Напомним, что атом называется сложным, если на критическом связном уровне функции $f$ расположено более одной критической точки. Такие объекты естественно возникают во многих задачах геометрии и физики. Приведем пример. Пусть на поверхности $X^{2}$ гладко действует конечная группа $G$ и пусть $f-$ некоторая функция Морса, инвариантная относительно $G$. Тогда, как правило, такая функция будет сложной. В самом деле, если, например, орбита некоторой критической точки $x$ целиком лежит внутри одной компоненты связности линии уровня $f(x)$ = const, то на этом уровне окажется несколько различных критических точек функции. Простой пример показан на рис. 2.24. Здесь функция высоты инвариантна относительно группы $\mathbb{Z}_{5}$. Связный критический уровень, содержащий 5 критических точек, также показан на рис. 2.24. Конечно, малым возмущением функции можно превратить ее в простую функцию Морса, т.е. развести критические точки на разные уровни. Однако это разрушает $\mathbb{Z}_{5}$-симметрию. Это видно из рис. 2.25. Таким образом, в задачах, требующих изучения разного рода симметрий, приходится исследовать сложные функции Морса как самостоятельные объекты.

Рис. 2.24

Как мы покажем ниже, сложные функции Морса естественно возникают также при классификации потоков Морса-Смейла на двумерных поверхностях.

Основным представлением сложного атома является задание его в виде трубчатой окрестности критического уровня функции Морса, на котором лежит несколько критических точек.

Атом реализуется как двумерная поверхность, состоящая из плоских крестов и соединяющих их концы длинных узких лент, как условно показано на рис. 2.26. Поэтому можно дать другое,

Рис. 2.25 эквивалентное геометрическое определение атома.

Определение 2.9. Атомом называется пара $\left(P^{2}, K\right)$, где $P^{2}$ – связная компактная двумерная поверхность с краем, ориентируемая или неориентируемая, а $K$ – связный граф в ней такой, что выполняются следующие условия.

1) Либо $K$ состоит только из одной точки, т.е. изолированной вершины степени ноль, либо все вершины графа $K$ имеют степень 4 .
2) Каждая связная компонента множества $P^{2}-K$ гомеоморфна кольцу $S^{1} \times$ $\times(0,1]$ и множество этих колец можно разбить на два класса – положительные кольца и отрицательные кольца так, чтобы:
3) к каждому ребру графа $K$ примыкало ровно одно положительное кольцо и ровно одно отрицательное кольцо.

Мы будем рассматривать атомы с точностью до естественной эквивалентности: два атома $\left(P^{2}, K\right)$ и $\left(P^{\prime 2}, K^{\prime}\right)$ эквивалентны, если существует гомеоморфизм, переводящий $P^{\prime 2}$ в $P^{2}$, и $K^{\prime}$ в $K$.

На рис. 2.27 показаны примеры пар ( $\left.P^{2}, K\right)$, не являющихся атомами.

Рис. 2.27

Замечание. Ясно, что каждый атом ретрагируется, стягивается на свой граф $K$.
Описанное в определении 2.9 разбиение колец на положительные и отрицательные можно делать двумя способами. Ясно, что положительные кольца можно переименовать в отрицательные, а отрицательные – в положительные. Если же разбиение фиксировать, то мы придем к понятию $f$-атома.

Определение 2.10. $f$-атомом называется атом из определения 2.9 , для которого фиксировано разбиение колец на положительные и отрицательные.

Ясно, что на $f$-атоме в определении 2.10 можно задать функцию Морса, для которой граф $K$ будет ее критическим уровнем (например, нулевым), поверхность $P^{2}$ будет множеством точек $x$ таких, что
\[
-\varepsilon \leqslant f(x) \leqslant+\varepsilon .
\]

В частности, функция $f$ будет положительна на положительных кольцах и отрицательна на отрицательных.

Определение 2.11. Вершинами атома называются вершины графа $K$, т. е. критические точки функции $f$. Число вершин атома называется его сложностью.

Мы будем обычно изображать атом какой-либо буквой, из которой выходят и в которую входят некоторое количество ребер. Каждое ребро условно изображает некоторое кольцо атома (см. выше).
Поскольку у каждого кольца есть ровно одна граничная окружность, то естественно сказать, что у соответствующего ребра есть конец. Этот конец условно изображает граничную окружность кольца.

Определение 2.12. Концы этих ребер мы назовем концами атома, а их количество – валентностью атома. Если мы рассматриваем $f$-атом, то естественно возникает понятие положительных и отрицательных ребер, отвечающих положительным и отрицательным кольцам соответственно. Договоримся считать положительные ребра атома – выходящими, а отрицательные – входящими. Для удобства снабдим ребра атома стрелками (рис. 2.28), указывая эту их ориентацию.

Ясно, что стрелки на ребрах атомов показывают направление роста функции $f$.

Рассмотрим все граничные окружности атома и заклеим каждую их них 2 -диском. Получится замкнутая поверхность $\tilde{P}^{2}$ без края.

Определение 2.13. Родом атома назовем род поверхности $\widetilde{P}^{2}$. Если $\widetilde{P}^{2}$ – ориентируема, то это – число ручек, а если $\widetilde{P}^{2}-$ неориентируема, то это – количество пленок Мебиуса. Атом называется плоским, если получившаяся поверхность $\widetilde{P}^{2}$ является сферой.

Рис. 2.29
На рис. 2.29 показаны примеры.

a) Ориентируемые атомы $A$ и $B$ имеют род ноль, так как здесь $\widetilde{P}^{2}$ – это сфера.
b) Ориентируемый атом $C_{1}$ имеет род, равный единице, так как здесь $\widetilde{P}^{2}-$ это тор.
c) Неориентируемый атом $\widetilde{B}$ имеет род, равный единице, так как здесь $\widetilde{P}^{2}-$ это проективная плоскость, т.е. сфера с одной пленкой Мебиуса.
d) Неориентируемый атом $M$ имеет род два, так как здесь $\widetilde{P}^{2}$ – это бутылка Клейна, т.е. сфера с двумя пленками Мебиуса.
Зная атом, легко найти его род. Ясно, что достаточно найти эйлерову характеристику поверхности $\widetilde{P}^{2}$.
Предложение 2.1. Эйлерова характеристика $\chi$ поверхности $\widetilde{P}^{2}$ вычисляется по атому так: $V-E+R$, где $V=$ число вершин атома, $E=$ число ребер графа $K$, $R=$ число колеи атома.
Доказательство.
Граф $K$ очевидно задает клеточное разбиение поверхности $\widetilde{P}^{2}$. Поэтому число $V-E+R$ совпадает с альтернированной суммой количества 0 -мерных, 1 -мерных и 2-мерных клеток. Предложение доказано.