Определение 4.7. Молекула $W$, снабженная метками $r_i,{\epsilon }_i$ и $n_k$, называется меченой молекулой или инвариантом Фоменко-Цишанга. Меченую молекулу мы будем обозначать через
$$W^{\ast }=(W,r_i,{\epsilon }_i,n_k).$$

Одним из основных результатов теории лиувиллевой классификации интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы является следующее утверждение.
Предложение 4.2. Набор меток $r,\epsilon ,n$ является полным набором инвариантов действия группы замен допустимых координат на избыточных оснащениях, т.е. на матрицах $C_i$ молекулы $W$. Другими словами, два избыточных оснащения молекулы $W$ эквивалентны тогда и только тогда, когда их наборы меток $r,\epsilon ,n$ совпадают.
Доказательство.
Пусть $\left\{C_i\right\}$ и $\left\{C_i^{\prime }\right\}$ — два избыточных оснащения с одинаковыми наборами инвариантов $r,\epsilon ,n$. Заметим прежде всего, что этот набор однозначно определя-

ет разбиение молекулы $W$ на семьи, поскольку метки $r$ однозначно определяют конечные и бесконечные ребра молекулы. Рассмотрим отдельную семью $Y$. На каждом ребре этой семьи с помощью избыточных оснащений $\left\{C_i\right\}$ и $\left\{C_i^{\prime }\right\}$ мы можем задать целье числа ${\mathrm{\Theta }}_i$ и ${\mathrm{\Theta }}_i^{\prime }$ по формуле из определения 4.6.

Рассмотрим на каждом ребре данной молекулы разность ${\mathrm{\Theta }}_i^{\prime }-{\mathrm{\Theta }}_i$. Поскольку метка $n$ для рассматриваемых оснащений одна и та же, то $\sum ({\mathrm{\Theta }}_i^{\prime }-{\mathrm{\Theta }}_i)=0$. Рассмотрим граничные торы всех атомов, входящих в данную семью. Поставим в соответствие каждому из этих торов целое число по следующему правилу. Если тор соответствует внешнему ребру $e_i$, входящему или выходнщему, мы ставим ему в соответствие число ${\mathrm{\Theta }}_i^{\prime }-{\mathrm{\Theta }}_i$. Если ребро $e_i-$ внутреннее, то на двух граничных торах $T_i^{-}$и $T_i^{+}$, на начале и конце ребра, мы ставим числа $k_i^{-}$и $k_i^{+}$ так, чтобы $k_i^{-}+k_i^{+}={\mathrm{\Theta }}_i^{\prime }-{\mathrm{\Theta }}_i$. Это можно сделать многими способами. Однако, используя условие $\sum ({\mathrm{\Theta }}_i^{\prime }-{\mathrm{\Theta }}_i)=0$, мы всегда можем добиться того, чтобы для каждого атома из семьи сумма целых чисел, стоящих на его граничных торах, была равна нулю.

Итак, теперь на граничных торах каждого атома семьи у нас определен набор целых чисел с нулевой суммой, что позволяет сделать замену допустимой системы координат на этом атоме по формуле из леммы 4.3. Сделаем такую замену на каждом атоме семьи. В результате (см. выше формулы преобразования чисел ${\mathrm{\Theta }}_i$ ) мы добьемся равенства ${\mathrm{\Theta }}_i^{\prime }={\mathrm{\Theta }}_i$ на всех ребрах рассматриваемой семьи.

Отметим еще одно важное обстоятельство. Замены систем координат на атомах фиксированной семьи никак не влияют на числа ${\mathrm{\Theta }}_i$, заданные на других семьях. Таким образом, мы можем независимо провести описанную процедуру для каждой семьи по отдельности.

Более того, ту же самую процедуру мы можем провести не только на семьях, но и на всех остальных кусках молекулы, получающихся в результате разрезания ее по конечным ребрам. Для таких кусков мы можем определить числа ${\mathrm{\Theta }}_i$ точно по тому же правилу. В случае семьи мы использовали при построении равенство $\sum ({\mathrm{\Theta }}_i^{\prime }-{\mathrm{\Theta }}_i)=0$, которое в данном случае отсутствует. Однако, такое равенство легко изготовить искусственным способом. Действительно, рассматриваемый кусок молекулы, не будучи семьей, обязательно содержит атом $A$. Делая на граничном торе этого атома замену ${\lambda }^{\prime }=\lambda ,{\mu }^{\prime }=\mu +k\lambda$, мы видим, что число $\mathrm{\Theta }$ на выходящем из этого атома ребре изменится на $k$, в то время как все остальные числа ${\mathrm{\Theta }}_i$ никак не изменяются. Ясно, что подбирая $k$ подходящим образом, мы добьемся равенства $\sum ({\mathrm{\Theta }}_i^{\prime }-{\mathrm{\Theta }}_i)=0$. После этого рассуждения проводятся так же как в случае семьи.

Мы утверждаем, что после сделанных замен все матрицы склейки совпали. Действительно, мы уже добились того, что на всех конечных ребрах имеют место равенства
$$\left[\frac{{\alpha }_i}{{\beta }_i}\right]=\left[\frac{{\alpha }_i^{\prime }}{{\beta }_i^{\prime }}\right]\text{ и }[-\frac{{\delta }_i}{{\beta }_i}]=[-\frac{{\delta }_i^{\prime }}{{\beta }_i^{\prime }}]$$

Кроме того, по условию, $\left(\frac{{\alpha }_i}{{\beta }_i}\right)mod1=\left(\frac{{\alpha }_i^{\prime }}{{\beta }_i^{\prime }}\right)mod1$ и $\mathrm{sign}{\beta }_i=\mathrm{sign}{\beta }_i^{\prime }$. От-

сюда, очевидно, следует, что ${\alpha }_i={\alpha }_i^{\prime }$ и ${\beta }_i={\beta }_i^{\prime }$. Таким образом, первые строки матриц $C_i$ и $C_i^{\prime }$ совпали. Поскольку $\det C_i^{\prime }=\det C_i=-1$, то их вторые строки могут отличаться лишь на первую строку, взятую с некоторой кратностью. Поэтому из условия $[-\frac{{\delta }_i}{{\beta }_i}]=[-\frac{{\delta }_i^{\prime }}{{\beta }_i^{\prime }}]$ следует, что они на самом деле тоже совпадают.

Рассмотрим, наконец, бесконечное ребро. В силу совпадения инвариантов $r$ и $\epsilon$ на этом ребре мы сразу видим, что у матриц $C_i$ и $C_i^t$ могут различаться лишь элементы ${\gamma }_i$ и ${\gamma }_i^{\prime }$. Однако мы имеем дополнительное условие
$${\mathrm{\Theta }}_i=-\frac{{\gamma }_i}{{\alpha }_i}={\mathrm{\Theta }}_i^{\prime }=-\frac{{\gamma }_i^{\prime }}{{\alpha }_i^{\prime }}$$

что гарантирует равенство ${\gamma }_i={\gamma }_i^{\prime }$.
Итак, в результате сделанных замен допустимых систем координат избыточные оснащения совпали. Предложение доказано.
Теперь мы уже можем сформулировать основную теорему этой главы.

Теорема 4.1 (см. [216]). Две интегрируемые системы $(v,Q)$ ( $v^{\prime },Q^{\prime })$ лиувиллево эквивалентны в том и только в том случае, когда их меченые молекулы $W^{\ast }u{W}^{\ast \prime }$ совпадают.
Доказательство.
Утверждение теоремы, очевидно, получается комбинацией предложения 4.1 и предложения 4.2.
Примеры и методы вычисления молекул мы подробно опишем ниже.