Здесь мы кратко изложим теорему Т.З.Нгуена [344]. Она обобщает уже доказанный выше результат о распадении четырехмерных особенностей слоений Лиувилля в почти прямые произведения 2-атомов. Оказывается, аналогичное утверждение справедливо и для широкого класса многомерных особенностей слоений Лиувилля интегрируемых систем с любым числом степеней свободы.

Напомним, что как и выше, под особенностью слоения Лиувилля мы понимаем малую окрестность особого слоя, рассматриваемую с точностью до послойной эквивалентности. Можно говорить о ростке слоения в окрестности особого слоя.

Будем называть особенность слоения Лиувилля невырожденной, если все особые точки отображения момента $\mathcal{F}$, лежащие на особом слое, являются невырожденными в смысле определения 1.24 главы 1 тома 1. Возьмем особые точки минимального ранга $i$ на особом слое $L$. Тогда для каждой такой точки определен ее тип, а именно, тройка целых чисел ( $m_{1}, m_{2}, m_{3}$ ), описанная в главе 1 . Можно показать, что тип ( $m_{1}, m_{2}, m_{3}$ ) одинаков для всех особых точек минимального ранга на данном особом слое слоения Лиувилля. Следовательно, можно говорить о ранге $i$ особого слоя слоения Лиувилля и о его типе $\left(m_{1}, m_{2}, m_{3}\right)$.

Прежде чем формулировать теорему, нам потребуется еще одно дополнительное условие на особенности слоения Лиувилля. Это условие – условие нерасщепляемости – выделяет широкий и естественный класс таких особенностей. Во всех известных нам физических и геометрических примерах интегрируемых систем оно выполняется.

Начнем с простейшего примера. Пусть мы имеем интегрируемую систему с двумя степенями свободы. Рассмотрим ее ограничение на фиксированный регулярный уровень энергии $Q^{3}=(H=h)$. Выше мы определили топологическую устойчивость системы на $Q^{3}$. Это означает, что при малом изменении уровня энергии $h$ топологический тип слоения Лиувилля не меняется. Точнее, слоения Лиувилля на близких уровнях энергии послойно эквивалентны исходному слоению. На самом деле это условие носит локальный характер, и его можно переформулировать в терминах бифуркационной диаграммы отображения момента $\mathcal{F}$ в окрестности каждого отдельного 3 -атома в $Q^{3}$.
Единственным случаем, когда система с невырожденными особенностями неустойчива, является ситуация распадения сложного 3 -атома в объединение нескольких более простых 3 -атомов. Это распадение можно увидеть непосредственно на бифуркационной диаграмме. Действительно, рассмотрим невырожденные критические окружности на данном 3 -атоме. Все они находятся на одном уровне дополнительного ин-
теграла $f$. При отображении момента $\mathcal{F}$ все они отображаются в одну и ту же точку. С другой стороны, каждая из этих окружностей включается в однопараметрическое семейство, возникающее при изменении $h$.

ве $n-i$. Получится некоторый клеточный комплекс. Искомые бифуркационные диаграммы $\Sigma_{x_{j}}$ являются «его частями», то есть клеточными подкомплексами в «кусочно-линейных» комплексах указанного вида. См. рис. 1.12, главы 1 , тома 1 .

Определение 9.7. Невырожденная особенность слоения Лиувилля в $M^{2 n}$ удовлетворяет условио нерасщепляемости, если ее бифуркационная диаграмма $\Sigma$ в $\mathbb{R}^{n}$ приводится некоторым диффеоморфизмом к канонической диаграмме, соответствующей типу данной особенности. См. главу 1.

Комментарий. В основу определения 9.7 мы положили свойства бифуркационной диаграммы данной системы. Дело в том, что приступая к анализу той или иной системы, необходимо сначала проверить выполнимость условия нерасщепляемости. Реально такую проверку можно сделать именно на основе бифуркационной диаграммы, которая обычно известна.

Комментарий. Невырожденные особенности, удовлетворяющие условию нерасщепляемости, являются в определенном смысле наиболее простыми. Их бифуркационные диаграммы «не содержат ничего лишнего». Мы имеем в виду следующее. Бифуркационная диаграмма невырожденной особенности общего вида, т.е. не обязательно нерасщепляемой, всегда содержит в себе некоторую каноническую бифуркационную диаграмму, как подмножество. Условие нерасщепляемости означает, что кроме этой канонической бифуркационной диаграммы в диаграмме «больше ничего нет».
Рис. 9.60

Комментарий. Укажем пример невырожденной, однако расщепляемой, в указанном смысле, особенности. На рис. 9.60 изображен особый слой $L$ слоения Лиувилля, на котором есть одна точка типа фокусфокус и одна критическая седловая окружность. Эта окружность является линией касания 2 -тора со сферой, у которой отождествлены две точки. Эти точки и дают особенность типа фокус-фокус. Ясно, что бифуркационная диаграмма этой особенности является гладкой дугой. Дуга проходит через точку, в которую проектируются как точка типа фокус-фокус со слоя $L$, так и седловая критическая окружность. В смысле нашего определения, эта особенность конечно расщепляема. Она удовлетворяла бы условию нерасщепляемости, если бы состояла только из одной точки. В рассматриваемом случае есть «лишний кусок» – это дуга, проходящая через точку.

Здесь ясно виден один из механизмов, рождающих расщепляемые особенности. Появление «лишней» дуги связано с тем, что на особом слое одновременно с точкой максимального вырождения типа фокусфокус лежит еще и замкнутая орбита пуассонова действия группы $\mathbb{R}^{2}$. В общем случае ситуация аналогична: сделанное нами ограничение запрещает существование на особом слое $L$ ранга $i$ замкнутых орбит раз-

мерности больше $i$. Отметим, что в рассмотренном примере точка типа фокусфокус и одномерная замкнутая орбита могут быть разведены на разные слои путем малого возмущения пуассонова действия $\mathbb{R}^{2}$. В результате особенность расщепится на две более простые особенности, которые уже будут удовлетворять условию нерасщепляемости.

Комментарий. Приведем второй пример невырожденной расщепляемой особенности. Рассмотрим двумерную поверхность $P^{2}$ в $\mathbb{R}^{3}(x, y, z)$, показанную на рис. 9.61. Функция высоты $f(x, y, z)=z$ имеет ровно одно критическое значение $z=0$. Причем на соответствующем уровне функции лежат ровно две седловые критические точки $a=\left(x_{1}, y_{1}, 0\right)$ и $b=\left(x_{2}, y_{2}, 0\right)$. Пусть поверхность $P$ является неособой двумерной поверхностью уровня некоторой гладкой функции $H$, то есть $P^{2}=\{H(x, y, z)=0\}$. Рассмотрим 4-мерное евклидово пространство как симплектическое 4-многообразие $M^{4}=\mathbb{R}^{4}(x, y, u, v)$, с симплектической структурой $\omega=d x \wedge d y+d u \wedge d v$. Построим две функции $\tilde{H}$ и $\tilde{f}$ на $M^{4}$, положив:
\[
\widetilde{H}=H\left(x, y, u^{2}+v^{2}\right), \quad \widetilde{f}=f\left(x, y, u^{2}+v^{2}\right) .
\]

Рис. 9.62
Рис. 9.63

Функции $\tilde{H}$ и $\tilde{f}$ коммутируют на $M^{4}$ и задают отображение момента $\mathcal{F}: M^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{2}(H, f)$. Точки $\widetilde{a}$ и $\widetilde{b}$ в $M^{4}$ с координатами $\tilde{a}=\left(x_{1}, y_{1}, 0,0\right)$ и $\widetilde{b}=\left(x_{2}, y_{2}, 0,0\right)$ являются изолированными невырожденными критическими точками типа центр-седло для слоения Лиувилля, определяемого функциями $\widetilde{H}, \widetilde{f}$. Обе точки лежат на одном особом слое $L$ слоения Лиувилля. Бифуркационная диаграмма отображения момента $\mathcal{F}$ показана на рис. 9.62. Множество критических точек отображения момента состоит из трех компонент. Первая это двумерная плоскость, состоящая из точек вида $(x, y, 0,0)$. Все такие точки являются критическими для функции $\widetilde{f}$. Вторая и третья компоненты тоже двумерны и порождены критическими точками $a$ и $b$. Первая компонента проектируется при отображении момента $\mathcal{F}$ в горизонтальную прямую (рис. 9.62), являющуюся границей верхней полуплоскости. Вторая компонента проектируется в левый луч, а третья компонента – в правый луч. Локальные бифуркационные диаграммы для каждой из точек $\widetilde{a}$ и $\widetilde{b}$ показаны на рис. 9.62. Это прямая с левым лучом, и прямая с правым лучом. Видно, что ни одна из них не совпадает с полной бифуркационной диаграммой, которая состоит из прямой с обоими лучами. Следовательно, эта особенность неустойчива. Как и в предыдущем примере, описанная особенность слоения Лиувилля может быть сделана нерасщепляемой при подходящем малом шевелении пуассонова действия группы $\mathbb{R}^{2}$. Соответствующее возмущение изображено на рис. 9.63.

Комментарий. Еще один механизм возникновения расщепляемых особенностей появляется в гладком случае. Здесь проявляется отличие от аналитического случая, где такой механизм не действует. Это – уже знакомое нам, по главе 1 тома 1 , расщепление дуг бифуркационной диаграммы в особой точке диаграммы. Рассмотрим невырожденную особенность аналитического лиувиллева слоения. Оказывается, бывают такие ситуации, когда при аналитическом возмущении эта особенность не меняет своего топологического типа, а при подходящем гладком возмущении, – меняет. Связано это (см. главу 1) именно с тем, что гладким возмущением можно расщепить одну из дуг диаграммы $\Sigma$ в некоторой особой точке. Например, на две дуги, касающиеся друг друга в точке расщепления. Аналитическим же возмущением такого расщепления добиться нельзя.

Комментарий. Следует отметить, что мы частично изменили терминологию, использовавшуюся в первоначальной работе Т. З. Нгуена. Он называл описанные выше особенности «устойчивыми». Мы же назвали их «удовлетворяющими условию нерасщепляемости». Дело в том, что обычно под термином «устойчивость» понимается устойчивость по отношению к каким-либо возмущениям. На самом деле, между устойчивостью в этом смысле и понятием нерасщепляемости, конечно, существует некоторая связь, что, в частности, показывают приведенные выше примеры. Тем не менее, эти условия не эквивалентны.

Особенности интегрируемых систем, устойчивые по отношению к малым возмущениям системы, т.е. гамильтониана и интеграла, обсуждаются в приложении, написанном В.В.Калашниковым (мл.).

Опишем теперь простой и естественный способ конструирования многомерных особенностей слоения Лиувилля. Возьмем простейшие особенности, то есть двумерные атомы и четырехмерные особенности типа фокус-фокус, которые описаны и классифицированы в предыдущем разделе. Возьмем прямое произведение какого-то числа таких двумерных и четырехмерных особенностей, т. е. многообразий, расслоенных, соответственно, на окружности и на 2 -торы.

После этого следует домножить получившееся многообразие на «тривиальный сомножитель», являющийся прямым произведением вида $T^{i} \times D^{i}$, т.е. произведением тора на диск. Эти сомножители снабжены естественным слоением Лиувилля без особенностей.

На каждом сомножителе была какая-то симплектическая структура и структура элементарного слоения Лиувилля, задаваемого коммутирующими функциями. Ясно, что на всем прямом произведении естественно возникает некоторая симплектическая структура, получающаяся как прямая сумма симплектических структур сомножителей. При этом и функции естественным образом продолжаются с прямых сомножителей до полного набора коммутирующих функций на прямом произведении.

Таким образом, на описанном прямом произведении естественно возникает структура слоения Лиувилля: его слоями являются прямые произведения слоев элементарных слоений Лиувилля на сомножителях.

Многомерные особенности описанного типа мы будем называть «особенностями типа прямого произведения». Конечно, здесь мы рассматриваем эти особенности с точностью до лиувиллевой эквивалентности.

Эту конструкцию можно слегка обобщить, введя класс особенностей, которые естественно назвать «почти прямыми произведениями». Расширение класса происходит также очень естественным способом. Рассмотрим модельную особенность $U^{2 n}=V_{1} \times V_{2} \times \ldots \times V_{p}$ типа прямого произведения со стандартной симплектической структурой на нем, полученной прямым суммированием симплектических структур сомножителей. Здесь $V_{k}$ – описанные выше сомножители трех типов: $V_{k}$ является либо 2 -атомом (типа $A$ или седловым), либо четырехмерной окрестностью слоя типа фокус-фокус, либо тривиальным расслоением на торы $T^{i} \times D^{i}$.

Пусть теперь на этой особенности типа прямого произведения действует некоторая конечная группа $G$, причем действие удовлетворяет следующим условиям.

1) Действие свободное.
2) Действие покомпонентное, т. е. группа $G$ переводит в себя каждый из прямых сомножителей $V_{k}$. Это означает, что действие группы $G$ коммутирует с проекциями прямого произведения на каждый из прямых сомножителей. Другими словами, если $g$ – элемент группы $G$, а $\varphi$ – действие на $U^{2 n}=V_{1} \times V_{2} \times \ldots \times V_{p}$, то действие $\varphi$ имеет вид:
\[
\varphi(g)\left(x_{1}, \ldots, x_{p}\right)=\left(\varphi_{1}(g)\left(x_{1}\right), \ldots, \varphi_{p}(g)\left(x_{p}\right)\right),
\]

где $\varphi_{k}$ – действие группы $G$ на компоненте $V_{k}$.
3) На каждом прямом сомножителе действие $\varphi_{k}$ является симплектическим и послойным, т.е. сохраняет структуру слоения Лиувилля. Более того, будем предполагать, что действие $\varphi_{k}$ сохраняет и соответствующие функции (см. выше), определяющие слоение Лиувилля.
4) На каждом эллиптическом прямом сомножителе $V_{s}$, – т.е. попросту на 2 -атомах $A$, действие $\varphi_{s}$ группы $G$ является тривиальным.
Рассмотрим фактор-пространство $U^{2 n}=V_{1} \times V_{2} \times \ldots \times V_{p}$ по такому действию группы $G$. Этот фактор $U^{2 n} / G$ будет многообразием, поскольку действие группы $G$ – свободное. На фактор-многообразие $U^{2 n} / G$ также переносятся все описанные структуры. А именно, – симплектическая структура и структура слоения Лиувилля. В результате получается симплектическое $2 n$-мерное многообразие $U^{2 n} / G$, со слоением Лиувилля, определяемым набором из $n$ коммутирующих гладких независимых функций. Это слоение Лиувилля обладает особым слоем, на котором происходит бифуркация $n$-мерных торов Лиувилля. Итак, мы построили некоторую многомерную особенность.

Определение 9.8. Сконструированные модельные особенности вида $U^{2 n} / G$ мы будем называть особенностями типа «почти прямого произведения». Все особенности, лиувиллево эквивалентные этим модельным особенностям, мы также назовем особенностями типа «почти прямого произведения».

Теорема 9.12 (Т. З. Нгуен). Любая невырожденная многомерная особенность, удовлетворяющая условию нерасщепляемости, является особенностью типа почти прямого произведения.

В этом смысле типичные, т.е. нерасщепляемые, многомерные особенности полностью описываются при помощи 2 -атомов и 4 -мерных особенностей типа фокус-фокус.

Мы опускаем здесь доказательство этой теоремы в произвольном многомерном случае. Для четырехмерного случая она уже была доказана нами выше.

Замечание. Следует подчеркнуть, что теорема 9.12 носит существенно топологический, а не симплектический характер. Более точно, утверждается, что любая невырожденная нерасщепляемая особенность послойно гладко эквивалентна некоторой модельной особенности типа почти прямого произведения. Но это послойное отображение (диффеоморфизм) отнюдь не обязано быть симплектоморфизмом. То есть симплектическая форма на почти прямом, или на топологически прямом произведении может не быть прямой суммой симплектических структур прямых сомножителей.

В качестве примера приведем полученную В. В. Калашниковым (мл.) классификацию шестимерных особенностей типа седло-седло-седло сложности один, т.е. с одной критической невырожденной точкой ранга ноль на особом слое.

Теорема 9.13 (В. В. Калашников (мл.)). Іусть особый слой $L$ типа седлоседло-седло в шестимерном симплектическом многообразии содержит ровно одну особую невырожденную точку. Все такие различные особенности перечислены в таблице 9.4. Таким образом, всего насчитывается ровно 32 разных особенности. Комментарий. Стоит отметить, что все эти особенности «изготовлены» всего лишь из четырех различных 2 -атомов, а именно: $B, D_{1}, C_{2}, P_{4}$. Все эти 2 -атомы показаны на рис. 9.64 , рис. 9.65 , рис. 9.66, рис. 9.67. Никаких других, более сложных атомов здесь, как выяснилось, не появляется.

Классификация указанных особенностей дана в терминах почти прямых произведений 2-атомов. Во втором столбце таблицы указаны три сомножителя, образующих данную особенность. В последнем столбце таблицы 9.4 указана группа $G$, действующая на прямом произведении этих 2 -атомов. После факторизации по ней, получается сама особенность. Действие группы $G$ описано в третьем столбце таблицы. Во всех случаях (кроме случая 19) группа $G$ является прямым произведением нескольких экземпляров группы $\mathbb{Z}_{2}$, и поэтому имеет $k$ естественных образующих (где $k$ – число сомножителей). Для каждой из этих образующих в третьем столбце таблицы указано ее действие на прямом произведении трех 2 -атомов. Поскольку это действие является покомпонентным, то мы указываем соответствующие отображения (симметрии 2-атомов) на каждой компоненте. Список всех необходимых симметрий приведен на рис. 9.64-9.67.

Например, особенность номер 8 получается так. Нужно взять прямое произведение трех 2 -атомов $C_{2} \times D_{1} \times C_{2}$ и рассмотреть на нем действие группы $\mathbb{Z}_{2} \oplus \mathbb{Z}_{2} \oplus \mathbb{Z}_{2}$. Эта группа действует на произведении трех 2 -атомов покомпонентно следующим образом.
Первая образующая $e_{1}$ группы $\mathbb{Z}_{2} \oplus \mathbb{Z}_{2} \oplus \mathbb{Z}_{2}$ действует так:
\[
e_{1}\left(C_{2} \times D_{1} \times C_{2}\right)=\left(\alpha\left(C_{2}\right) \times \operatorname{id}\left(D_{1}\right) \times \beta\left(C_{2}\right)\right) .
\]

Вторая образующая $e_{2}$ группы $\mathbb{Z}_{2} \oplus \mathbb{Z}_{2} \oplus \mathbb{Z}_{2}$ действует так:
\[
e_{2}\left(C_{2} \times D_{1} \times C_{2}\right)=\left(\operatorname{id}\left(C_{2}\right) \times \alpha\left(D_{1}\right) \times \beta\left(C_{2}\right)\right) .
\]

Третья образующая $e_{3}$ группы $\mathbb{Z}_{2} \oplus \mathbb{Z}_{2} \oplus \mathbb{Z}_{2}$ действует так:
\[
e_{3}\left(C_{2} \times D_{1} \times C_{2}\right)=\left(\beta\left(C_{2}\right) \times \operatorname{id}\left(D_{1}\right) \times \alpha\left(C_{2}\right)\right) .
\]

Здесь $\alpha$ и $\beta$ – симметрии 2-атомов, показанные на рис. 9.65, рис. 9.66. На этих рисунках указаны образы ребер одномерных остовов 2-атомов. По этой информации сама симметрия (действующая на атоме в целом) легко восстанавливается.