантом.

Теперь, как мы это уже делали в топологическом случае для 1-цепи $l$, мы можем изготовить из коцепи $m^{\ast }$ два инварианта. Во-первых, мы можем рассмотреть ее кограницу ${\mathrm{\Delta }}^{\ast }=\delta m^{\ast }$. Это, действительно, 一 гладкий инвариант. Но он, оказывается, не является новым, поскольку, просуммировав коэффициенты 1 -коцепи $m^{\ast }$ по каждому кольцу $C_n$ (в этом и состоит взятие кограницы),

мы получим конечные части функций периодов
$${\mathrm{\Pi }}_n(f)=-A(f)\ln |f|+B(f),$$

точнее, тейлоровские разложения функций $B_n(f)$ в нуле. Действительно, все члены, содержащие логарифмы, мы загнали в канонические кресты, а все «конечные части» распределили по коэффициентам $m^{\ast }$. Таким образом, ${\mathrm{\Delta }}^{\ast }$-инвариант нам уже известен из функций периодов.

Кроме этого, мы можем ортогонально спроектировать коцепь $m^{\ast }$ на пространство коциклов $Z^1(\tilde{P},\mathbb{R}[f])$ и рассмотреть соответствующий класс когомологий $Z^{\ast }\in H^1(\tilde{P},\mathbb{R}[f])$.
Определение 7.2. Класс когомологий $Z^{\ast }$ мы будем называть $Z^{\ast }$-инвариантом интегрируемой гамильтоновой системы $w$ на атоме $(P,K)$.

Как мы видим, в гладком случае по существу сохранились все типы траекторных инвариантов: $\mathrm{\Lambda }$-инвариант превратился в ${\mathrm{\Lambda }}^{\ast }$-инвариант, $\mathrm{\Delta }$-инвариант (0-граница) превратился в ${\mathrm{\Delta }}^{\ast }$-инвариант ( 2 -кограница или, что то же самое, 0 -граница сопряженного графа), класс 1 -гомологий $Z$ превратился в класс 1 -когомологий $Z^{\ast }$. В гладком случае элементами (коэффициентами) всех этих наборов являются формальные степенные ряды, а не вещественные числа, как в топологическом. Это совершенно естественно, поскольку, говоря неформально, мы должны сшить производные всех порядков. Более того, если мы хотим построить $C^k$-классификацию, то нам достаточно будет просто обрубить эти ряды на определенном шаге. Но здесь мы не будем вдаваться в детали этого вопроса.