В этом пункте мы докажем техническое утверждение, позволяющее реализовать на ребре молекулы систему с произвольной гладкой функцией вращения $\rho (f)$.

Пусть дано четырехмерное многообразие $M^4=T^2\times (a,b)\times (-1,1)$, в котором выделены следующие два открытых подмножества (см. рис. 8.6):
$$M_1=T^2\times (a,a+\epsilon )\times (-1,1)\text{ и }{M}_2=T^2\times (b-\epsilon ,b)\times (-1,1).$$

Будем считать, что на $M^4$ заданы две функции $H$ и $f$, причем $H$ — параметр на интервале $(-1,1)$, а $f$ — параметр на интервале $(a,b)$. На двух множествах $M_1$ и $M_2$ у нас заданы симплектические структуры ${\omega }_1$ и ${\omega }_2$ такие, что естественные слоения на 2 -торы являются лагранжевыми. Это означает, что заданные на $M_i$ две функции $H$ и $f$ коммутируют Рис. 8.6 относительно заданных структур ${\omega }_i$.

Рассмотрим на каждом торе $T^2$ из нашего двухпараметрического семейства некоторый базис ( $\lambda ,\mu$ ) (один и тот же для всех торов).

Пусть теперь задана некоторая гладкая функция $\rho (f)$ на интервале $(a,b)$. Будем считать, что при $a<f<a+\epsilon$ и при $b-\epsilon <f<b$ эта функция $\rho$ является функцией вращения интегрируемой системы $v=\mathrm{sgrad}H$ на трехмерном уровне $\{H=0\}$. Параметром внутри однопараметрического семейства торов на $\{H=0\}$ будет функция $f$. Ниже мы хотим реализовать эту функцию как функцию вращения некоторой гамильтоновой системы с гамильтонианом $H$ на уровне $\{H=0\}$, поэтому мы должны наложить на нее еще одно естественное ограничение, связанное с тем, что она определяет направление векторного поля $v$ с точностью до знака.

Однако, если мы знаем начальное направление векторного поля и функцию вращения, мы можем однозначно определить его конечное положение, непрерывно поворачивая поле, согласно поведению функции вращения. Мы будем поэтому

предполагать, что при формальном переносе вектора $v$ с уровня $\{f=a\}$ на уровень $\{f=b\}$ согласно правилу, определяемому функцией $\rho (f)$, мы приходим снова к полю $v=\mathrm{sgrad}H$, которое уже определено на этом уровне, а не к полю $-v$.

Далее, зададим одну и ту же ориентацию на всех 2-торах тривиального расслоения $M^4$, и будем предполагать, что пара $(\mathrm{sgrad}H,\mathrm{sgrad}f)$ как базис в касательном пространстве к тору одинаково ориентирована на верхнем и на нижнем семействе торов, т.е. внутри $M_1$ и $M_2$.
Лемма 8.6. В сформулированных выше предположениях существует симплектическая структура $\mathrm{\Omega }$ на всем многообразии $M^4$, продолжающая две исходные структуры ${\omega }_1$ и ${\omega }_2$, заданные на «граничном воротнике» $M_1\cup M_2$. При этом она удовлетворяет следующим условиям:
1) Исходное тривиальное расслоение $M^4$ на двумерные торы является лагранжевым, т.е. функции $H$ и $f$ коммутируют на $M^4$.
2) Функция вращения интегрируемой гамильтоновой системы $v=\mathrm{sgrad}H$ на однопараметрическом семействе 2-торов Лиувилля $\{H=0\}$ совпадает с заданной заранее функцией $\rho (f)$.

Доказательство.
Определим внутри $M_1$ и $M_2$ переменные действие-угол, отвечающие заданным симплектическим структурам ${\omega }_1$ и ${\omega }_2$ и фиксированной паре циклов $(\lambda ,\mu )$.

Продолжим переменные угол ${\phi }_1$ и ${\phi }_2$ с граничного воротника внутрь всего $M^4$ произвольным гладким способом. Это очевидно можно сделать, поскольку база тривиального расслоения у нас стягиваема. В результате получим две гладкие глобальные функции ${\phi }_1$ и ${\phi }_2$, заданные уже на всем $M^4$. Теперь мы хотим продолжить внутрь всего $M^4$ переменные действия $s_1$ и $s_2$. При этом нам придется следить за поведением функции вращения.

Предположим на мгновение, что мы уже продолжили симплектическую 2 -форму и переменные действия $s_1$ и $s_2$ внутрь $M^4$. Тогда функция вращения на уровне $H=0$ может быть вычислена по формуле
$$\rho =\frac{\partial H/\partial s_1}{\partial H/\partial s_2}$$

Или, что то же самое:
$$\rho =-\frac{\partial s_2/\partial f}{\partial s_1/\partial f}.$$

Функция $\rho$ нам дана, и нам нужно найти функции $s_1(H,f)$ и $s_2(H,f)$, удовлетворяющие этому соотношению, учитывая кроме того, что отображение $(H,f)\to (s_1(H,f),s_2(H,f))$ должно быть погружением.

Возьмем две гладкие функции $a(f)$ и $b(f)$, не обращающиеся одновременно в нуль, такие, что $\rho (f)=\frac{a(f)}{b(f)}$. Пусть, кроме того, $\frac{\partial s_1}{\partial f}=-b(f)$ и $\frac{\partial s_2}{\partial f}=a(f)$ при $H=0$ на «граничном воротнике» $M_1\cup M_2$.

Мы приходим к следующей задаче: нужно найти на плоскости ( $s_1,s_2$ ) гладкую кривую $\gamma =\gamma (f)=(s_1(f),s_2(f))$ такую, чтобы она удовлетворяла следующему дифференциальному уравнению:
$$\frac{d\gamma }{df}=(-b(f),a(f)).$$

Это уравнение имеет решение, определенное однозначно с точностью параллельного переноса на плоскости. Возьмем какое-нибудь решение $\gamma =\gamma (f)$. На каждом из двумерных прямоугольников $m_1$ и $m_2$ на рис. 8.6 , изображающих два граничных воротника $M_1$ и $M_2$, у нас заданы обе пары функций: $(H,f)$ и $(s_1,s_2)$. Поэтому на каждом прямоугольнике мы можем выразить $s_1$ и $s_2$ через функции $H$ и $f$. Напомним, что $H$ и $f$ — это декартовы координаты на двумерных прямоугольниках $m_1$ и $m_2$. В результате мы получаем гладкое регулярное погружение каждого прямоугольника $m_1$ и $m_2$ в плоскость $\mathbb{R}(s_1,s_2)$. Образом являются два криволинейных погруженных прямоугольника ${\tilde{m}}_1$ и ${\tilde{m}}_2$ (рис. 8.7).

Напомним, что переменные действия $s_1$ и $s_2$ определены как функции от $H$ и $f$ не однозначно, а с точностью до некоторых аддитивных постоянных. Это означает, что описанные погружения также определены не однозначно, а именно, с точностью до произвольного сдвига на плоскости ${\mathbb{R}}^2(s_1,s_2)$. В результате мы получаем на плоскости ( $s_1,s_2$ ) три объекта: кривую $\gamma$ и два погруженных криволинейных прямоугольника. Каждый из
Рис. 8.7

них независимо друг от друга может смещаться параллельно самому себе на плоскости. Ясно, что комбинируя подходящим образом эти сдвиги, можно добиться того, чтобы в результате возникла картина, показанная на рис. 8.7: кривая $\gamma$ начинается из одного прямоугольника и в конце концов приходит в другой. При этом нужно отметить, что мы используем здесь тот факт, что при $a<f<a+\epsilon$ и $b-\epsilon <f<b$ кривая $\gamma (f)$ может быть совмещена с образами двух интервалов, являющихся пересечениями интервала $\{H=0\}$ с $m_1$ и $m_2$. Именно это мы и делаем.

Сказанное выше означает, что в действительности нам задано погружение в плоскость двух прямоугольников $m_1,m_2$, соединенных прямолинейным отрезком (рис. 8.6). Наша задача заключается в распространении этого погружения на весь прямоугольник $(a,b)\times (-1,1)$. Ясно, что это можно сделать.

Следует подчеркнуть здесь одну тонкость, оставшуюся «за кадром». Дело в том, что если бы два исходных погружения прямоугольников $m_1$ и $m_2$ отличались бы друг от друга ориентацией погружения, т. е. если бы мы «перевернули» один из них, то, конечно, нам не удалось бы продолжить погружение на весь прямоугольник $(a,b)\times (-1,1)$. Однако здесь мы опирались на согласованность ориентаций, учтенную в условиях, сформулированных перед леммой 8.6.

Рассмотрим теперь построенные функции $s_1$ и $s_2$ как переменные действия на всем $M^4$.

Запишем искомую симплектическую структуру на всем $M^4$ в следующем каноническом виде:
$$\mathrm{\Omega }=d{s}_1\wedge d{\phi }_1+d{s}_2\wedge d{\phi }_2.$$

Ясно, что эта форма удовлетворяет всем требованиям. Лемма доказана.
Отметим, что все локальные минимумы и максимумы функции вращения $\rho (f)$, дающие нам $R$-вектор, прекрасно видны на построенной нами кривой $\gamma (f)$. А именно, легко проверяется, что эти точки находятся во взаимнооднозначном соответствии с точками перегиба гладкой кривой $\gamma (f)$ на евклидовой плоскости переменных $(s_1,s_2)$.