Главная > ИHTEГPИPУEMЫE ГAMИЛЬTOHOBЫ СИСТЕМЫ(А. В. Болсинов, А. Т. Фоменко)
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

Рассмотрим конечный связный граф с вершинами степеней 1,2 и 3 . В каждую вершину кратности 1 поместим атом $A$. В каждую вершину кратности 2 поместим атом $\widetilde{B}$, и в каждую вершину кратности 3 – атом $B$. Снабдим каждое ребро графа ориентацией таким образом, чтобы каждый седловой атом приобрел хотя бы одно входящее и хотя бы одно выходящее ребро.

Предположим далее, что этот граф допускает погружение в 2 -плоскость, при котором все его ребра будут ориентированы вверх.

Теорема 2.3. Любой такой граф является простой молекулой, т. е. существует такая поверхность и такая простая функция Морса на ней, что ее молекула совпадает с заданным графом.
Доказательство теоремы очевидно.
Отметим, что если поверхность $X^{2}$ ориентируема, то в молекуле $W$ любой простой функции на $X$ нет атомов $\widetilde{B}$.

Теорема 2.4. Пусть $W\left(X^{2}, f\right)$ и $W\left(Y^{2}, g\right)$ – простые молекулы двух простых функций Морса на ориентированных поверхностях $X$ и $Y$. Если молекулы совпадают, то поверхности $X$ и $Y$ диффеоморфны, а функции $f$ и $g$ послойно эквивалентны.

Доказательство.
Действительно, молекула сообщает нам – из каких кусков нам следует склеивать поверхность и какие компоненты их границ нужно склеивать. При этом склеивать куски нужно, согласовывая на них ориентации. Для этого нужно задать ориентацию на каждом атоме. Это можно сделать двумя способами. Для простых атомов $A$ и $B$ всегда существует гомеоморфизм атома на себя, меняющий ориентацию атома, но сохраняющий его слоение. Поэтому результат склейки от выбора ориентации на каждом атоме не зависит. Теорема доказана.

Categories

1
Оглавление
email@scask.ru