Замечательным является тот факт, что действие $G \mathbb{P}$ на множестве сечений индуцирует естественное действие на множестве $\{\mathbb{T}\}$ допустимых избыточных $t$-оснащений. Пусть нам дана система $v$ и набор сечений $\mathbb{P}=\left\{P_{t r}\right\}$. Тогда корректно определено соответствующее этому набору избыточное $t$-оснащение $\mathbb{T}$. Подействуем на $\mathbb{P}$ некоторым элементом группы замен $G \mathbb{P}$. Получим некоторый новый набор сечений $\mathbb{P}^{\prime}$, которому соответствует новое избыточное оснащение $\mathbb{T}^{\prime}$. По определению мы будем считать, что $\mathbb{T}^{\prime}$ явлнется результатом действия элемента $\mathbb{M}$ на избыточное $t$-оснащение $\mathbb{T}$.

Подчеркнем, что нетривиальность этой конструкции заключается в корректности такого определения: $\mathbb{T}^{\prime}$ зависит только от $\mathbb{T}$ и $\mathbb{M}$, и не зависит от специфики системы $v$ и набора сечений $\mathbb{P}$.

Эту теорему мы сейчас докажем, опираясь на уже развитую нами теорию. Мы убедимся в этом с помощью явных формул, описывающих это действие.

Кроме различающей 1 -коцепи $m_{c}$ мы будем рассматривать различающую 2 -коцепь $k_{c}=\delta m_{c}$, которая строится следующим образом. Отметим, что $m_{c}$ является коциклом для поверхности $P_{c}$. Однако с точки зрения замкнутой по-

верхности $\widetilde{P}_{c}$, которая получается из $P_{c}$ заклейкой всех граничных окружностей дисками, коцепь $m_{c}$ будет иметь, вообще говоря, нетривиальную кограницу $\delta m_{c}$, которую мы и обозначаем через $k_{c}$.

Коцепь $k_{c}$ сопоставляет каждому граничному тору 3 -атома $Q_{c}$ некоторое целое число $k_{n}$, которое на самом деле нам много раз встречалось в формулах замены допустимых систем координат на граничных торах атома (см. главу 4). Напомним эти формулы:
\[
\begin{array}{l}
\lambda_{n}=\lambda_{n}^{\prime}, \\
\mu_{n}=\mu_{n}^{\prime}+k_{n} \lambda_{n}^{\prime} .
\end{array}
\]

Отметим, что в терминах сечений $\mathbb{P}$ и $\mathbb{P}^{\prime}$ различающая 2 -коцепь $k_{c}$ имеет очень естественный смысл. В случае атомов без звездочек она показывает, как различаются границы сечений $P_{t r}$ и $P_{t r}^{\prime}$. Отметим, что различающая 1 -коцепь $m_{c}$ описывает различие между самими сечениями, т. е. содержит более точную информацию. Через $\mathbb{K}$ мы будем обозначать набор $\left\{k_{c}\right\}$. В случае атомов со звездочками интерпретация 2 -коцепи $k_{c}$ в общем-то остается той же. Но поскольку тут речь должна идти о дублях, то границы сечений $P_{t r}=j\left(\widehat{P}_{c}\right)$ и $P_{t r}^{\prime}=j^{\prime}\left(\widehat{P}_{c}\right)$ «различаются»на $2 k_{c}$.

Приведенные выше рассуждения касались седловых атомов. В случае атома типа $A$ мы в качестве аналога 2 -коцепи $k_{c}$ будем рассматривать одно целое число $k$, сопоставленное единственному граничному тору. В качестве такого числа мы берем при этом само число $m$, определенное выше из соотношения $\mu^{\prime}=\mu+m \lambda$. Другими словами, в этом случае одно и то же число $m$ выступает в качестве аналога различающей 1 -коцепи $m_{c}$ и различающей 2 -коцепи $k_{c}=\delta m_{c}$.

Итак, на каждом граничном торе каждого атома $Q_{c}$ появилось целое число $k_{n}$. Можно считать, следовательно, что эти числа стонт на начале и на конце каждого ребра $e_{j}$ молекулы $W$. Поэтому нумерацию этих чисел мы будем производить двумя способами:
1) $k_{j}^{+}$и $k_{j}^{-}$, где $j$ нумерует ребра молекулы $W$, при этом знак «-» соответствует началу, а знак «+» – концу ребра $e_{j}$;
2) $k_{n}$, где $n$ нумерует граничные торы атома $Q_{c}$, и речь идет о коэффициентах соответствующей 2 -коцепи $k_{c}$.
Аналогичным соглашением мы будем пользоваться для нумерации векторов вращения $R^{-}, R^{+}$и допустимых систем координат $(\lambda, \mu)$ на торах Лиувилля. При таком подходе многие формулы должны упроститься.
Предложение 8.2. Пусть $\mathbb{P}$ – произвольный набор трансверсальных сечений для некоторой интегрируемой системы $v$ на изоэнергетической поверхности $Q^{3}$. Пусть $\mathbb{M}$ – произвольный элемент из группы замен $G \mathbb{P}$ и $\mathbb{K}=\delta \mathbb{M}$. Другими словами, $\mathbb{M}$ и $\mathbb{K}$ – наборы различающих 1- и 2-коцепей соответственно. Пусть $\mathbb{P}^{\prime}-$ набор сечений, полученный из $\mathbb{P}$ заменой $\mathbb{M}, \mathbb{T} u \mathbb{T}^{\prime}$ – избыточные $t$-оснащения, отвечающие наборам $\mathbb{P}$ и $\mathbb{P}^{\prime}$. Тогда элементы этих $t$-оснащений связаны друг $c$ другом следующим образом:
1) $C_{j}^{\prime}=\left(\begin{array}{cc}\alpha_{j}^{\prime} & \beta_{j}^{\prime} \\ \gamma_{j}^{\prime} & \delta_{j}^{\prime}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}1 & 0 \\ -k_{j}^{+} & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\alpha_{j} & \beta_{j} \\ \gamma_{j} & \delta_{j}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ k_{j}^{-} & 1\end{array}\right)=\left(A_{j}^{+}\right)^{-1} C_{j} A_{j}^{-}$, где $A_{j}^{\mp}=\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ k_{j}^{\mp} & 1\end{array}\right)$,
2) $\left(R_{j}^{-}\right)^{\prime}=R_{j}^{-}+k_{j}^{-},\left(R_{j}^{+}\right)^{\prime}=R_{j}^{+}+k_{j}^{+}$,
3) $\Lambda_{c}^{\prime}=\Lambda_{c}$,
4) $\Delta_{c}^{\prime}=\Delta_{c}+\phi_{1}^{\prime}\left(k_{c}\right)$ или, что то же самое, $\Delta_{c}^{\prime}=\Delta_{c}+\phi_{1}\left(m_{c}\right)$,
5) $Z_{c}^{\prime}=Z_{c}+\phi_{2}\left(m_{c}\right)$.

Доказательство.
Формула 1 доказана в главе 4. Формула 2 следует из предложения 1.14. Формулы 3, 4,5 следуют из свойств операции вклейки-вырезания, описанной в параграфе 2 главы 6 , и предложения 8.1, которое интерпретирует действие элемента $m_{c}$ на трансверсальное сечение как вклейку-вырезание. Предложение доказано.

Следствие. Действие группы замен на множестве избыточных $t$-оснащений корректно определено. В частности, это действие не зависит от выбора конкретной гамильтоновой системы и набора трансверсальных сечений, реализующих данное $t$-оснащение.