Пусть $f$ – функция Морса на поверхности $X^{2}$. Пусть $g$ – другая функция Морса на другой поверхности $Y^{2}$. Возникает естественный вопрос: когда эти функции на поверхностях можно считать эквивалентными. Рассмотрим пару $\left(X^{2}, f\right)$ и пару $\left(Y^{2}, g\right)$.
Определение 2.3. Функции Морса $f$ и $g$ на поверхностях $X^{2}$ и $Y^{2}$ будем называть послойно эквивалентными, если существует диффеоморфизм
\[
\lambda: X^{2} \rightarrow Y^{2}
\]
переводящий связные компоненты линий уровня функции $f$ в связные компоненты линий уровня функции $g$. Иногда будем говорить, что пара $\left(X^{2}, f\right)$ послойно эквивалентна паре $\left(Y^{2}, g\right)$.
Замечание. При указанной послойной эквивалентности две связные компоненты какойто одной линии уровня функции $f$ могут отобразиться в связные компоненты, лежащие на разных линиях уровня функции $g$. То есть компоненты связности, бывшие изначально на одном уровне одной функции, могут расползаться на разные уровни другой функции.
Возникает интересная задача: дать классификацию функций Морса на поверхностях с точностью до послойной эквивалентности. Эту задачу мы решим ниже. Но сначала нужно изучить послойную эквивалентность функций Морса в окрестности их критических значений.
Неформальное определение. Атом – это топологический тип особенности функции Морса. Другими словами, атом – это топологический тип связной компоненты окрестности особого слоя функции Морса на поверхности.
Каждая функция Морса определяет слоение с особенностями на поверхности. Его слоями, по определению, считаются компоненты связности уровня функции. В окрестности каждого регулярного слоя это слоение тривиально – прямое произведение окружности на отрезок. В окрестности критического слоя слоение может быть устроено довольно сложно.
Определение 2.4. Атомом назовем окрестность $P^{2}$ критического слоя, задаваемую неравенством $c-\varepsilon \leqslant f \leqslant c+\varepsilon$ для достаточно малого $\varepsilon$, расслоенную на линии уровня функции $f$ и рассматриваемую с точностью до послойной эквивалентности. Другими словами, атом – это росток слоения на особом слое. Если критическое значение $c$ – локальный минимум или локальный максимум, то атом будет называться атомом $A$. Если критическое значение $c$ – седловое, то соответствующий атом будем называть седловым. Атом будет называть простым, если функция Mорса $f$ в паре $\left(P^{2}, f\right)$ – простая. Остальные атомы будут называться сложными. Атом будет называться ориентируемым (ориентированным) или неориентируемым в зависимости от того, является ли поверхность $P^{2}$ ориентируемой (ориентированной) или неориентируемой.
Замечание. Здесь мы не интересуемся ориентацией поверхности и направлением роста функции $f$.
Замечание. Обратим здесь внимание читателя, знакомого с предыдущими публикациями на эту тему, что в некоторых из них понятие ориентируемости и неориентируемости атома имело несколько иной смысл и указывало на ориентируемость или неориентируемость сепаратрисных диаграмм гамильтонова поля для критических седловых окружностей.
Для дальнейшего полезно ввести важное понятие $f$-атома, или оснащенного атома, учитывающее направление роста функции $f$.
Пусть $c$ – критическое значение функции $f$ на $X^{2}$ и $c^{\prime}$ – критическое значение функции $g$ на $Y^{2}$. Рассмотрим их особые слои:
\[
f^{-1}(c) \quad \text { и } \quad g^{-1}\left(c^{\prime}\right)
\]
и предположим, что эти слои – связны.
Определение 2.5. Функции Морса $f$ и $g$ называются послойно оснащенно эквивалентными в окрестности своих особых слоев $f^{-1}(c)$ и $g^{-1}\left(c^{\prime}\right)$, если существуют
два положительных числа $\varepsilon$ и $\varepsilon^{\prime}$ и диффеоморфизм
\[
\lambda: f^{-1}(c-\varepsilon, c+\varepsilon) \rightarrow g^{-1}\left(c^{\prime}-\varepsilon^{\prime}, c^{\prime}+\varepsilon^{\prime}\right),
\]
переводящий линии уровня функции $f$ в линии уровня функции $g$ и сохраняющий направление роста функций, т. е. $\lambda$ отображает область $(f>c)$ в область $\left(g>c^{\prime}\right)$.
Обозначим поверхность с краем $f^{-1}(c-\varepsilon, c+\varepsilon)$ через $P_{c}^{2}$. Индекс $c$ будем часто опускать.
Определение 2.6. Рассмотрим пару $\left(P^{2}, f\right)$, где $P^{2}$ – связная компактная поверхность с непустым краем $\partial P^{2}$, а $f$ – функция Морса на ней, имеющая ровно одно критическое значение $c$, причем $f^{-1}(c-\varepsilon) \cup f^{-1}(c+\varepsilon)=\partial P^{2}$.
Класс оснащенной послойной эквивалентности этой пары ( $\left.P^{2}, f\right)$ будет называться $f$-атомом, или оснащенным атомом.
Важное замечание. Каждому атому соответствуют два $f$-атома. Они получаются друг из друга заменой знака функции на атоме. Иногда эти два атома могут оказаться совпадающими, эквивалентными.
