Пусть $Q^{3}$ – компактная неособая изоэнергетическая 3 -поверхность интегрируемой системы $v=\operatorname{sgrad} H$ и пусть $f$ – второй независимый интеграл.

В дальнейшем, на протяжении всей книги мы будем рассматривать интегрируемые системы, удовлетворяющие следующим естественным условиям.
1) Изоэнергетическая 3 -поверхность $Q$ является компактной и неособой.
2) Система $v=\operatorname{sgrad} H$ является нерезонансной на $Q$.
3) Система $v$ обладает боттовским интегралом $f$ на $Q$.
4) Система $v$ топологически устойчива на $Q$.

Кроме этих условий, мы временно предположим, что интеграл $f$ не имеет критических бутылок Клейна, а критические торы (если они существуют) будем рассматривать как неособые. Конструкцию, позволяющую включить бутылки Клейна в эту теорию, мы опишем в следующей главе.
Теперь понятие молекулы можно ввести двумя способами.

Первый способ. Рассмотрим слоение Лиувилля на $Q$. Сначала построим аналог графа Риба. Для этого рассмотрим базу слоения Лиувилля, т.е. факторпространство $Q / \rho$, где $\rho$ – естественное отношение эквивалентности, отождествляющее точки, лежащие на одном и том же слое слоения Лиувилля. Получается некоторый граф. Его вершинам, очевидно, соответствуют особые слои слоения Лиувилля. А ребра графа изображают однопараметрические семейства торов Лиувилля (не содержащие бифуркаций).

Из предыдущего видно, что каждая вершина графа взаимно-однозначно соответствует некоторому 3 -атому, т.е. некоторой перестройке (бифуркации) торов Лиувилля. Следовательно, мы можем снабдить каждую вершину графа символом, соответствующим этому 3 -атому (или 2 -атому, что то же самое в силу теоремы 3.4). Удобно пользоваться символьными обозначениями, приведенными в таблице атомов 3.1 (см. выше). Говоря более формально, мы сопоставляем каждой вершине графа соответствующий 2 -атом.

В результате получится граф, вершинами которого являются 2-атомы. Напомним, что 2 -атом – это двумерная поверхность $P$ с краем. Как и в предыдущей главе, говоря о том, что каждой вершине графа соответствует 2 -атом, мы дополнительно подразумеваем, что граничные окружности поверхности $P$ находятся в естественном взаимно-однозначном соответствии с концами ребер графа, примыкающими к данной вершине. Мы считаем, что для каждой вершины графа такое соответствие (между ребрами и граничными окружностями) фиксировано.
Определение 3.9. Получающийся граф $W$ будем называть молекулой интегрируемой системы, отвечающей данной неособой компактной изоэнергетической 3 -поверхности $Q$.

С формальной точки зрения введенное нами только что понятие молекулы совпадает с понятием молекулы, уже знакомым нам по главе 2. Единственное отличие состоит в том, что сейчас атомы могут иметь вершины-звездочками.

Понятие равенства (совпадения) двух молекул формулируется точно так же, как и в определении 2.22 главы 2.

Молекула $W$ интегрируемой системы изображает структуру слоения Лиувилля на данной изоэнергетической 3 -поверхности $Q$. Очевидно, что молекула $W$ является инвариантом системы с точки зрения лиувиллевой эквивалентности, т.е. молекулы двух лиувиллево эквивалентных интегрируемых систем совпадают.

Отметим, что молекула $W$ не зависит от конкретного выбора второго интеграла $f$.

Второй способ определения молекулы. Рассмотрим интеграл $f$ на $Q$ и все особые слои $L_{i}$ слоения Лиувилля, т. е. связные компоненты особых уровней функции $f$. Разрезая $Q$ вдоль регулярных слоев функции $f$, т.е. вдоль торов Лиувилля, можно разбить $Q$ на трехмерные куски $U\left(L_{i}\right)$, каждый из которых содержит ровно один особый слой $L_{i}$ (рис. 3.26). Ясно, что каждое 3-многообразие $U\left(L_{i}\right)$ является регулярной окрестностью связного особого слоя $L_{i}$. Поэтому каждое трехмерное многообразие $U\left(L_{i}\right)$ является 3 -атомом. Построим граф, вершинами которого являются эти 3-атомы, а ребра соответствуют тем торам Лиувилля, по которым были сделаны разрезы. Поясним, что каждый 3 -атом имеет концы, отвечающие граничным торам Лиувилля. И мы просто соединяем ребрами те концы атомов, которые отвечают склеиваемым торам Лиувилля (при восстановлении разрезов).

Рис. 3.26

Таким образом, молекула $W$ описывает разложение 3 -многообразия $Q$ в объединение 3 -атомов. Другими словами, зная молекулу, мы знаем, из каких расслоений Зейферта склеено данное 3 -многообразие $Q$, и в каком порядке нужно склеивать граничные торы зейфертовых кусков. Хотя полностью восстановить топологию $Q$ по молекуле $W$, вообще говоря, нельзя, $W$ несет в себе наиболее существенную часть информации о слоении Лиувилля на $Q$. Это означает, что молекула $W$ описывает тип слоения Лиувилля с точностью до грубой лиувиллевой эквивалентности.

Напомним, что две системы $v$ на $Q$ и $v^{t}$ на $Q^{\prime}$ называются грубо лиувиллево эквивалентными, если от одного слоения Лиувилля можно перейти к другому путем последовательных скручиваний слоения Лиувилля (см. главу 1). Для этого нужно разрезать $Q$ по торам Лиувилля и склеивать обратно получающиеся берега разрезов посредством новых диффеоморфизмов граничных торов Лиувилля. При этом нужно следить за тем, чтобы каждая такая склейка сохраняла исходную ориентацию $Q$.
Теорема 3.5. Пусть $(v, Q)$ и $\left(v^{\prime}, Q^{\prime}\right)$ – две интегрируемые системы $и W, W^{\prime}-$ отвечающие им молекулы. Тогда системы $v$ и ${ }^{\prime}$ грубо лиувиллево эквивалентны (с учетом ориентации) тогда и только тогда, когда молекулы $W$ и $W^{\prime}$ совпадают.

Доказательство.
Этот факт сразу следует из определения молекулы $W$. В самом деле, совпадение молекул означает, что слоения Лиувилля на $Q$ и $Q^{\prime}$ склеены из одних и тех же компонент. Отличие заключается лишь в том, что граничные торы этих компонент могут склеиваться при помощи разных диффеоморфизмов. Но это различие можно устранить при помощи скручиваний. Теорема доказана.