Пусть $P_{c}^{2}$ – седловой 2 -атом, со звездочками или без, и $Q_{c}$ – отвечающее ему 3 -многообразие, т. е. седловой 3 -атом.
Лемма 8.4.
a) Пусть на 2-атоме $P_{c}$, без звездочек, задана произвольная гамильтонова система с морсовским гамильтонианом $w=\operatorname{sgrad} F$. Тогда эта система может быть реализована как поток Пуанкаре для некоторой интегрируемой гамильтоновой системы $v=\operatorname{sgrad} H$ с двумя степенями свободы на симплектическом 4-многообразие $M^{4}$, диффеоморфном прямому произведению $Q_{c}^{3} \times(-1,1)$.
б) Пусть на дубле $\hat{P}_{c}$ 2-атома $P_{c}$ со звездочками, задана гамильтонова система с морсовским гамильтонианом $w=\operatorname{sgrad} F$, инвариантная относительно инволюции $\chi: \hat{P}_{c} \rightarrow \hat{P}_{c}$. Тогда эта система может быть реализована как поток Пуанкаре для некоторой интегрируемой гамильтоновой системы $v=\operatorname{sgrad} H$ с двумя степенями свободы на симплектическом 4-многообразии $M^{4}$ диффеоморфном прямому произедению $Q_{c}^{3} \times(-1,1)$. Здесь $Q_{c}^{3}$ – 3-атом, отвечающий 2-атому $P_{c}=\widehat{P} / \chi$.

Доказательство.
a) Пусть $\omega$ – симплектическая структура на $P_{c}$, отвечающая гамильтониану $F$ и полю $w$. Рассмотрим 4-многообразие $\widetilde{M}=P_{c} \times[0,2 \pi] \times(-1,1)$ с симплектической структурой $\widetilde{\Omega}=\omega+d H \wedge d \varphi$, где $H$ и $\varphi$ – естественные координаты на $(-1,1)$ и $[0,2 \pi]$ соответственно. Ясно, что $\widetilde{\Omega}$ действительно является симплектической структурой на $\widetilde{M}$, и гамильтоново поле
\[
\operatorname{sgrad} H=\frac{\partial}{\partial \varphi}
\]

имеет интеграл $F$. Отождествим теперь два основания цилиндра
\[
P_{c} \times(-1,1) \times\{0\} \text { и } P_{c} \times(-1,1) \times\{2 \pi\}
\]

по диффеоморфизму $g(p, H, 2 \pi)=(\sigma(p), H, 0)$, где $\sigma=\sigma^{1}$ – сдвиг на единичное время вдоль векторного поля $w$. Здесь $(p, H)$ – точка из $P_{c} \times(-1,1)$.

В результате мы получим многообразие $M^{4}=P_{c} \times S^{1} \times(-1,1)$, причем симплектическая структура $\widetilde{\Omega}$ превратится в гладкую симплектическую структуру на $M$. Дело в том, что симплектическая структура $\omega$ сохраняется при отображении $\sigma$.

Ясно, что в результате отображение $\sigma: P_{c} \rightarrow P_{c}$ будет отображением Пуанкаре гамильтонова потока $v=\operatorname{sgrad}(H)$ на каждой изоэнергетической поверхности, и гамильтоново векторное поле $v$ удовлетворяет всем необходимым требованиям.
б) В случае атомов со звездочками поступим аналогично. А именно, рассмотрим цилиндр $\widetilde{M}=\widehat{P} \times[0, \pi] \times(-1,1)$, и отождествим его основания
\[
\widehat{P}_{c} \times(-1,1) \times\{0\} \text { и } \widehat{P}_{c} \times(-1,1) \times\{\pi\}
\]

по диффеоморфизму вида $g(p, H, \pi)=\left(\chi \sigma^{1 / 2}(p), H, 0\right)$. Как и в предыдущем случае, мы получим симплектическое многообразие с гамильтоновым потоком $\operatorname{sgrad} H$, трансверсальным сечению $\widehat{P}_{c}$. При этом «однократное» отображение Пуанкаре на этом сечении будет иметь вид $\bar{\sigma}=\chi \sigma^{1 / 2}$. Мы же в качестве отображения Пуанкаре на атомах со звездочками рассматриваем «двукратное» отображение, которое в данном случае приобретает вид
\[
\sigma=\sigma^{-2}=\chi \sigma^{1 / 2} \chi \sigma^{1 / 2}=\chi^{2} \sigma^{1}=\sigma^{1},
\]

что и требовалось. Лемма 8.4 доказана.
В частности, эта лемма показывает, что мы можем реализовать любую допустимую тройку $(\Lambda, \Delta, Z$ ) (см. параграф 3 главы 6 ) как тройку атомных инвариантов системы с двумя степенями свободы, т.е. как элемент некоторого избыточного $t$-оснащения.

Отметим еще одну простую, но важную связь между системой на 3 -атоме и ее редукцией на 2 -атоме. При изучении систем на 2 -атоме $P^{2}$ мы много раз рассматривали функцию $\Pi$, которая каждой замкнутой траектории $\mu$ ставила в

Предложение 8.3. Имеет место формула:
\[

u=e^{2 \pi i \rho_{0}} .
\]

Замечание. Подчеркнем, что в этом утверждении мы поменяли местами в базисе на торе Лиувилля циклы $\lambda$ и $\mu$. Следовательно, здесь функция вращения $\rho$ отличается от функции вращения, обсуждавшейся выше. А именно, если обозначить прежнюю функцию через $\widetilde{\rho}$, то связаны они так: $\tilde{\rho}=\rho^{-1}$.
Доказательство.
Отметим, что в этом утверждении мы поменяли базисные циклы, о которых шла речь в лемме 8.5. Поэтому в данном случае число вращения и период потока Пуанкаре на трансверсальном сечении связаны соотношением $\rho^{-1}=$ П. Таким образом, доказываемая нами формула является в действительности утверждением о гамильтоновой системе с одной степенью свободы на трансверсальном сечении $P_{t r}$, поскольку функция П и мультипликатор $
u$ характеризуют поток Пуанкаре на сечении $P_{t r}$. Требуемое утверждение будет вытекать из следующего факта, справедливого для гамильтоновых систем с одной степенью свободы.

Пусть $P_{0}$ – невырожденный локальный минимум (или максимум) гамильтониана $F(x, y)$. Положим для определенности $F\left(P_{0}\right)=0$. Пусть $\Pi(c)-$ период потока $w=\operatorname{sgrad} F$ вдоль замкнутой траектории вида $\gamma_{c}=\{\boldsymbol{F}=c\}$ и $\Pi_{0}=\lim _{c \rightarrow 0} \Pi(c)$ Пусть $\sigma$ – сдвиг на время, равное 1 , вдоль интегральных траекторий потока $w=\operatorname{sgrad} F$. Рассмотрим линеаризацию $d \sigma$ этого отображения $\sigma$ и пусть $
u$ и $
u^{-1}$ – это собственные числа линеаризации в точке $P_{0}$.
Предложение 8.4. Имеет место формула:
\[

u=e^{ \pm 2 \pi i / \Pi_{0}} .
\]

Доказательство.
По лемме Морса, выберем такие локальные координаты в окрестности точки $P_{0}$, в которых функция $F$ запишется в виде $F(x, y)=x^{2}+y^{2}$. Поскольку такие координаты не обязаны быть каноническими, то форма $\omega$ запишется относительно них в виде $\omega=\omega(x, y) d x \wedge d y$, где $\omega(x, y)$ – некоторая гладкая функция. Тогда векторное поле $w=\operatorname{sgrad} F$ запишется в виде:
\[
\operatorname{sgrad} F=\left(-\frac{y}{\omega(x, y)}, \frac{x}{\omega(x, y)}\right) .
\]

Рассмотрим второе векторное поле $\xi=(-y, x)$. Оно пропорционально $w$, и $w=\frac{\xi}{\omega(x, y)}$. Период поля $\xi$ постоянен и равен $2 \pi$. Поэтому период П(c) поля $w$ оценивается следующим образом:
\[
2 \pi \min \omega(x, y) \leqslant \Pi(c) \leqslant 2 \pi \max \omega(x, y),
\]

где $\min$ и $\max$ берутся по окружности $\{F=c\}$ с центром в точке $P_{0}$. Переходя к пределу, при $c \rightarrow 0$, получаем отсюда следующее равенство:
\[
\Pi(0)=2 \pi \omega(0,0) .
\]

С другой стороны, линеаризация поля $w=\frac{\xi}{\omega(x, y)}$ в точке $P_{0}$ имеет вид $\frac{\xi}{\omega(0,0)}=\frac{(-y, x)}{\omega(0,0)}$. Следовательно, собственные числа линеаризации выглядят так:
\[

u=e^{ \pm i / \omega(0,0)} .
\]

Сравнивая это выражение с $\Pi(0)$, получаем искомую формулу:
\[

u=e^{ \pm 2 \pi i / \Pi(0)} .
\]

Предложение 8.4 доказано.
Предложение 8.3, очевидно, вытекает из предложения 8.4.