Понятие $Cl$-типа особенности было впервые введено А.В.Болсиновым и B. С. Матвеевым.

Напомним, что $l$-типом особенности седло-седло является пара атомов $(V_1,V_2)$, где $V_i=(P_i,K_i)$. При этом объединение графов $K_1$ и $K_2$ — это в точности одномерный остов комплекса $L$, а поверхности $P_1$ и $P_2$ задают множество критических точек отображения момента, попавших в окрестность особого слоя.
Определение 9.4. Cl-типом особенности типа седло-седло называется тройка $(L,V_1,V_2)$ и пара вложений ${\xi }_i:K_i\to L^{(1)}$, где $i=1,2$, а $L^{(1)}$ — это одномерный остов $L$.
В этом определении мы игнорируем ориентации на атомах $V_1$ и $V_2$.

КоммЕНТАРий. Таким образом, $Cl$-тип является просто объединением двух объектов — l-типа, т. е. пары атомов $(V_1,V_2$ ) и двумерного комплекса $L$. При этом, мы должны постоянно помнить, что объединение графов $K_1$ и $K_2$ — это в точности одномерный скелет 2 -комплекса $L$. Эту информацию мы указываем, задавая и фиксируя два отображения ${\xi }_1$ и ${\xi }_2$ (см. выше). Таким образом, члены тройки $(L,V_1,V_2$ ) не являются независимыми, а сцеплены общим одномерным остовом комплекса $L$.
Теорема 9.3 (В. С. Матвеев). Cl-тип является полным инвариантом особенности типа седло-седло в смысле лиувиллевой эквивалентности. Это означает, что если две особенности седло-седло имеют одинаковый $\mathrm{Cl}$-тип, то существуют инвариантные окрестности $U(L)$ и $U^{\prime }\left(L^{\prime }\right)$ особых слоев $L$ и $L^{\prime }$ и послойный диффеоморфизм $U(L)\to U^{\prime }\left(L^{\prime }\right)$, сохраняющий направление гамильтонова векторного поля на одномерных орбитах.
Доказательство будет дано ниже.
Эта важная теорема позволяет классифицировать и перечислять особенности типа седло-седло в порядке возрастания их сложности. При этом, под сложностью особенности седло-седло мы понимаем число $s$ особых точек $z_1,\dots ,z_s$ на особом слое $L$. Эта программа классификации будет также реализована ниже. Мы перечислим все особенности седло-седло сложности 1 и 2 . Их оказалось, соответственно, 4 и 39.

Чтобы перейти к классификации особенностей, нам потребуется описать некоторые свойства $Cl$-типа. Дело в том, что не любая тройка $(L,V_1,V_2)$, заданная абстрактно, является допустимой, т.е. может быть реализована как $Cl$-тип некоторой особенности.

Пусть нам дана некоторая абстрактная тройка $(L,V_1,V_2)$, где $L$ — двумерный клеточный комплекс, $V_i=(P_i,K_i)$ — атомы одинаковой сложности $s$, т. е. с одинаковым числом вершин,

Рис. 9.26 равным $s$. Причем определены вложения ${\xi }_i:K_i\to L^{(1)}$, где $i=1,2$, а $L^{(1)}$ — это одномерный остов $L$.
Определение 9.5. Абстрактная тройка $(L,V_1,V_2)$ с парой вложений ${\xi }_1$ и ${\xi }_2$ называется допустимым $Cl$-типом, если выполнены следующие условия:

1) Все ребра одномерного остова $L$ можно разбить на два непересекающихся класса так, что множество ребер одного класса — это образ ребер графа $K_1$, а множество ребер второго класса — это образ ребер графа $K_2$. В частности, $L^{(1)}={\xi }_1\left(K_1\right)\cap {\xi }_2\left(K_2\right)$. Ребра первого класса назовем $K_1$-ребрами и будем обозначать латинскими буквами, а ребра второго класса назовем $K_2$-ребрами и будем обозначать греческими буквами.
2) Комплекс $L$ склеен из $4s$ квадратов.
3) Противоположные стороны квадратов принадлежат одному классу ребер и имеют одинаковую ориентацию. Смежные ребра принадлежат разным классам (рис. 9.26).
4) Каждое ребро комплекса $L$ является четверной линией (рис. 9.20). Это означает, что к нему примыкают ровно 4 квадрата с учетом кратности, т.е. один и тот же квадрат может примыкать к этому ребру двумя своими противоположными сторонами (рис. 9.27). Рассыпав комплекс на квадраты, мы увидим, что каждая буква встречается на ребрах квадратов по 4 раза.
5) Все углы у всех квадратов разные, т.е. буквенные метки и ориентации на сторонах разных углов — различны, т. е. не могут быть совмещены.
6) Рассмотрим фрагмент комплекса $L$, состоящий из двух квадратов, склеенных по стороне $a$ (рис. 9.28). Ребра снабжены ориентациями, как показано на рис. 9.28. Пару ребер $\alpha ,\beta$ можно рассмотреть как базис на атоме $V_2$ в начальной точке ребра $a$ (рис. 9.29). Пара ребер $\gamma ,\delta$ образуют базис на том же атоме $V_2$, но — в концевой точке ребра $a$. Требуется, чтобы эти базисы определяли одинаковую ориентацию атома $V_2$.
Рис. 9.27
Чтобы прояснить это определение, переформулируем его несколько в других терминах.
Возьмем некоторый $l$-тип, т.е. просто пару атомов $(V_1,V_2)$. При этом, на их поверхностях $P_1$ и $P_2$ задана и фиксирована ориентация, а также задана ориентация ребер графов $K_1$ и $K_2$, согласованная со структурой атома. Имеется лишь два способа согласованно ориентировать ребра $K_i$ на атоме $V_i$, а именно, если интерпретировать $K_i$ как особую линию уровня функции $f_i$, ориентацию следует взять либо по направлению потока $\mathrm{sgrad}{f}_i$, либо по направлению потока — $\mathrm{sgrad}{f}_i$. Ребра графа $K_1$ пометим латинскими буквами, а графа $K_2$ — греческими.

Фиксировав ( $V_1,V_2$ ), опишем допустимые комплексы $L$, которые можно приклеить к этим атомам. Комплекс $L$ зададим как набор квадратов с ориентированными и мечеными сторонами. Предварительно зададим некоторую биекцию между вершинами атома $V_1$ и вершинами атома $V_2$. Напомним, что их поверхности $P_1$ и $P_2$ пересекаются в многообразии $M^4$ как раз по вершинам атомов $V_1$ и $V_2$

(рис. 9.19). Это и задает взаимно-однозначное соответствие между вершинами данных атомов. Должны выполнять следующие условия:
Рис. 9.28
Рис. 9.29
А) Граница каждого квадрата должна изображаться замкнутым путем в объединении графов $K_1\cup K_2$. Иначе квадрат нельзя будет приклеить к одномерному остову.
В) Противоположные стороны квадратов имеют одинаковую ориентацию и принадлежат одному классу, т. е. являются либо $K_{1^{-}}$, либо $K_2$-ребрами. Смежные стороны принадлежат разным классам.
C) Комплекс $L$ в окрестности своей каждой вершины, т.е. где пересекаются два атома, устроен как прямое произведение «крест на крест». Каждый такой крест можно интерпретировать как четверки ребер, инцидентных данной вершине в графах $K_1$ и $K_2$. Это сразу дает нам список углов всех квадратов, сходящихся в данной вершине. В частности, в каждой вершине сходятся 16 углов и все они различны. Пример показан на рис. 9.30.
D) Условие согласованности ориентаций. Два ребра графа $K_i$, одно из которых входит, а второе выходит из некоторой его вершины, задают некоторую ориентацию на поверхности $P_i$. Каждое ребро $a$ (рис. 9.29), выйдя из некоторой вершины $S$, приходит в некоторую другую вершину $S^{\prime }$. Вдоль ребра $a$ скользит одномерный крест, заметая при этом двумерный комплекс (рис. 9.20 и рис. 9.31). В начале ребра крест задает некоторую ориентацию на поверхности $P_i$, поскольку можно фик-

Рис. 9.30 сировать порядок концов креста. В конце ребра $a$, вернувшись на ту же поверхность $P_i$, он тоже задает некоторую ее ориентацию (рис. 9.31). Требуется, чтобы эти ориентации совпали.

Можно предложить еще одну интерпретацию описанных правил склейки. Комплекс $L$ должен получаться так.
(*) Он склеен из квадратов.

(**) К каждому ребру примыкают 4 квадрата с учетом кратности.
$(\ast \ast \ast )$ Фрагмент комплекса $L$, являющийся окрестностью ребра $a$, имеет вид одной и двух «деталей», показанных на рис. 9.32. Вторая получается из первой просто циклической перестановкой меток ребер на втором ее конце. Это поворот на ${180}^{\circ }$.

Теорема 9.4 (Теорема реализации. В. С. Матвеев). Допустимые $\mathrm{Cl}$-типы и только они реализуются как $Cl$-типы особенностей типа седло-седло.

Следовательно, набор описанных выше допустимых $Cl$-типов дает полный список всех особенностей типа седло-седло, с точностью до эквивалентности.
Доказательство будет дано ниже.