Теперь откажемся от гипотезы ориентируемости $X^{2}$. Перестройки типа $A$ устроены одинаково – как в ориентируемом, так и в неориентируемом случаях. Отличие возникает в случае седла. Сначала вспомним, как реально происходит седловая перестройка в ориентируемом случае. Она показана на рис. 2.7. К окружности, являющейся одной из компонент края многообразия $\{f(x) \leqslant c-\varepsilon\}$, где $\varepsilon$ – малая величина, приклеивается узкая полоска, прямоугольник. Причем, приклейка происходит таким образом, что получающаяся поверхность остается ориентируемой. После перестройки граница оказывается гомеоморфной объединению двух окружностей. При замене функции $f$ на функцию $-f$ направление
перестройки меняется: две граничные окружности превращаются в одну.
Теперь перейдем к случаю, когда перестройка происходит внутри неориентируемой поверхности. Некоторые перестройки индекса 1 , т.е. седловые, могут быть устроены здесь как и в ориентируемом случае. Однако, заведомо есть по крайней мере одна перестройка, устроенная принципиально по-другому. Она показана на рис. 2.8. Здесь перекрученный на $180^{\circ}$ прямоугольник приклеивается к одной и той же граничной окружности поверхности с краем. В результате внутри поверхности $\{f \leqslant c+\varepsilon\}$ появляется новый лист Мебиуса. Ясно, что здесь после перестройки прежняя граничная окружность превращаетРис. 2.9 ся снова в одну граничную окружность. Таким образом, при переходе через критический уровень $c$ одна окружность преобразуется снова в одну окружность. Используя введенную выше символику, т. е. изображая каждую неособую линию уровня точкой, мы должны нарисовать описанную только что эволюцию так, как показано на рис. 2.8: ребро графа, в середине которого поставлена буква $\widetilde{B}$. Эта буква условно обозначает неориентируемую перестройку.

На рис. 2.9 изображена поверхность $P^{2}=f^{-1}(c-\varepsilon, c+\varepsilon)$ для неориентируемого атома $\widetilde{B}$. Она получается склейкой двух листов Мебиуса.