Пусть $P_c^2$ — седловой 2 -атом, со звездочками или без, и $Q_c$ — отвечающее ему 3 -многообразие, т. е. седловой 3 -атом.
Лемма 8.4.
a) Пусть на 2-атоме $P_c$, без звездочек, задана произвольная гамильтонова система с морсовским гамильтонианом $w=\mathrm{sgrad}F$. Тогда эта система может быть реализована как поток Пуанкаре для некоторой интегрируемой гамильтоновой системы $v=\mathrm{sgrad}H$ с двумя степенями свободы на симплектическом 4-многообразие $M^4$, диффеоморфном прямому произведению $Q_c^3\times (-1,1)$.
б) Пусть на дубле ${\hat{P}}_c$ 2-атома $P_c$ со звездочками, задана гамильтонова система с морсовским гамильтонианом $w=\mathrm{sgrad}F$, инвариантная относительно инволюции $\chi :{\hat{P}}_c\to {\hat{P}}_c$. Тогда эта система может быть реализована как поток Пуанкаре для некоторой интегрируемой гамильтоновой системы $v=\mathrm{sgrad}H$ с двумя степенями свободы на симплектическом 4-многообразии $M^4$ диффеоморфном прямому произедению $Q_c^3\times (-1,1)$. Здесь $Q_c^3$ — 3-атом, отвечающий 2-атому $P_c=\hat{P}/\chi$.

Доказательство.
a) Пусть $\omega$ — симплектическая структура на $P_c$, отвечающая гамильтониану $F$ и полю $w$. Рассмотрим 4-многообразие $\tilde{M}=P_c\times [0,2\pi ]\times (-1,1)$ с симплектической структурой $\tilde{\mathrm{\Omega }}=\omega +dH\wedge d\phi$, где $H$ и $\phi$ — естественные координаты на $(-1,1)$ и $[0,2\pi ]$ соответственно. Ясно, что $\tilde{\mathrm{\Omega }}$ действительно является симплектической структурой на $\tilde{M}$, и гамильтоново поле
$$\mathrm{sgrad}H=\frac{\partial }{\partial \phi }$$

имеет интеграл $F$. Отождествим теперь два основания цилиндра
$$P_c\times (-1,1)\times \{0\}\text{ и }{P}_c\times (-1,1)\times \{2\pi \}$$

по диффеоморфизму $g(p,H,2\pi )=(\sigma (p),H,0)$, где $\sigma ={\sigma }^1$ — сдвиг на единичное время вдоль векторного поля $w$. Здесь $(p,H)$ — точка из $P_c\times (-1,1)$.

В результате мы получим многообразие $M^4=P_c\times S^1\times (-1,1)$, причем симплектическая структура $\tilde{\mathrm{\Omega }}$ превратится в гладкую симплектическую структуру на $M$. Дело в том, что симплектическая структура $\omega$ сохраняется при отображении $\sigma$.

Ясно, что в результате отображение $\sigma :P_c\to P_c$ будет отображением Пуанкаре гамильтонова потока $v=\mathrm{sgrad}(H)$ на каждой изоэнергетической поверхности, и гамильтоново векторное поле $v$ удовлетворяет всем необходимым требованиям.
б) В случае атомов со звездочками поступим аналогично. А именно, рассмотрим цилиндр $\tilde{M}=\hat{P}\times [0,\pi ]\times (-1,1)$, и отождествим его основания
$${\hat{P}}_c\times (-1,1)\times \{0\}\text{ и }{\hat{P}}_c\times (-1,1)\times \{\pi \}$$

по диффеоморфизму вида $g(p,H,\pi )=(\chi {\sigma }^{1/2}(p),H,0)$. Как и в предыдущем случае, мы получим симплектическое многообразие с гамильтоновым потоком $\mathrm{sgrad}H$, трансверсальным сечению ${\hat{P}}_c$. При этом «однократное» отображение Пуанкаре на этом сечении будет иметь вид $\overline{\sigma }=\chi {\sigma }^{1/2}$. Мы же в качестве отображения Пуанкаре на атомах со звездочками рассматриваем «двукратное» отображение, которое в данном случае приобретает вид
$$\sigma ={\sigma }^{-2}=\chi {\sigma }^{1/2}\chi {\sigma }^{1/2}={\chi }^2{\sigma }^1={\sigma }^1,$$

что и требовалось. Лемма 8.4 доказана.
В частности, эта лемма показывает, что мы можем реализовать любую допустимую тройку $(\mathrm{\Lambda },\mathrm{\Delta },Z$ ) (см. параграф 3 главы 6 ) как тройку атомных инвариантов системы с двумя степенями свободы, т.е. как элемент некоторого избыточного $t$-оснащения.

Отметим еще одну простую, но важную связь между системой на 3 -атоме и ее редукцией на 2 -атоме. При изучении систем на 2 -атоме $P^2$ мы много раз рассматривали функцию $\mathrm{\Pi }$, которая каждой замкнутой траектории $\mu$ ставила в

Предложение 8.3. Имеет место формула:
\[

u=e^{2 \pi i \rho_{0}} .
\]

Замечание. Подчеркнем, что в этом утверждении мы поменяли местами в базисе на торе Лиувилля циклы $\lambda$ и $\mu$. Следовательно, здесь функция вращения $\rho$ отличается от функции вращения, обсуждавшейся выше. А именно, если обозначить прежнюю функцию через $\tilde{\rho }$, то связаны они так: $\tilde{\rho }={\rho }^{-1}$.
Доказательство.
Отметим, что в этом утверждении мы поменяли базисные циклы, о которых шла речь в лемме 8.5. Поэтому в данном случае число вращения и период потока Пуанкаре на трансверсальном сечении связаны соотношением ${\rho }^{-1}=$ П. Таким образом, доказываемая нами формула является в действительности утверждением о гамильтоновой системе с одной степенью свободы на трансверсальном сечении $P_{tr}$, поскольку функция П и мультипликатор $u$ характеризуют поток Пуанкаре на сечении $P_{tr}$. Требуемое утверждение будет вытекать из следующего факта, справедливого для гамильтоновых систем с одной степенью свободы.

Пусть $P_0$ — невырожденный локальный минимум (или максимум) гамильтониана $F(x,y)$. Положим для определенности $F\left(P_0\right)=0$. Пусть $\mathrm{\Pi }(c)-$ период потока $w=\mathrm{sgrad}F$ вдоль замкнутой траектории вида ${\gamma }_c=\{\mathit{F}=c\}$ и ${\mathrm{\Pi }}_0=\underset{c\to 0}{lim}\mathrm{\Pi }(c)$ Пусть $\sigma$ — сдвиг на время, равное 1 , вдоль интегральных траекторий потока $w=\mathrm{sgrad}F$. Рассмотрим линеаризацию $d\sigma$ этого отображения $\sigma$ и пусть $u$ и $u^{-1}$ — это собственные числа линеаризации в точке $P_0$.
Предложение 8.4. Имеет место формула:
\[

u=e^{ \pm 2 \pi i / \Pi_{0}} .
\]

Доказательство.
По лемме Морса, выберем такие локальные координаты в окрестности точки $P_0$, в которых функция $F$ запишется в виде $F(x,y)=x^2+y^2$. Поскольку такие координаты не обязаны быть каноническими, то форма $\omega$ запишется относительно них в виде $\omega =\omega (x,y)dx\wedge dy$, где $\omega (x,y)$ — некоторая гладкая функция. Тогда векторное поле $w=\mathrm{sgrad}F$ запишется в виде:
$$\mathrm{sgrad}F=(-\frac{y}{\omega (x,y)},\frac{x}{\omega (x,y)}).$$

Рассмотрим второе векторное поле $\xi =(-y,x)$. Оно пропорционально $w$, и $w=\frac{\xi }{\omega (x,y)}$. Период поля $\xi$ постоянен и равен $2\pi$. Поэтому период П(c) поля $w$ оценивается следующим образом:
$$2\pi min\omega (x,y)⩽\mathrm{\Pi }(c)⩽2\pi max\omega (x,y),$$

где $min$ и $max$ берутся по окружности $\{F=c\}$ с центром в точке $P_0$. Переходя к пределу, при $c\to 0$, получаем отсюда следующее равенство:
$$\mathrm{\Pi }(0)=2\pi \omega (0,0).$$

С другой стороны, линеаризация поля $w=\frac{\xi }{\omega (x,y)}$ в точке $P_0$ имеет вид $\frac{\xi }{\omega (0,0)}=\frac{(-y,x)}{\omega (0,0)}$. Следовательно, собственные числа линеаризации выглядят так:
\[

u=e^{ \pm i / \omega(0,0)} .
\]

Сравнивая это выражение с $\mathrm{\Pi }(0)$, получаем искомую формулу:
\[

u=e^{ \pm 2 \pi i / \Pi(0)} .
\]

Предложение 8.4 доказано.
Предложение 8.3, очевидно, вытекает из предложения 8.4.