Пусть, как и выше, $v$ – интегрируемая гамильтонова система на изоэнергетической поверхности $Q$, и $f: Q \rightarrow \mathbb{R}$ – ее боттовский интеграл. Обозначим через $m$ общее число всех критических окружностей интеграла $f$. Удалим из $Q$ все особые слои $L_{i}$. В результате $Q$ распадется в объединение однопараметрических семейств торов Лиувилля. Пусть $n$ – число таких семейств.
Определение 3.10. Пару чисел $(m, n$ ) назовем сложностью интегрируемой системы $v$ на $Q$.

Эту же сложность можно вычислить, исходя из понятия молекулы $W$, отвечающей $(v, Q)$. Ясно, что $m$ – это молекулярный вес, т. е. сумма всех атомных весов всех атомов, входящих в молекулу. Число $n$ – это попросту количество ребер молекулы $W$.

Ясно, что сложность $(m, n)$ является инвариантом грубой лиувиллевой эквивалентности.
Теорема 3.6. Число различных молекул фиксированной сложности конечно.
Доказательство сразу следует из того, что число атомов фиксированного атомного веса конечно. Поэтому, если сложность молекул фиксирована, то имеется лишь конечное число атомов, из которых их можно склеить. А для конечного числа атомов есть лишь конечное число вариантов склеек. Теорема доказана.
Рис. 3.27
Теорема 3.6 позволяет «выписать полный список» всех возможных молекул, т.е. алгоритмически перечислить все молекулы по мере возрастания их сложности. Для этого достаточно взять

список всех атомов (алгоритмически построенный нами выше) и начать соединять их концы всеми возможными способами, чтобы не осталось свободных концов. Конечно, здесь мы опираемся на еще не доказанную теорему реализации, утверждающую, что любая абстрактно заданная молекула, составленная из произвольной комбинации атомов, действительно допустима, т.е. реализуется как молекула некоторой интегрируемой системы на подходящем изоэнергетическом многообразии $Q$ в подходящем 4 -многообразии $M^{4}$. Эту теорему мы докажем позже, а здесь лишь сошлемся на нее. Пока же, не касаясь вопроса о реализуемости молекул, можно рассматривать их лишь как абстрактные объекты, составленные из атомов. С этой точки зрения их можно перечислять, сравнивать друг с другом и т. п.

Обозначим через $\lambda(m, n)$ число всех абстрактных молекул данной сложности $(m, n)$. В силу теоремы 3.6 это число всегда конечно. В таблице 3.3 приведены значения функции $\lambda(m, n)$ для $m \leqslant 4$. Этот результат был получен С.В.Матвеевым в результате компьютерного анализа. Из этой экспериментальной таблицы видно, что при $m \leqslant 4$ функция $\lambda(m, n)$ обращается в ноль при достаточно больших $n$. Оказывается, это отражает следующий общий факт.
Теорема 3.7. Пусть $\Lambda(m)=\{\max n: \lambda(m, n)
eq 0\}$. Тогда
\[
\Lambda(m)=\left[\frac{3 m}{2}\right] .
\]

Доказательство.
Пусть молекула сложности $(m, n)$ состоит из $k$ атомов $\left(P_{i}, K_{i}\right.$ ) с атомными весами $m_{i}$ и валентностями $n_{i}$. Напомним, что валентность атома – это число его концов, т. е. граничных окружностей 2-поверхности $P_{i}$. Обозначим через $w_{i}$ и $v_{i}$ количество вершин графа $K_{i}$ степени 4 и 2 соответственно. Поясним, что вершины степени 2 – это вершины-звездочки атома. Пусть $\chi_{i}$ – эйлерова характеристика замкнутой ориентируемой поверхности $\widetilde{P}_{i}$, получающейся из исходной поверхности $P_{i}$ заклейкой всех ее граничных окружностей двумерными дисками. Легко видеть, что
\[
n_{i}=\chi_{i}+w_{i}
\]

Суммируя эти равенства по $i$, и учитывая, что $\chi_{i} \leqslant 2, m_{i}=v_{i}+w_{i}$,
\[
\sum_{i=1}^{k} m_{i}=m, \quad m_{i} \geqslant 1
\]

получаем, что
\[
n=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{k} n_{i} \leqslant \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{k}\left(2+m_{i}\right)=k+\frac{m}{2} \leqslant \frac{3 m}{2} .
\]

Таким образом, $\Lambda(m) \leqslant\left[\frac{3 m}{2}\right]$.
Существование молекулы $W$ сложности ( $m,\left[\frac{3 m}{2}\right]$ ) для четных $m$ доказывается ее явным построением на рис. 3.27 , а для нечетных $m$ нужно вставить в любое ребро этой молекулы атом $A^{*}$. Теорема доказана.

В таблице 3.4 приведены все молекулы малой сложности. Из нее видно, что концы атомов действительно различаются по своим свойствам. Разные соединения концов одних и тех же атомов могут приводить к разным молекулам.