Пусть $f$ — функция Морса на поверхности $X^2$. Пусть $g$ — другая функция Морса на другой поверхности $Y^2$. Возникает естественный вопрос: когда эти функции на поверхностях можно считать эквивалентными. Рассмотрим пару $(X^2,f)$ и пару $(Y^2,g)$.

Определение 2.3. Функции Морса $f$ и $g$ на поверхностях $X^2$ и $Y^2$ будем называть послойно эквивалентными, если существует диффеоморфизм
$$\lambda :X^2\to Y^2$$

переводящий связные компоненты линий уровня функции $f$ в связные компоненты линий уровня функции $g$. Иногда будем говорить, что пара $(X^2,f)$ послойно эквивалентна паре $(Y^2,g)$.

Замечание. При указанной послойной эквивалентности две связные компоненты какойто одной линии уровня функции $f$ могут отобразиться в связные компоненты, лежащие на разных линиях уровня функции $g$. То есть компоненты связности, бывшие изначально на одном уровне одной функции, могут расползаться на разные уровни другой функции.

Возникает интересная задача: дать классификацию функций Морса на поверхностях с точностью до послойной эквивалентности. Эту задачу мы решим ниже. Но сначала нужно изучить послойную эквивалентность функций Морса в окрестности их критических значений.

Неформальное определение. Атом — это топологический тип особенности функции Морса. Другими словами, атом — это топологический тип связной компоненты окрестности особого слоя функции Морса на поверхности.

Каждая функция Морса определяет слоение с особенностями на поверхности. Его слоями, по определению, считаются компоненты связности уровня функции. В окрестности каждого регулярного слоя это слоение тривиально — прямое произведение окружности на отрезок. В окрестности критического слоя слоение может быть устроено довольно сложно.

Определение 2.4. Атомом назовем окрестность $P^2$ критического слоя, задаваемую неравенством $c-\epsilon ⩽f⩽c+\epsilon$ для достаточно малого $\epsilon$, расслоенную на линии уровня функции $f$ и рассматриваемую с точностью до послойной эквивалентности. Другими словами, атом — это росток слоения на особом слое. Если критическое значение $c$ — локальный минимум или локальный максимум, то атом будет называться атомом $A$. Если критическое значение $c$ — седловое, то соответствующий атом будем называть седловым. Атом будет называть простым, если функция Mорса $f$ в паре $(P^2,f)$ — простая. Остальные атомы будут называться сложными. Атом будет называться ориентируемым (ориентированным) или неориентируемым в зависимости от того, является ли поверхность $P^2$ ориентируемой (ориентированной) или неориентируемой.

Замечание. Здесь мы не интересуемся ориентацией поверхности и направлением роста функции $f$.

Замечание. Обратим здесь внимание читателя, знакомого с предыдущими публикациями на эту тему, что в некоторых из них понятие ориентируемости и неориентируемости атома имело несколько иной смысл и указывало на ориентируемость или неориентируемость сепаратрисных диаграмм гамильтонова поля для критических седловых окружностей.

Для дальнейшего полезно ввести важное понятие $f$-атома, или оснащенного атома, учитывающее направление роста функции $f$.

Пусть $c$ — критическое значение функции $f$ на $X^2$ и $c^{\prime }$ — критическое значение функции $g$ на $Y^2$. Рассмотрим их особые слои:
$$f^{-1}(c)\text{ и }{g}^{-1}\left(c^{\prime }\right)$$

и предположим, что эти слои — связны.

Определение 2.5. Функции Морса $f$ и $g$ называются послойно оснащенно эквивалентными в окрестности своих особых слоев $f^{-1}(c)$ и $g^{-1}\left(c^{\prime }\right)$, если существуют

два положительных числа $\epsilon$ и ${\epsilon }^{\prime }$ и диффеоморфизм
$$\lambda :f^{-1}(c-\epsilon ,c+\epsilon )\to g^{-1}(c^{\prime }-{\epsilon }^{\prime },c^{\prime }+{\epsilon }^{\prime }),$$

переводящий линии уровня функции $f$ в линии уровня функции $g$ и сохраняющий направление роста функций, т. е. $\lambda$ отображает область $(f>c)$ в область $(g>c^{\prime })$.

Обозначим поверхность с краем $f^{-1}(c-\epsilon ,c+\epsilon )$ через $P_c^2$. Индекс $c$ будем часто опускать.
Определение 2.6. Рассмотрим пару $(P^2,f)$, где $P^2$ — связная компактная поверхность с непустым краем $\partial P^2$, а $f$ — функция Морса на ней, имеющая ровно одно критическое значение $c$, причем $f^{-1}(c-\epsilon )\cup f^{-1}(c+\epsilon )=\partial P^2$.
Класс оснащенной послойной эквивалентности этой пары ( $P^2,f)$ будет называться $f$-атомом, или оснащенным атомом.

Важное замечание. Каждому атому соответствуют два $f$-атома. Они получаются друг из друга заменой знака функции на атоме. Иногда эти два атома могут оказаться совпадающими, эквивалентными.