Главная > ИHTEГPИPУEMЫE ГAMИЛЬTOHOBЫ СИСТЕМЫ(А. В. Болсинов, А. Т. Фоменко)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Пусть Q3 — компактная неособая изоэнергетическая 3 -поверхность интегрируемой системы v=sgradH и пусть f — второй независимый интеграл.

В дальнейшем, на протяжении всей книги мы будем рассматривать интегрируемые системы, удовлетворяющие следующим естественным условиям.
1) Изоэнергетическая 3 -поверхность Q является компактной и неособой.
2) Система v=sgradH является нерезонансной на Q.
3) Система v обладает боттовским интегралом f на Q.
4) Система v топологически устойчива на Q.

Кроме этих условий, мы временно предположим, что интеграл f не имеет критических бутылок Клейна, а критические торы (если они существуют) будем рассматривать как неособые. Конструкцию, позволяющую включить бутылки Клейна в эту теорию, мы опишем в следующей главе.
Теперь понятие молекулы можно ввести двумя способами.

Первый способ. Рассмотрим слоение Лиувилля на Q. Сначала построим аналог графа Риба. Для этого рассмотрим базу слоения Лиувилля, т.е. факторпространство Q/ρ, где ρ — естественное отношение эквивалентности, отождествляющее точки, лежащие на одном и том же слое слоения Лиувилля. Получается некоторый граф. Его вершинам, очевидно, соответствуют особые слои слоения Лиувилля. А ребра графа изображают однопараметрические семейства торов Лиувилля (не содержащие бифуркаций).

Из предыдущего видно, что каждая вершина графа взаимно-однозначно соответствует некоторому 3 -атому, т.е. некоторой перестройке (бифуркации) торов Лиувилля. Следовательно, мы можем снабдить каждую вершину графа символом, соответствующим этому 3 -атому (или 2 -атому, что то же самое в силу теоремы 3.4). Удобно пользоваться символьными обозначениями, приведенными в таблице атомов 3.1 (см. выше). Говоря более формально, мы сопоставляем каждой вершине графа соответствующий 2 -атом.

В результате получится граф, вершинами которого являются 2-атомы. Напомним, что 2 -атом — это двумерная поверхность P с краем. Как и в предыдущей главе, говоря о том, что каждой вершине графа соответствует 2 -атом, мы дополнительно подразумеваем, что граничные окружности поверхности P находятся в естественном взаимно-однозначном соответствии с концами ребер графа, примыкающими к данной вершине. Мы считаем, что для каждой вершины графа такое соответствие (между ребрами и граничными окружностями) фиксировано.
Определение 3.9. Получающийся граф W будем называть молекулой интегрируемой системы, отвечающей данной неособой компактной изоэнергетической 3 -поверхности Q.

С формальной точки зрения введенное нами только что понятие молекулы совпадает с понятием молекулы, уже знакомым нам по главе 2. Единственное отличие состоит в том, что сейчас атомы могут иметь вершины-звездочками.

Понятие равенства (совпадения) двух молекул формулируется точно так же, как и в определении 2.22 главы 2.

Молекула W интегрируемой системы изображает структуру слоения Лиувилля на данной изоэнергетической 3 -поверхности Q. Очевидно, что молекула W является инвариантом системы с точки зрения лиувиллевой эквивалентности, т.е. молекулы двух лиувиллево эквивалентных интегрируемых систем совпадают.

Отметим, что молекула W не зависит от конкретного выбора второго интеграла f.

Второй способ определения молекулы. Рассмотрим интеграл f на Q и все особые слои Li слоения Лиувилля, т. е. связные компоненты особых уровней функции f. Разрезая Q вдоль регулярных слоев функции f, т.е. вдоль торов Лиувилля, можно разбить Q на трехмерные куски U(Li), каждый из которых содержит ровно один особый слой Li (рис. 3.26). Ясно, что каждое 3-многообразие U(Li) является регулярной окрестностью связного особого слоя Li. Поэтому каждое трехмерное многообразие U(Li) является 3 -атомом. Построим граф, вершинами которого являются эти 3-атомы, а ребра соответствуют тем торам Лиувилля, по которым были сделаны разрезы. Поясним, что каждый 3 -атом имеет концы, отвечающие граничным торам Лиувилля. И мы просто соединяем ребрами те концы атомов, которые отвечают склеиваемым торам Лиувилля (при восстановлении разрезов).

Рис. 3.26

Таким образом, молекула W описывает разложение 3 -многообразия Q в объединение 3 -атомов. Другими словами, зная молекулу, мы знаем, из каких расслоений Зейферта склеено данное 3 -многообразие Q, и в каком порядке нужно склеивать граничные торы зейфертовых кусков. Хотя полностью восстановить топологию Q по молекуле W, вообще говоря, нельзя, W несет в себе наиболее существенную часть информации о слоении Лиувилля на Q. Это означает, что молекула W описывает тип слоения Лиувилля с точностью до грубой лиувиллевой эквивалентности.

Напомним, что две системы v на Q и vt на Q называются грубо лиувиллево эквивалентными, если от одного слоения Лиувилля можно перейти к другому путем последовательных скручиваний слоения Лиувилля (см. главу 1). Для этого нужно разрезать Q по торам Лиувилля и склеивать обратно получающиеся берега разрезов посредством новых диффеоморфизмов граничных торов Лиувилля. При этом нужно следить за тем, чтобы каждая такая склейка сохраняла исходную ориентацию Q.
Теорема 3.5. Пусть (v,Q) и (v,Q) — две интегрируемые системы иW,W отвечающие им молекулы. Тогда системы v и грубо лиувиллево эквивалентны (с учетом ориентации) тогда и только тогда, когда молекулы W и W совпадают.

Доказательство.
Этот факт сразу следует из определения молекулы W. В самом деле, совпадение молекул означает, что слоения Лиувилля на Q и Q склеены из одних и тех же компонент. Отличие заключается лишь в том, что граничные торы этих компонент могут склеиваться при помощи разных диффеоморфизмов. Но это различие можно устранить при помощи скручиваний. Теорема доказана.

1
Оглавление
email@scask.ru