Излагаемая ниже полезная переформулировка понятия атома принадлежит А. А. Ошемкову. См. [155].

Начнем с определения абстрактного графа $\Gamma$, а потом объясним – каю он связан с атомом.

Определение 2.14. Конечный связный граф Г назовем $f$-графом, если он удовлетворяет следующим условиям:

1) Все вершины графа $\Gamma$ имеют степень 3.
2) Некоторые из ребер графа $\Gamma$ ориентированы, причем к каждой вершине графа $Г$ примыкает ровно два ориентированных ребра, из которых одно входит в вершину, а другое выходит из нее. Причем эта вершина может быть началом и концом одного и того же ориентированного ребра, если ориентированное ребро является петлей.
3) Каждому неориентированному ребру графа $\Gamma$ приписано число $\pm 1$.

Замечание. Отметим, что $f$-граф $\Gamma$ не предполагается вложенным в какую-либо поверхность. Это дискретный объект, который можно полностью задать, например, в виде списка ориентированных ребер $(i, j)$ и неориентированных ребер $(k, l, \varepsilon)$, где $i, j, k, l$ – номера вершин графа $\Gamma$, а $\varepsilon= \pm 1$ – метка, приписанная неориентированному ребру.

Из условия 2 в определении $f$-графа следует, что его ориентированные ребра образуют непересекающиеся ориентированные циклы. Кроме того, к каждой вершине такого цикла примыкает ровно одно неориентированное ребро.

Рис. 2.31

Введенный выше $f$-граф можно описать еще и так.
Рассмотрим набор непересекающихся ориентированных окружностей. Выделим на них произвольным образом четное число точек, разобьем это множество
на пары произвольным образом, и соединим получившиеся пары точек неориентированными отрезками (рис. 2.31). Это и есть $f$-граф.

Определение 2.15. Назовем два $f$-графа эквивалентными, если один из другого можно получить последовательностью следующих операций. Разрешается заменять ориентации всех ребер какого-то цикла и одновременно изменять метки на всех неориентированных ребрах, инцидентных этому циклу, на противоположные. Если оба конца неориентированного ребра принадлежат данному циклу, то метка на этом ребре не меняется. Классы эквивалентности $f$-графов назовем $f$-инвариантами.

Оказывается, существует взаимно-однозначное соответствие между $f$-инвариантами и $f$-атомами, введенными выше.
Опишем это соответствие в явном виде.
Пусть дан $f$-атом. Рассмотрим соответствующую ему функцию Mорса $g$. Рассмотрим сепаратрисы этой функции, идущие с границы отрицательных колец в критические точки функции $g$, т.е. входящие в вершины графа $K$ (рис. 2.32). Каждая пара входящих в вершину сепаратрис образует неориентируемое ребро $f$-графа $\Gamma$. Вершинами графа $\Gamma$ будут концы сепаратрис, лежащие на границах отрицательных колец, т.е. на отрицательных концах $f$-атома. Фиксировав произвольным образом ориентацию на каждой граничной окружности отрицательных колец $f$-атома, мы получим ориентированные ребра $f$-графа $Г$. Пояснение: эти ориентированные ребра являются попросту дугами ориентированных граничных окружностей, заключенными между концами сепаратрис.
Рис. 2.32
Для завершения построения $f$-графа осталось лишь расставить метки на неориентированных ребрах. Это делается по следующему правилу. Рассмотрим малую окрестность неориентированного ребра в поверхности $P^{2}$. Это – прямоугольник, две противоположные стороны которого лежат на граничных окружностях отрицательных колец, и потому – ориентированы. Если эти стороны прямоугольника индуцируют одну и ту же ориентацию границы прямоугольника, то ставим метку $\varepsilon=+1$. Если же ориентации противоположны, то ставим метку $\varepsilon=-1$.

Поясним, что в действительности прямоугольник, описанный выше, является ручкой, приклеивающейся к отрицательным окружностям атома при переходе через критическое значение функции $f$.

Поясним рис. 2.32. На рис. 2.32(а) изображен исходный $f$-атом, т.е. – поверхность $P^{2}$ с вложенным в нее графом $K$. Положительные кольца $f$-атома заштрихованы.

На рис. 2.32(b) выделены границы отрицательных колец с выбранной на них ориентацией. Указаны сепаратрисы, входящие в критические точки.

На рис. 2.32(c) изображены границы отрицательных колец (= ориентированные ребра $f$-графа), сепаратрисы (= неориентированные ребра $f$-графа), и окрестности сепаратрис, позволяющие определить метки на неориентированных ребрах.

На рис. 2.32(d) изображен результат построения – получившийся $f$-граф. Он является представителем $f$-инварианта.

Итак, мы построили по данному $f$-атому некоторый $f$-граф. В процессе построения мы произвольным образом фиксировали ориентации на граничных окружностях отрицательных колец. Однако легко понять, что при выборе другой ориентации мы получим эквивалентный $f$-граф. Таким образом, корректно определено отображение $\beta$ множества $f$-атомов в множество $f$-инвариантов.

Теорема 2.7. Отображение $\beta$ устанавливает естественное взаимно-однозначное соответствие между множеством всех $f$-атомов и множеством всех $f$-инвариантов.

Доказательство.
Для доказательство взаимной однозначности отображения $\beta$ построим в явном виде отображение $\beta^{-1}$ множества $f$-инвариантов в множество $f$-атомов. Рассмотрим сначала $f$-атом. Если удалить из поверхности $f$-атома все входящие и выходящие сепаратрисы соответствующей атому простой функции Морса, то эта поверхность распадется на 6-угольники следующего вида: две противоположные стороны этого 6-угольника являются отрезками граничных окружностей колец, одного положительного и одного отрицательного. Параллельная им диагональ – это ребро графа $\Gamma$ исходного $f$-атома. Каждая из оставшихся двух пар сторон 6-угольника составлена из двух сепаратрис – входящей и выходящей. См. рис. 2.33.

Оказывается, что $f$-граф содержит полную информацию о том, как нужно склеить полученные 6 -угольники, чтобы получить исходный $f$-атом. Построение $f$-атома по правилу склейки, задаваемому $f$-графом, и будет искомым отображением $\beta^{-1}$. Пример такой процедуры приведен на рис. 2.34. Слева изображен $f$-граф с занумерованными ребрами, справа – процесс склейки соответствующего $f$-атома. Дадим формальное описание этой конструкции.

Пусть дан $f$-граф. Занумеруем его ориентированные ребра числами от 1 до $n$. Возьмем $n$ штук 6 -угольников указанного выше вида. Зададим ориентацию на границе каждого 6-угольника и обозначим ориентированные отрезки, составляющие его границу, через $a_{i}^{ \pm}, p_{i}^{ \pm}, q_{i}^{ \pm}$, где $i$ – номер ориентированного ребра $f$-графа (см. рис. 2.33(b)). Процесс склейки $f$-атома происходит в два этапа. Сначала мы для каждой вершины $f$-графа склеиваем отрезок $p_{i}^{-}$с отрез-

Рис. 2.34

ком $q_{j}^{-}$, если $i$-е ребро входит в эту вершину, а $j$-е ребро выходит из нее, причем направление отрезков $p_{i}^{-}$и $q_{j}^{-}$при склейке противоположны. После этой операции мы получим набор колец, у которых одна граница составлена из отрезков вида $a_{i}^{-}$, а другая имеет вид
\[
\ldots a_{i}^{+} q_{i}^{+} p_{j}^{+} a_{j}^{+} q_{j}^{+} p_{k}^{+} a_{k}^{+} \ldots,
\]

причем граничные отрезки согласованно ориентированы. На втором шаге мы склеиваем эти кольца по отрезкам $q_{i}^{+} p_{j}^{+}$. Правило склейки следующее.

1) Отрезок $q_{i}^{+} p_{j}^{+}$склеивается с отрезком $q_{k}^{+} p_{m}^{+}$, если существует неориентированное ребро $f$-графа, соединяющее вершину, являющуюся концом $j$-го ребра и началом $i$-го ребра, с вершиной, являющейся концом $m$-го ребра и началом $k$-го ребра.

2) Если метка на этом неориентированном ребре равна +1 , то направления склеиваемых отрезков $q_{i}^{+} p_{j}^{+}$и $q_{k}^{+} p_{m}^{+}$противоположны. Если же метка на этом ребре равна -1 , то направления склеиваемых отрезков $q_{i}^{+} p_{j}^{+}$и $q_{k}^{+} p_{m}^{+}$ согласованы.

Мы описали алгоритм построения по данному $f$-графу некоторого $f$-атома. Легко проверить, что взяв эквивалентные $f$-графы, мы получим эквивалентные $f$-атомы. Таким образом, построено отображение множества $f$-инвариантов в множество $f$-атомов. Из построения видно, что это отображение действительно обратно к отображению $\beta$. Теорема доказана.

Итак, $f$-атомы кодируются графами определенного вида, алгоритмическое перечисление которых не представляет труда. Тем самым, в теории атомов можно заменить пару $(P, K)=$ (поверхность, граф) одним графом специального вида.

Важное замечание. Подчеркнем, что множество всех $f$-графов, и соответствующих им $f$-инвариантов, легко и алгоритмически описывается. Это – все те графы, которые удовлетворяют условиям 1-3, указанным выше в определении 2.14, причем метки $\varepsilon$ на различных неориентированных ребрах принимают значения $\pm 1$ независимо друг от друга. Другими словами, любой $f$-граф реализуется как $f$-инвариант для некоторой функции Морса.