Понятие $C l$-типа особенности было впервые введено А.В.Болсиновым и B. С. Матвеевым.

Напомним, что $l$-типом особенности седло-седло является пара атомов $\left(V_{1}, V_{2}\right)$, где $V_{i}=\left(P_{i}, K_{i}\right)$. При этом объединение графов $K_{1}$ и $K_{2}$ – это в точности одномерный остов комплекса $L$, а поверхности $P_{1}$ и $P_{2}$ задают множество критических точек отображения момента, попавших в окрестность особого слоя.
Определение 9.4. Cl-типом особенности типа седло-седло называется тройка $\left(L, V_{1}, V_{2}\right)$ и пара вложений $\xi_{i}: K_{i} \rightarrow L^{(1)}$, где $i=1,2$, а $L^{(1)}$ – это одномерный остов $L$.
В этом определении мы игнорируем ориентации на атомах $V_{1}$ и $V_{2}$.

КоммЕНТАРий. Таким образом, $C l$-тип является просто объединением двух объектов – l-типа, т. е. пары атомов $\left(V_{1}, V_{2}\right.$ ) и двумерного комплекса $L$. При этом, мы должны постоянно помнить, что объединение графов $K_{1}$ и $K_{2}$ – это в точности одномерный скелет 2 -комплекса $L$. Эту информацию мы указываем, задавая и фиксируя два отображения $\xi_{1}$ и $\xi_{2}$ (см. выше). Таким образом, члены тройки $\left(L, V_{1}, V_{2}\right.$ ) не являются независимыми, а сцеплены общим одномерным остовом комплекса $L$.
Теорема 9.3 (В. С. Матвеев). Cl-тип является полным инвариантом особенности типа седло-седло в смысле лиувиллевой эквивалентности. Это означает, что если две особенности седло-седло имеют одинаковый $\mathrm{Cl}$-тип, то существуют инвариантные окрестности $U(L)$ и $U^{\prime}\left(L^{\prime}\right)$ особых слоев $L$ и $L^{\prime}$ и послойный диффеоморфизм $U(L) \rightarrow U^{\prime}\left(L^{\prime}\right)$, сохраняющий направление гамильтонова векторного поля на одномерных орбитах.
Доказательство будет дано ниже.
Эта важная теорема позволяет классифицировать и перечислять особенности типа седло-седло в порядке возрастания их сложности. При этом, под сложностью особенности седло-седло мы понимаем число $s$ особых точек $z_{1}, \ldots, z_{s}$ на особом слое $L$. Эта программа классификации будет также реализована ниже. Мы перечислим все особенности седло-седло сложности 1 и 2 . Их оказалось, соответственно, 4 и 39.

Чтобы перейти к классификации особенностей, нам потребуется описать некоторые свойства $C l$-типа. Дело в том, что не любая тройка $\left(L, V_{1}, V_{2}\right)$, заданная абстрактно, является допустимой, т.е. может быть реализована как $C l$-тип некоторой особенности.

Пусть нам дана некоторая абстрактная тройка $\left(L, V_{1}, V_{2}\right)$, где $L$ – двумерный клеточный комплекс, $V_{i}=\left(P_{i}, K_{i}\right)$ – атомы одинаковой сложности $s$, т. е. с одинаковым числом вершин,

Рис. 9.26 равным $s$. Причем определены вложения $\xi_{i}: K_{i} \rightarrow L^{(1)}$, где $i=1,2$, а $L^{(1)}$ – это одномерный остов $L$.
Определение 9.5. Абстрактная тройка $\left(L, V_{1}, V_{2}\right)$ с парой вложений $\xi_{1}$ и $\xi_{2}$ называется допустимым $C l$-типом, если выполнены следующие условия:

1) Все ребра одномерного остова $L$ можно разбить на два непересекающихся класса так, что множество ребер одного класса – это образ ребер графа $K_{1}$, а множество ребер второго класса – это образ ребер графа $K_{2}$. В частности, $L^{(1)}=\xi_{1}\left(K_{1}\right) \cap \xi_{2}\left(K_{2}\right)$. Ребра первого класса назовем $K_{1}$-ребрами и будем обозначать латинскими буквами, а ребра второго класса назовем $K_{2}$-ребрами и будем обозначать греческими буквами.
2) Комплекс $L$ склеен из $4 s$ квадратов.
3) Противоположные стороны квадратов принадлежат одному классу ребер и имеют одинаковую ориентацию. Смежные ребра принадлежат разным классам (рис. 9.26).
4) Каждое ребро комплекса $L$ является четверной линией (рис. 9.20). Это означает, что к нему примыкают ровно 4 квадрата с учетом кратности, т.е. один и тот же квадрат может примыкать к этому ребру двумя своими противоположными сторонами (рис. 9.27). Рассыпав комплекс на квадраты, мы увидим, что каждая буква встречается на ребрах квадратов по 4 раза.
5) Все углы у всех квадратов разные, т.е. буквенные метки и ориентации на сторонах разных углов – различны, т. е. не могут быть совмещены.
6) Рассмотрим фрагмент комплекса $L$, состоящий из двух квадратов, склеенных по стороне $a$ (рис. 9.28). Ребра снабжены ориентациями, как показано на рис. 9.28. Пару ребер $\alpha, \beta$ можно рассмотреть как базис на атоме $V_{2}$ в начальной точке ребра $a$ (рис. 9.29). Пара ребер $\gamma, \delta$ образуют базис на том же атоме $V_{2}$, но – в концевой точке ребра $a$. Требуется, чтобы эти базисы определяли одинаковую ориентацию атома $V_{2}$.
Рис. 9.27
Чтобы прояснить это определение, переформулируем его несколько в других терминах.
Возьмем некоторый $l$-тип, т.е. просто пару атомов $\left(V_{1}, V_{2}\right)$. При этом, на их поверхностях $P_{1}$ и $P_{2}$ задана и фиксирована ориентация, а также задана ориентация ребер графов $K_{1}$ и $K_{2}$, согласованная со структурой атома. Имеется лишь два способа согласованно ориентировать ребра $K_{i}$ на атоме $V_{i}$, а именно, если интерпретировать $K_{i}$ как особую линию уровня функции $f_{i}$, ориентацию следует взять либо по направлению потока $\operatorname{sgrad} f_{i}$, либо по направлению потока – $\operatorname{sgrad} f_{i}$. Ребра графа $K_{1}$ пометим латинскими буквами, а графа $K_{2}$ – греческими.

Фиксировав ( $V_{1}, V_{2}$ ), опишем допустимые комплексы $L$, которые можно приклеить к этим атомам. Комплекс $L$ зададим как набор квадратов с ориентированными и мечеными сторонами. Предварительно зададим некоторую биекцию между вершинами атома $V_{1}$ и вершинами атома $V_{2}$. Напомним, что их поверхности $P_{1}$ и $P_{2}$ пересекаются в многообразии $M^{4}$ как раз по вершинам атомов $V_{1}$ и $V_{2}$

(рис. 9.19). Это и задает взаимно-однозначное соответствие между вершинами данных атомов. Должны выполнять следующие условия:
Рис. 9.28
Рис. 9.29
А) Граница каждого квадрата должна изображаться замкнутым путем в объединении графов $K_{1} \cup K_{2}$. Иначе квадрат нельзя будет приклеить к одномерному остову.
В) Противоположные стороны квадратов имеют одинаковую ориентацию и принадлежат одному классу, т. е. являются либо $K_{1^{-}}$, либо $K_{2}$-ребрами. Смежные стороны принадлежат разным классам.
C) Комплекс $L$ в окрестности своей каждой вершины, т.е. где пересекаются два атома, устроен как прямое произведение «крест на крест». Каждый такой крест можно интерпретировать как четверки ребер, инцидентных данной вершине в графах $K_{1}$ и $K_{2}$. Это сразу дает нам список углов всех квадратов, сходящихся в данной вершине. В частности, в каждой вершине сходятся 16 углов и все они различны. Пример показан на рис. 9.30.
D) Условие согласованности ориентаций. Два ребра графа $K_{i}$, одно из которых входит, а второе выходит из некоторой его вершины, задают некоторую ориентацию на поверхности $P_{i}$. Каждое ребро $a$ (рис. 9.29), выйдя из некоторой вершины $S$, приходит в некоторую другую вершину $S^{\prime}$. Вдоль ребра $a$ скользит одномерный крест, заметая при этом двумерный комплекс (рис. 9.20 и рис. 9.31). В начале ребра крест задает некоторую ориентацию на поверхности $P_{i}$, поскольку можно фик-

Рис. 9.30 сировать порядок концов креста. В конце ребра $a$, вернувшись на ту же поверхность $P_{i}$, он тоже задает некоторую ее ориентацию (рис. 9.31). Требуется, чтобы эти ориентации совпали.

Можно предложить еще одну интерпретацию описанных правил склейки. Комплекс $L$ должен получаться так.
(*) Он склеен из квадратов.

(**) К каждому ребру примыкают 4 квадрата с учетом кратности.
$(* * *)$ Фрагмент комплекса $L$, являющийся окрестностью ребра $a$, имеет вид одной и двух «деталей», показанных на рис. 9.32. Вторая получается из первой просто циклической перестановкой меток ребер на втором ее конце. Это поворот на $180^{\circ}$.

Теорема 9.4 (Теорема реализации. В. С. Матвеев). Допустимые $\mathrm{Cl}$-типы и только они реализуются как $C l$-типы особенностей типа седло-седло.

Следовательно, набор описанных выше допустимых $C l$-типов дает полный список всех особенностей типа седло-седло, с точностью до эквивалентности.
Доказательство будет дано ниже.