Предложение 4.3.

1) Молекула $A-A$ всегда задает 3-многообразие, склеенное из двух полноторий. Каждое из полноторий стандартным образом расслоено на 2-торы, что и задает слоение всего 3-многообразия на торы Лиувилля. Это слоение имеет ровно два особых слоя – окружности, являющиеся осями полнотоpuй.
2) Молекула $A-A$ с меткой $r=0$ задает трехмерную сферу $S^{3}$.
3) Молекула $A-A$ с меткой $r=\frac{1}{2}$ задает трехмерное проективное пространство $\mathbb{R} P^{3}$.
4) Молекула $A-A$ с меткой $r=\infty$ задает прямое произведение $S^{1} \times S^{2}$.
5) Молекула $A-A$ с меткой $r=\frac{q}{p}$, где $q<p$ и $p \geqslant 3$, задает линзовое пространство $L_{p, q}$.

Доказательство.
1. Поскольку 3 -атом $A$ представляет собой полноторие, то молекула $A-A$, очевидно, задает 3 -многообразие как результат склейки двух полноторий по их граничным торам. Поэтому 1-е утверждение сразу вытекает из определения молекулы.

В силу теоремы 4.1 о взаимно-однозначном соответствии между мечеными молекулами и слоениями Лиувилля, для доказательства следующих утверждений мы построим модельные слоения Зейферта на $S^{3}, \mathbb{R} P^{3}, S^{1} \times S^{2}$ и $L_{p, q}$ с требуемыми молекулами.
2. Зададим на граничных торах полноторий допустимые базисы $\lambda^{-}, \mu^{-}$ и $\lambda^{+}, \mu^{+}$. Равенство метки $r$ нулю означает, что меридиан первого полнотория отождествляется с некоторой параллелью второго полнотория и наоборот. Поэтому матрица склейки с помощью допустимой замены координат может быть приведена к виду
\[
\left(\begin{array}{cc}
0 & \pm 1 \\
\pm 1 & 0
\end{array}\right)
\]

В результате получается 3 -сфера. В самом деле, реализуем 3 -сферу в двумерном комплексном пространстве $\mathbb{C}^{2}(z, w)$ уравнением $|z|^{2}+|w|^{2}=1$. Рассмотрим на ней гладкую вещественную функцию $f=|z|^{2}-|w|^{2}$. Ее нулевая поверхность уровня $\{f=0\}$ является двумерным тором $T^{2}=\left\{|z|=\frac{\sqrt{2}}{2},|w|=\frac{\sqrt{2}}{2}\right\}$.Этот тор разбивает сферу в объединение двух полноторий $A_{-}=\left\{|z| \leqslant \frac{\sqrt{2}}{2},|w|=1-|z|^{2}\right\}$ и $A_{+}=\left\{|z|=1-|w|^{2},|w| \leqslant \frac{\sqrt{2}}{2}\right\}$.

Каждое из них расслоено на концентрические торы, представляющие собой поверхности уровня $f=$ const $
eq \pm 1$. Уровень $f=+1$ является осью одного из полноторий и одновременно критической окружностью, на которой $f$ имеет максимум. Уровень $f=-1$ – это ось другого полнотория и критическая минимальная окружность для $f$. На каждом торе возникающего слоения имеется один исчезающий цикл. Второй базисный цикл при стремлении тора к осевой окружности превращается в эту окружность.

Исчезающий цикл на каждом торе полнотория $A_{+}$задается уравнением $z=$ $=$ const. При деформации этого цикла, при которой функция $f$ на цикле стремится к 1 , цикл приближается к оси полнотория $A_{-}$. С другой стороны, исчезающий цикл на каждом торе второго полнотория $A_{-}$задается уравнением $w=$ const. Смещая этот цикл так, чтобы $f$ стремилась на нем к -1 , мы превращаем цикл в ось полнотория $A_{+}$. Поэтому матрица, задающая склейку граничных торов полноторий имеет вид
\[
\left(\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array}\right) .
\]

Легко видеть, что знак перед единицей может быть изменен путем замены ориентации базисных циклов, что, разумеется, никак не влияет на топологию.
3. Рассмотрим теперь случай $A-A$ с меткой $r=1 / 2$. Здесь удобно реализовать проективное пространство $\mathbb{R} P^{3}$ в виде расслоения единичных касательных векторов к стандартной 2-сфере $S^{2}$ в $\mathbb{R}^{3}$. Рассмотрим теперь на 2 -сфере стандартную функцию высоты и поднимем ее на $\mathbb{R} P^{3}$ естественным образом, считая постоянной на слоях расслоения $\mathbb{R} P^{3} \rightarrow S^{2}$. Получится гладкая функция $f$, критические подмногообразия которой совпадают со слоями-окружностями расслоения, проектирующимися в северный полюс (максимум функции) и в южный полюс (минимум функции). Остальные слои являются двумерными торами, поскольку они суть произведения параллелей 2-сферы на окружность касательных векторов. Рассмотрим слоение $\mathbb{R} P^{3}$ на поверхности уровня функции $f$. Очевидно, что молекула, отвечающая этому слоению, имеет требуемый вид $A-A$. Нам остается вычислить значение $r$-метки. Сформулируем полезную лемму.
Лемма 4.8. Рассмотрим произвольное ребро е какой-либо молекулы $W u$ пусть $\left(\lambda^{+}, \mu^{+}\right) u\left(\lambda^{-}, \mu^{-}\right)$- допустимые системы координат, отвечающие двум атомам, соединенным этим ребром. Будем считать, что все эти циклы лежат на одном и том же торе Лиувилля, в середине ребра. Рассмотрим следующие три важных случая.
а) Если циклы $\lambda^{+}$и $\lambda^{-}$не пересекаются, т. е. гомологичны на торе, то $r=\infty$.
б) Если циклы $\lambda^{+}$и $\lambda^{-}$пересекаются ровно в одной точке, то $r=0$.
в) Если циклы $\lambda^{+}$и $\lambda^{-}$имеют индекс пересечения 2 , то $r=1 / 2$.
Во всех этих трех случаях метка $r$ не зависит от выбора ориентаций на многообразии $Q^{3}$, на ребрах молекулы и на критических окружностях.
Доказательство леммы сразу вытекает из определения $r$-метки.
Применим эту лемму для подсчета $r$-метки в случае $\mathbb{R} P^{3}$. Представим $\mathbb{R} P^{3}$ в виде склейки двух полноторий $A_{+}$и $A_{-}$, являющихся прямыми произведениями двух полусфер $S_{+}^{2}$ и $S_{-}^{2}$ на слой $S^{1}$ расслоения $\mathbb{R} P^{3} \rightarrow S^{2}$. Другими словами, разрезая базу $S^{2}$ пополам, мы получаем тривиальные расслоения над полусферами $A_{+} \rightarrow S_{+}^{2}$ и $A_{-} \rightarrow S_{-}^{2}$. Граничным тором полноторий $A_{+}$и $A_{-}$является прямое произведение экватора на касательную окружность. Нам нужно нарисовать на этом торе циклы $\lambda^{+}$и $\lambda^{-}$. Ясно, что для этого нужно задать на экватоpe 2-сферы, два гладких векторных поля из единичных касательных векторов.

Конец вектора прочерчивает цикл на торе. Напомним, что циклы $\lambda^{+}$и $\lambda^{-}$должны стягиваться в точку, каждый в своем полнотории. Следовательно, искомые векторные поля нужно выбрать так, чтобы они гладко продолжались с экватора на весь соответствующий диск (полусферу). Такие два поля изображены на рис. 4.11. Они перенесены нами на плоскость посредством стереографической проекции. Первое поле, очевидно, продолжается внутрь заштрихованного диска, который является образом, например, нижней полусферы. Второе поле определено на дополнении к первому диску и, очевидно, продолжается на верхнюю полусферу. Эти же поля изображены на рис. 4.11 и на соответствующих полусферах. Сравнивая эти два поля на экваторе, мы видим, что концы их векторов прочерчивают на торе две окружности, пересекающиеся ровно в двух точках. Эти точки, а точнее, отвечающие им два вектора, указаны на рис. 4.11. Отсюда следует, что индекс пересечения этих циклов равен 2 (если бы индекс равнялся нулю, то одно поле на экваторе можно было бы продеформировать в другое, что невозРис. 4.11 можно, поскольку на 2-сфере нет непрерывного ненулевого векторного поля).

Отметим, кстати, что эта возникшая здесь двойка является просто числом Эйлера касательного расслоения к 2-сфере. Итак, поскольку индекс пересечения циклов $\lambda^{+}$и $\lambda^{-}$равен двум, то $r=1 / 2$, что и требовалось доказать. Тем самым, мы построили лиувиллево слоение на $\mathbb{R} P^{3}$ с требуемой молекулой.
4. Рассмотрим прямое произведение $S^{1} \times S^{2}$ и слоение Лиувилля на нем, порожденное обычной функцией высоты на 2 -сфере $S^{2}$, стандартно вложенной в $\mathbb{R}^{3}$. Ее линии уровня на 2-сфере – это параллели, а северный и южный полюсы критические точки: максимум и минимум. Умножая линии уровня на окружность, получаем слои слоения Лиувилля. Исчезающий цикл в первом полнотории и исчезающий цикл во втором полнотории на самом деле один и тот же. А именно, это – экватор сферы, умноженный на фиксированную точку окружности-слоя. Следовательно, здесь $r=\infty$.
5. Зададим слоение Лиувилля с требуемой молекулой $W$ на линзовом пространстве $L_{p, q}$. Линза $L_{p, q}$ может быть получена как фактор-пространство сферы $S^{3}=\left\{|z|^{2}+|w|^{2}=1\right\}$ по действию группы $\mathbb{Z}_{p}$, образующая которой $\xi$ действует так: $\xi:(z, w) \rightarrow\left(z e^{-2 \pi i q / p}, w e^{2 \pi i p}\right)$. Напомним, что сфера $S^{3}$ представлена как объединение двух полноторий, общий граничный тор которых задается как нулевой уровень гладкой функции $f(z, w)=|z|^{2}-|w|^{2}$. Тогда полнотория $A_{+}$и $A_{-}$ задаются соотношениями:
\[
A_{-}=\left\{|z| \leqslant \frac{\sqrt{2}}{2},|w|=1-|z|^{2}\right\} \text { и } A_{+}=\left\{|z|=1-|w|^{2},|w| \leqslant \frac{\sqrt{2}}{2}\right\} .
\]

Очевидно, что эти полнотория инвариантны относительно действия группы $\mathbb{Z}_{p}$. Причем после факторизации сферы они превращаются снова в два полнотория, в объединение которых распадается теперь уже линзовое пространство $L_{p, q}$. При этом функция $f(z, w)$ на сфере порождает гладкую функцию на линзе $L_{p, q}$. Уровни этой функции задают некоторое слоение на этой линзе. Как мы сейчас покажем, оно и будет искомым, т.е. отвечающая ему молекула $A-A$ будет иметь метку $r=\frac{q}{p}$.
Рис. 4.12 Для этого изучим более детально действие группы $\mathbb{Z}_{p}$ на граничном тоpе $T^{2}=\left\{|z|=\frac{\sqrt{2}}{2},|w|=\frac{\sqrt{2}}{2}\right\}$ в сфере $S^{3}$. Нужно взять фактор-тор $\tilde{T}^{2}=T^{2} / \mathbb{Z}_{p}$ и рассмотреть на нем две допустимые системы координат ( $\left.\lambda^{+}, \mu^{+}\right)$и $\left(\lambda^{-}, \mu^{-}\right)$. Ясно, что в качестве исчезающих циклов $\lambda^{+}$и $\lambda^{-}$мы можем взять образы меридианов полноторий $A_{+}$и $A_{-}$, т.е. образы циклов $\left\{z=\right.$ const, $\left.w=w_{0} e^{i \varphi}\right\}$ и $\left\{w=\right.$ const, $\left.z=z_{0} e^{i \varphi}\right\}$, соответственно.

Представим тор $T^{2}=\left\{|z|=\frac{\sqrt{2}}{2},|w|=\frac{\sqrt{2}}{2}\right\}$ как фактор-пространство евклидовой плоскости $\mathbb{R}^{2}$ по решетке $\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$ (рис. 4.12). Изобразим здесь же действие группы $\mathbb{Z}_{p}$, нарисовав на плоскости фундаментальную область этой группы. Эта область является параллелограммом, заштрихованным на рис. 4.12. На рис. 4.12 изображен случай, когда $p=3, q=2$. В результате на плоскости $\mathbb{R}^{2}$ возникают две решетки – исходная, порождающая тор $T^{2}$, и новая, более мелкая, порождающая фактор-тор $\widetilde{T}^{2}=T^{2} / \mathbb{Z}_{p}$. Мы можем изобразить базисы $\left(\lambda^{+}, \mu^{+}\right)$ и ( $\lambda^{-}, \mu^{-}$) при помощи этой мелкой решетки. Два жирных ортогональных вектора на рис. 4.12 изображают базис исходной, старой решетки, а именно
\[
\left\{z=\text { const, } w=w_{0} e^{i \varphi}\right\} \quad \text { и } \quad\left\{w=\text { const, } z=z_{0} e^{i \varphi}\right\} .
\]

Эти два цикла проектируются с тора $T^{2}$ на фактор-тор $\widetilde{T}^{2}$ взаимно-однозначно, поэтому их можно взять на фактор-торе в качестве циклов $\lambda^{+}$и $\lambda^{-}$, соответственно.

Опишем фундаментальную область для тора $\widetilde{T}^{2}$. Действие группы $\mathbb{Z}_{p}$ на плоскости устроено так: образующая $\xi$ сдвигает плоскость на вектор $-\frac{q}{p} \lambda^{-}+\frac{1}{p} \lambda^{+}$. Поэтому в качестве фундаментальной области мы можем взять параллелограмм, натянутый на два вектора
\[
\lambda^{-} \quad \text { и } \quad \mu^{-}=-\frac{q}{p} \lambda^{-}+\frac{1}{p} \lambda^{+},
\]

которые, очевидно, образуют базис на торе $\tilde{T}^{2}$. Отсюда $\lambda^{+}=q \lambda^{-}+p \mu^{-}$. Следовательно, $r=\frac{q}{p}$, что и требовалось.
Предложение доказано.
Укажем еще несколько примеров несложных молекул $W$, описывающих важные и интересные слоения Лиувилля.
Предложение 4.4. Пусть молекула $W$ не содержит атомов со звездочками и имеет вид, показанный на рис. 4.13: все ее ребра, соединяющие седловые атомы, несут на себе $r$-метку, равную бесконечности, а все ее ребра, заканчивающиеся атомом $A$, несут на себе г-метку, равную нулю. Тогда соответствующее 3-многообразие $Q$ является локально тривиальным расслоением со
Рис. 4.13

слоем окружность над замкнутой двумерной поверхностью $P^{2}$, ориентируемой или неориентируемой.
Комментарий. Если же молекула $W$ содержит атомы со звездочками, то многообразие $Q^{3}$ является расслоением Зейферта, а его особые слои в точности отвечают атомам со звездочками. Если далее заменить нулевые $r$-метки на ребрах молекулы $W$, инцидентных атомам $A$, произвольными числами $\frac{p}{q}$, то все равно многообразие $Q$ останется глобальным расслоением Зейферта, но в нем появятся новые особые слои, в точности отвечающие осевым окружностям тех атомов $A$, в которые входят ребра с $r$-метками вида $\frac{p}{q}
eq 0$.
Доказательство.
На каждом отдельно взятом 3-атоме без звездочек уже задана структура тривиального $S^{1}$-расслоения (теорема 3.3, глава 3). Склеивая граничные торы соседних 3-атомов, мы видим, что слои этих расслоений согласуются на граничном торе. Дело в том, что $r$-метка равна бесконечности, когда оба атома седловые, и равна 0 в случае, когда один из атомов имеет тип $A$. Это в точности означает, что слои, пришедшие на граничный тор из соседних атомов, совпадают (изотопны), и поэтому можно хорошо сшить $S^{1}$-расслоения, заданные на соседних 3-атомах. Тем самым мы получаем глобально заданную на всем $Q$ структуру локально тривиального $S^{1}$-расслоения. Отметим, что за ориентируемость или неориентируемость получающейся при этом двумерной базы отвечают метки $\varepsilon$ на ребрах исходной молекулы $W$. Предложение доказано.
Комментарий. В описанной в предложении 4.4 молекуле $W$ все седловые атомы образуют семью (см. определение 4.5). Из общей конструкции следует, что в таком случае появляется еще один инвариант – целочисленная метка $n$, которая должна быть приписана этой семье. С другой стороны, согласно предложению 4.4 соответствующее 3 -многообразие $Q$ является расслоением со слоем окружность и базой $P^{2}$. Предположим, что база ориентируема. Тогда с этим расслоением естественно связан известный инвариант – число Эйлера. Оказывается, метка $n$ и число Эйлера в точности совпадают. В связи с этим дадим наглядное описание числа Эйлера в данном случае. Выбросим из базы $P^{2}$ маленький диск $D^{2}$. Тогда над оставшимся 2-многообразием $P^{2} \backslash D^{2}$ расслоение со слоем $S^{1}$ становится тривиальным. Следовательно, в нем можно взять глобальное сечение, т.е. гладко отобразить базу $P^{2} \backslash D^{2}$ в $Q^{3} \backslash$ (полноторие) так, что образ базы пересечет каждый слой ровно в одной точке. Границей 3 -многообразия $Q^{3} \backslash$ (полноторие) является двумерный тор. Сечение высекает на нем некоторый цикл. С другой стороны, на границе выброшенного полнотория имеется однозначно определенный с точностью до изотопии исчезающий цикл (меридиан полнотория).
Подсчитаем, каков индекс пересечения исчезающего цикла с сечением. Полученное целое число и есть число Эйлера данного расслоения. Оно же является меткой $n$, отвечающей единственной семье данной молекулы $W$.
Предложение 4.5. Пусть молекула $W$ имеет вид, показанный на рис. 4.14 , т. е состоит из одного седлового атома $V$ без звездочек и из некоторого количества исходящих Рис. 4.14 из него ребер, каждое из которых заканчивается атомом А. Пусть все $r$-метки на этих ребрах равны бесконечности. Тогда соответствующее такой молекуле 3-многообразие $Q$ является связной суммой $k+1$ экземпляров $S^{1} \times S^{2}$, где $k-$ это сложность атома $V$, т. е. число его вершин.
Доказательство.
Поскольку атом $V$ по предположению не содержит звездочек, то отвечающее ему 3-многообразие является прямым произведением $V=$ $=P^{2} \times S^{1}$. Граница этого многообразия состоит из некоторого числа 2-торов. Так как все ребра, исходящие из атома $V$, заканчиваются атомами $A$, то каждый из этих граничных торов должен быть заклеен полноторием. Все $r$-метки на этих ребрах равны бесконечности. Это означает, что каждое полноторие приклеивается следующим образом. Рассмотрим произвольный граничный тор $T^{2} \subset \partial V$. На нем имеется структура тривиального $S^{1}$-расслоения. В результате склейки слой этого расслоения отождествляется с исчезающим циклом приклеиваемого полното-
Рис. 4.15 рия. Другими словами, каждый слой, лежащий на границе $\partial V$, сжимается в точку.
Следовательно, 3 -многообразие $Q$ можно представить так. Умножим $P_{2}$ на окружность и на границе получившегося 3 -многообразия стянем каждую окруж-
ность $S^{1} \times\{x\}$ в точку, $x \in \partial P_{2}$. Поскольку $P_{2}$ – это узкая ленточка, то мы можем разрезать ее поперек всех ребер (рис. 4.15). Каждый такой разрез на ленточке порождает разрез в $Q$ по двумерной сфере. Восстановление разреза эквивалентно взятию связной суммы с 3 -многообразием $S^{1} \times S^{2}$. Следовательно, 3 -многообразие $Q$ можно разрезать по нескольким 2-сферам так, что в результате получится трехмерная сфера, из которой выброшено $2(k+1)$ трехмерных непересекающихся шаров. В самом деле, после разрезания $P^{2}$ по дугам, разрезающим ленточки, получится 2 -диск, показанный на рис. 4.15 , из которого удалено $k+1$ полудисков. Умножая 2 -диск на окружность и стягивая в точку каждую окружность, оказавшуюся над его границей, мы получаем 3-сферу. Выбрасывая граничные полудиски из 2-диска, мы тем самым выбрасываем из 3-сферы трехмерные шары. Следовательно, искомое многообразие $Q_{\varepsilon}$ получается из 3 -сферы с выброшенными $2(k+1)$ шарами путем попарного склеивания возникших граничных 2-сфер. Каждое такое отождествление, очевидно, эквивалентно взятию связной суммы с 3 -многообразием $S^{1} \times S^{2}$.
Предложение доказано.