В силу теоремы 3.4 классификация 3-атомов сводится к классификации 2-атомов. Классификация 2-атомов без звездочек уже была дана выше (см. таблицу 2.1 главы 2). Чтобы получить теперь список 2-атомов со звездочками,
Рис. 3.24 нужно поступить так. Следует поместить на ребра графов $K$ прежних 2-атомов произвольное количество вершин-звездочек. И добавить одну серию новых 2-атомов $\left(P^{2}, K\right)$, где $P$ – кольцо, а $K$ – его осевая окружность, на которой проставлено произвольное число звездочек (рис. 3.19). Начало получающегося списка приведено в таблице 3.1. Напомним, что здесь 2-атомы представлены в виде погружений соответствующих графов $K$ в 2-сферу. При этом зеркально симметричные погружения не считаются эквивалентными. Отметим, что первые примеры незеркальных атомов со звездочками появляются в сложности 3. Это – два атома $D_{22}^{*}$ и $D_{23}^{*}$, переходящие друг в друга при зеркальном отражении.
Замечание. В реальных интегрируемых системах классической механики и математической физики наиболее часто встречаются 3 -атомы $A, B, A^{*}, C_{2}, D_{1}$. Примеры будут приведены ниже.

Как уже было показано выше, по каждому ориентированному 2-атому без звездочек однозначно строится пара $f$-графов. Эту конструкцию можно естественно обобщить и на случай 2 -атомов со звездочками.

Определение 3.8. Назовем $f$-графом со звездочками граф, определяемый точно таким же образом, как и обычный $f$-граф (см. определение 2.14), с одним изменением: теперь мы допускаем вершины степени два, причем в каждой такой вершине одно ребро должно быть входящим, а другое – выходящим. Такие вершины естественно назвать звездочками (или вершинами-звездочками).

По каждому 3 -атому мы однозначно строим 2 -атом, а затем пару $f$-графов (со звездочками или без звездочек).

Полный список всех $f$-графов малой сложности (а именно, сложности $1,2,3$ ) приведен в таблице 3.2. Дадим пояснения к этой таблице.

Таблица $f$-графов и групп симметрий $f$-графов. Напомним, что мы берем 3 -атом, то есть ориентированное 3 -многообразие, являющееся окрестностью особого слоя, причем ориентация на 3 -многообразии задана и фиксирована. Также задана и фиксирована ориентация потока на критических окружностях. Затем по этому ориентированному 3 -атому мы строим ориентированный 2 -атом, то есть ориентированную 2 -поверхность с графом $K$. Напомним, что граница 2 -атома состоит из положительных и отрицательных окружностей. Далее, по этому ориентированному 2 -атому мы однозначно строим пару $f$-графов. Эти два $f$-графа получаются так. У $f$-графа есть циклы, составленные из ориентированных ребер. Эти циклы могут соответствовать либо набору положительных окружностей 2-атома, либо набору его отрицательных окружностей. Поэтому и получаются ровно два $f$-графа (которые, впрочем, иногда могут получиться одинаковыми).

В таблице 3.2 перечислены $f$-графы малой сложности для трехмерных атомов (без звездочек и со звездочками).

Для каждого атома мы указываем два соответствующих ему $f$-графа. Эти $f$-графы получаются друг из друга при замене знака у интеграла $f$ на противоположный. Напомним, что при построении $f$-графа мы фиксировали положительные и отрицательные кольца атома. Отметим, что в некоторых случаях $f$-граф и ( $-f$ )-граф совпадают. Тогда мы указываем в таблице только один $f$-граф. В тех же случаях, когда замена функции $f$ на $-f$ изменяет $f$-граф, мы приводим оба эти $f$-графа. Полезно также отметить, что несмотря на возможное различие между $f$-графом и ( $-f$ )-графом, их группы симметрий всегда совпадают (изоморфны). Дело в том, что симметрии $f$-графа на самом деле отвечают симметриям 3 -атома. А поскольку при замене $f$ на $-f 3$-атом, очевидно, не меняется, то и соответствующие группы симметрий $f$-графа и ( $-f$ )-графа одинаковы.

В первой колонке таблицы 3.2 указаны стандартные обозначения 3 -атомов, постоянно используемые в нашей книге (см. таблицу 3.1).

Во второй колонке указаны соответствующие $f$-графы. Отметим, что здесь мы приводим лишь одно из возможных изображений $f$-графа. Подчеркнем, что все такие изображения здесь для нас одинаковы, поскольку $f$-граф рассматривается (по определению) как абстрактно заданный граф, и неважно, как именно мы изображаем его при помощи погружения в плоскость. Напомним, что в таблице 3.1, напротив, атом изображался в виде погружения его скелета (графа) в плоскость. Причем разным (неэквивалентным) погружениям одного и того же графа-скелета отвечали разные атомы. Например, $D_{1}$ и $D_{2}$ изоморфны как абстрактные графы, но задают разные 3-атомы.

В третьей колонке таблицы 3.2 мы указываем, для случая $f$-графов без звездочек, род ориентированного 2 -атома, соответствующего данному $f$-графу, т.е. род ориентированной замкнутой двумерной поверхности, получающейся из 2 -атома заклейкой 2 -дисками всех его граничных окружностей.

В четвертой колонке указана группа $\operatorname{Sym}(V)$ симметрий (автоморфизмов) $f$-графа $v$, сохраняющих ориентацию ориентированных ребер $f$-графа. Назовем такие симметрии (автоморфизмы) собственными, а соответствующую группу группой собственных симметрий. Общая теория симметрий атомов (без звездочек) изложена нами в главе 2 .

В пятой колонке указана группа $\widehat{\operatorname{Sym}}(V)$ симметрий (автоморфизмов) $f$-графа $v$, являющаяся расширением предыдущей группы при помощи несобственных симметрий. Несобственной симметрией $f$-графа мы называем такой его автоморфизм, который одновременно меннет ориентации всех его ориентированных ребер. На неориентированных ребрах никаких условий не накладывается. Для незеркальных атомов группа $\operatorname{Sym}(V)$ собственных симметрий, очевидно, совпадает с группой $\widehat{\operatorname{Sym}}(V)$, а для зеркальных – является нормальной подгруппой индекса два в группе $\widehat{\operatorname{Sym}}(V)$. В дальнейшем мы будем называть (для краткости) группу $\widehat{\operatorname{Sym}}(V)$ группой всех симметрий $f$-графа $v$, или полной группой симметрий $f$-атома. Отметим, что группа $\operatorname{Sym}(V)$ отвечает группе автоморфизмов соответствующего 3 -атома, сохраняющих ориентацию гамильтонова потока на критических окружностях 3 -атома. Соответственно, группа $\widehat{\operatorname{Sym}}(V)$ отвечает автоморфизмам 3 -атома, которые могут обращать ориентацию потока, но при этом – одновременно на всех критических окружностях данного 3 -атома. Далее следует помнить, что если рассмотреть $f$-граф просто как абстрактный неориентированный граф, забыв об ориентации всех его ребер, то его полная группа симметрий может оказаться больше, чем группа $\widehat{\operatorname{Sym}}(V)$.

В таблице через $D_{3}$ обозначена группа всех симметрий правильного треугольника на плоскости, через $D_{4}$ обозначена группа всех симметрий квадрата на плоскости. В общем случае $D_{n}$ – это полная группа симметрий правильного $n$-угольника. Ее порядок равен $2 n$.